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2025 年 1 月“八省联考”考前猜想卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ， ，可得 ，
又因为全集 ，所以 ，
故选：D
2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得 ，所以 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司3．在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选：C
4．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
5．以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得几何体的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页 共 17 页【答案】D
【解析】由题意可得所得几何体为圆柱体，底面半径 ，高 ，侧面积 ，
故选：D.
6．下列说法正确的是（ ）
A．若函数 为奇函数，则
B．函数 在 上是减函数
C．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
D．若函数 为偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增，则 在 上是单调递减
【答案】D
【解析】对于选项A：例如 为奇函数，但 无定义，故A错误；
对于选项B：因为 ，所以函数 在定义域上不是减函数，故B错误；
对于选项C：因为函数 的定义域为 ，即 ，则 ，
所以函数 的定义域为 ，故C错误；
对于选项D：因为函数 为偶函数，且在 上是单调递增，
所以 在 上是单调递减，故D正确；
故选：D.
7．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以
因为函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，且 ，即 .
因为 ，
所以，函数 在 上单调递增等价于 或 ，
所以，解不等式得 或 ，所以， 的取值范围是 .
故选：C
8．已知数列 满足 ， ．记数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
，
，故 ，
由累加法可得当 时， ，
又因为当 时， 也成立，所以 ，
所以 ，
第 4 页 共 17 页，故 ，
由累乘法可得当 时， ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某校学生
参加体育测试，其中甲班女生的成绩 与乙班女生的成绩 均服从正态分布，且 ，
，则( ).
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】选项A：由 ，得 ，故A正确；
选项B：由 ，得 ，故B不正确；
选项C：由于随机变量 服从正态分布，该正态曲线的对称轴为直线： ，
所以 ，故C正确；
选项D：解法一：由于随机变量 ， 均服从正态分布，且对称轴均为直线： ，
，所以在正态曲线中， 的峰值较高，正态曲线较“瘦高”，
随机变量分布比较集中，所以 ，故D正确.
解法二：因为 ， ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故D正确.
故选：ACD.
10．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的定义域为
B．函数 为偶函数
C．函数 的单调递增区间为
D．函数 的图像关于直线 对称
【答案】BD
【解析】 的定义域为： ， ，
= ；
对于A，错误；
对于B， ，
是偶函数，正确；
对于C， 不在定义域内，错误；
对于D，二次函数 的对称轴是x=-1， ∴ 是关于x=-1对称的，正确；
故选：BD.
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为
，则下列说法正确的是（ ）
第 6 页 共 17 页A．四叶草曲线有四条对称轴
B．设 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的
矩形面积的最大值为
C．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为
D．四叶草曲线的面积小于
【答案】ABD（更多试卷请关注微信公众号：智慧学库）
【解析】对于A，将 换为 方程不变，所以曲线关于 轴对称；
将 换为 方程不变，所以曲线关于 轴对称；
将 换为 ， 换为 方程不变，所以曲线关于 对称；
将 换为 ， 换为 方程不变，所以曲线关于 对称.故A正确；
对于B，设曲线 第一象限任意一点为 ，则围成矩形面积为 ，
则 ，
即 ，当且仅当 时取得最大值，故B正确；
对于C，设距离为 ， ，要求 的最大值，即求 的最大值，
显然 ， ，又 ，
当且仅当 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以曲线 上的点到原点距离 最大值为 ，故C错误；
对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心， 为半径的圆内，
故四叶草面积小于 ，故D正确.
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线 与曲线 相切，则实数 的值为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为 ，由 得 ，
所以切线的斜率为： ，
所以曲线在 处的切线方程为： ，
即 ，所以 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
13．已知双曲线 的左焦点为 ，过 的直线 交圆 于 ， 两点，交
的右支于点 ，若 ，则 的离心率为 .
【答案】 （更多试卷请关注微信公众号：智慧学库）
【解析】设 的半焦距为c(c>0)，如图，设 为坐标原点， 的中点为 的右焦点为 ，连接
， .
第 8 页 共 17 页因为 ，所以 也是 的中点.设 ，
由双曲线的定义得 ，所以 ，
在 中，由 ，得 ，所以 ，
在 中，由 ，得 .
故答案为： .
14．数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研
究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛
的应用.已知对于正整数 ，若存在一个整数 ，使得 整除 ，则称 是 的一个二次剩余，
否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数 ，记事件 与12互质”， 是12
的二次非剩余”，则 ； .
