文档内容
山东名校考试联盟
2024-2025 学年高二年级下学期期中检测
数 学 试 题
2025.04
本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】 ,
故选：D.
2. 的展开式中的常数项为（ ）
A. 30 B. 45 C. 60 D. 75
【答案】A
【详解】 展开式的通项公式为 ，
令 ， ，展开式的常数项为 .故选：A.
3. 一袋中有外观完全相同，标号分别为1，2，3，4，5的五个球，现在分两次从中有放回地任取一个球，
设事件 “第一次取得5号球”，事件 “第二次取得5号球”，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意， ，
所以 .
故选：B
4. 已知命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以 为“ ”.
故选：A.
5. 现有6种不同的颜色给图中的四块区域涂色，若每个区域涂一种颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则
不同的涂法共有（ ）
A. 400种 B. 460种 C. 480种 D. 496种
【答案】C【详解】当使用4种颜色时，不同的涂法有 种方法；
当使用3种颜色时，不同的涂法有 种方法；
所以不同的涂法共有 种.
故选：C.
6. 已知变量 线性相关，其一组样本数据 ，满足 ，用最小二乘法得到
的经验回归方程为 .若增加一个数据 后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据
的残差的绝对值为（ ）
A 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
【答案】A
【详解】由题设 ，则 ，
增加数据 后， ， ，且回归直线为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，有 ，故残差的绝对值为 .
故选：A
7. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各随机掷一次骰子，当两人的点数之差为偶数时．视为平局，当两
人的点数之差为奇数时，谁的骰子点数大该局谁胜．重复上面的步骤，游戏进行到一方比另一方多胜2局
或平局4次时停止，记游戏停止时局数为X次，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率
，
若甲胜，则结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，9种，
所以甲胜的概率为 ，同理乙胜的概率也为 ，
局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为 ；
若平局2次，则最后1次不能是平局，
另外2次甲全胜或乙全胜，概率为 ，
若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，
概率为 ，
所以 ．
故选：D.
8. 今有A、B、C、D、E、F共6本不同的书全部分给4个同学，每个同学至少分到一本，其中A、B必须分
给同一个同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】将这6本不同的书分成四组，再分配到不同的同学，
若书的个数为3,1,1,1，则不同的安排方法种数为： 种；
若书的个数为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为： 种，故不同的安排方法共有 种．
将这6本不同的书分成四组，再分配到不同的同学，A，B分给同一个同学，
若书的个数为3,1,1,1，则不同的安排方法种数为： 种；
若书的个数为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为： 种，
故不同的安排方法共有 种．
所以所求事件的概率为 ．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设 ，满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最小值为4
C. 的最大值为2 D. 的最小值为4
【答案】BD
【详解】由 ， 得： ，当且仅当 时，等号成立，故A不正
确.
，当且仅当 时，等号成立，故B正确.
，即 ，故C不正确.
，当且仅当 时，等号成立，故D正确.
故选：BD.10. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，任取3个随机变量 ，记 在区间
的个数为X，则正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【详解】对于A，由 ，得 ，
则 ，A正确；
对于B，由A知， 在区间 的概率为 ，
因此 ，B正确；
对于C，由B知， ，
因此 ，C错误；
对于D， ，D错误．
故选：AB
11. 有一组成对样本数据 ， ， ， ，设 ， ，由这组数据
得到新成对样本数据 ，下面就这两组数据分别先计算
样本相关系数，再根据最小二乘法计算经验回归直线，最后计算出残差平方和，则（ ）
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ．相关系数．
A. 两组数据的相关系数相同 B. 两组数据的残差平方和相同
C. 两条经验回归直线的斜率相同 D. 两条经验回归直线的截距相同
【答案】ABC
【详解】由于新成对样本数据 ，
其平均数分别为 ，
同理 ，
这样根据公式 ，
用样本数据减去平均数得 与新成对数据 ，
用样本数据减去平均数得 与新成对数据 ，
即它们每一个对应数据的差值都是一样的，
这就说明两条经验回归直线的斜率相同，两组数据的相关系数相同， 故A、C正确；
由于回归直线经过样本数据的样本点为 ，而新数据的样本点为 ，
即样本数据的回归直线方程为 ，而新数据的回归直线方程为 ，
故两条经验回归直线的截距不相同，故D错误；
由于样本数据回归直线和新数据回归直线是平行关系，所以实际值与估计值的差的平方和应该是相同的，
即两组数据的残差平方和相同，故B正确；
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 设随机变量 ，则 的最大值为__________．
【答案】1
【详解】因为随机变量 ， ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为1.
故答案为：1.
13. 为了调查A，B两个地区的观众是否喜欢娱乐节目M，某电视台随机调查了A，B两个地区的2x名观众，
已知从A，B两个地区随机调查的人数相同，A地区喜欢娱乐节目M的人数占A地区参与调查的总人数的
，B地区喜欢娱乐节目M的人数占B地区参与调查的总人数的 ，若根据独立性检验认为喜欢娱乐节目
M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，则所有x构成的集合为__________．
附表： ，其中 ．
0.050 0.010
3.841 6.635
【答案】
【详解】 列联表为：
喜欢 不喜欢 合计
A地区
B地区
合计，
由认为喜欢娱乐节目M和地区有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05，
得 ，则 ，解得 ，又 是5的倍数，
则 可以取的值为 ，所以x构成的集合为 .