【答案】
【解析】在1-20内与12互质的数有1，5，7，11，13，17，19，所以 ；
根据定义，对于 整数的x不存在，则a是12的二次非剩余数，
显然，当a=1时，x=11；当a=13时，x=7；当a=5，7，11，17，19时，x不存在；
；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 在边 上，且满足
， 的面积
(1)证明：
(2)求 .
【答案】(1)证明见解析;(2) 或
【解析】（1）点 在边 上，且满足 ,
所以 ，……………………………………………………3分
，……………………………………………………………4分
故 ，即 ；……………………………………………………………6分
（2）由图可知 ，……………7分
可得 ，解得 或 ，……………9分
1°当 时， ， ；…………………11分
2°当 时， ， ；……………12分
综上所述 或 .……………………………………………………………13分
第 10 页 共 17 页16．新冠肺炎疫情期间，某市为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从市居民中随机抽取若干居民
进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在 的居民有2200
人.
(1)求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
(2)从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数和平均数（精确到0.1）；
(3)设该市居民为50万人，估计全市居民对当地防疫工作评分在85分以上的人数.
【答案】(1)0.025，4000人;(2)众数为85.0，平均数80.7;(3)212500
【解析】（1）有频率分布直方图知
即 ，解得 ……………………………………………………2分
设总共调查了 人，则 ，
解得 ，即调查的总人数为4000人；……………………………………………5分
（2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为 ，……………7分
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学科网（北京）股份有限公司由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02､0.04､0.14､0.20､0.35､0.25，
所以设平均数为 ，
则 ……………11分
（3）由频率分布直方图知评分在85分以上的频率为 ……………13分
所以估计该市居民评分在85分以上的人数为: ……………15分
17．椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
【答案】(1) (2)
【解析】（1） ，
离心率为 .…………………………………………………………5分
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，…………………………………6分
联立 得 ，………………………………8分
由 ，①………………………9分
， ，…………………………………………………11分
由 可得 ，②…………………………………………………12分
第 12 页 共 17 页由 可得 ，③…………………………………………………13分
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．………15分
18．（17分）已知四棱锥 的底面 是直角梯形， ， ， ，
，E为CD的中点， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，PC与平面 所成的角为 ，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得
平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】（1）由四边形 是直角梯形， ， ， ，
可得 ， ，从而 是等边三角形， ， 平分 ．
为 的中点， ， ，…………………………………3分
又 ， ， 平面 ， 平面 ………………4分
平面 ，……………………………………………………………………5分
平面 ，所以平面 平面 .…………………………………6分
（2）在平面 内作 于 ，连接 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 ．
因为平面 平面 ， 平面 ， 平面
为 与平面 所成的角，则 ，
第 13 页 共 17 页
学科网（北京）股份有限公司由题意得
， ， 为 的中点， ．…………………………8分
以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，……………………………9分
假设在侧面 内存在点 ，使得 平面 成立，
设 ，
由题意得 ，……………………………………………10分
， ， ，
由 ，得 ，……………………………………11分
解得 ，满足题意， ， ，……………12分
取 ， ， ，
， ，
，…………………………………………………………15分
求出点N到直线PD的距离为： .…………………………16分
第 14 页 共 17 页所以N点直线PD的距离为 .…………………………………………………………17分
19．（17分）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，
衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，f″(x)是 的
导函数，则曲线 在点 处的曲率 .
(1)求曲线 在 处的曲率 的平方；
(2)求正弦曲线 曲率的平方 的最大值.
(3)正弦曲线 ，若 ，判断 在区间 上零点的个数，并写
出证明过程.
【答案】(1) ;(2)1;(3)零点个数为2，证明见解析（更多试卷请关注微信公众号：智慧学库）
【解析】（1）因为 ，所以 ， ，………………1分
所以 ，………………………………………………3分
.………………………………………………………………5分
（2）由 ， ，则 ，………………………6分
，令 ，则 ，故 ，…………7分
第 15 页 共 17 页
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，……………8分
在 时 ， 递减，所以 ， 最大值为1.……………10分
（3）因为 ， ，则 .
①当 时，因为 ，
所以 在 上单调递减.所以 .
所以 在 上无零点.……………………………………………………………12分
②当 时，因为 单调递增，且 ， ，
所以存在 ，使 .
当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
所以 .设 ， ，
， ,……………………………………………14分
所以φ(x)在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 .
第 16 页 共 17 页所以 ，所以 .
所以 在 上存在一个零点.
所以 在 有2个零点.……………………………………………………………16分
综上所述， 在 上的零点个数为2…………………………………………17分
第 17 页 共 17 页
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