故答案为：
14. a，b，c都为正整数， ，随机变量 ，则 __________．
【答案】3.8
【详解】 ，且 ，将7个小球排成一列形成6个间隙，
用2块隔板将7个小球分成3部分，每部分小球数即为 , , 的取值，
因此 , , 的取值共有 种情况， 的所有可能取值为3,4,5，
当 时， , , 的取值有两种情况：
① , , 中有一个是3，余下两个都为2，则有 种情况，
② , , 中有二个是3，余下一个为1，则有 种情况，则 ；
当 时，即 , , 中有一个是4，余下两个分别为1,2，则有 种情况， ；
当 时，即 , , 中有一个是5，余下两个都是1，则有 种情况， ；
所以 ．
故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
的
15. 下图为某学校20个公用电话 日使用次数的频率分布直方图，如图所示，其中各组区间为 ，
， ， ， ．
（1）根据频率分布直方图，求a的值，并求日使用次数在 内的公用电话个数；
（2）从这20个公用电话中任取2个，设这2个公用电话中日使用次数在 内的有X个，求X的分布
列和期望．
【答案】（1） ，12.
（2）分布列见解析，数学期望为 .
【小问1详解】
由频率分布直方图，得 ，所以 ；
日使用次数在 内的频率为 ，
所以日使用次数在 内的公用电话个数为 .
【小问2详解】
的所有可能取值为0，1，2，
，
所以 的分布列为：0 1 2
数学期望 .
16. 某地区有20000名学生参加数学联赛（满分为100分），随机抽取100名学生的成绩，绘制了频率分
布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）根据频率分布直方图，求样本的 分位数（四舍五入精确到整数）；
（3）若所有学生的成绩X近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， ．试估
计成绩不低于90分的学生人数．
附：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】（1）62； （2）71；
（3）455.
【小问1详解】
由频率分布直方图，得样本平均数的估计值：
，
所以样本平均数的估计值为62.
【小问2详解】由频率分布直方图知，前3组的频率和为 ，第4组的频率为0.24，
所以样本的 分位数为 .
【小问3详解】
由（1）知，样本平均数的估计值 ，则 ，
因此 ,
所以成绩不低于90分的学生人数约为 .
17. 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下：
日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日
第x天 1 2 3 4 5
参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
（1）建立 关于 的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；
（2）该景区只开放东门，西门供游客出入，游客从东门，西门进入该景区的概率分别为 、 ，且出景
区与进入景区选择相同的门的概率为 ，出景区与进入景区选择不同的门的概率为 .假设游客从东门，
西门出入景区互不影响，求甲，乙两名游客都从西门出景区的概率.
附：参考数据： .
参考公式：回归直线方程 ，其中 ， .【答案】（1） ，约为 千人；
（2） .
【小问1详解】
依题意， ，而 ，
则 ， ，
因此 ，当 时， ，
所以 关于 的回归直线方程为 ，第10天进入该景区参观的人数约为 千人.
【小问2详解】
记“甲从西门进入景区”为事件 ，“甲从西门出景区”为事件 ，“乙从西门出景区”为事件 ，
， ，
由全概率公式得 ，同理 ，
所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率 .
18. 有 个编号分别是 的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红
色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一
颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第 个
罐子中随机取出一颗糖果.设事件 表示从第 个罐子中取出红色糖果，记事件 发生的概率为 .
（1）求 的值；
（2）求 的值，并证明：当 时， ；
（3）求 （用含 的式子表达）.
【答案】（1） ；
（2） ，证明见解析；
（3） .
【小问1详解】
在第一个罐子中共有糖果 颗，其中红色糖果有3颗，根据古典概型概率公式，
【小问2详解】
由（1）知， ，
所以 ，
当 时，由全概率公式，得
所以 即 ；【小问3详解】
记 ，由（2）知递推关系式 ，变形为 ，
又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以
，
则 即 .
19. 某厂有甲、乙两条生产线生产同种保温杯，保温杯按质量分为一级品和二级品，为了比较两条生产线
生产的保温杯的质量，在甲生产线生产的保温杯中抽取800个样本，一级品有600个，其余均为二级品．
在乙生产线生产的保温杯中抽取2000个样本，一级品有1600个，其余均为二级品．
（1）根据统计数据，完成下列表格，依据小概率值 的独立性检验，能否认为甲生产线的一级品
率与乙生产线的一级品率有差异？
一级品 二级品 合计
甲生产线
乙生产线
合计
（2）现从甲生产线生产的保温杯中按一级品和二级品中，按比例用分层随机抽样法抽取8个保温杯，再从
这8个保温杯中随机抽取3个保温杯，记抽取的3个保温杯中一级品的个数为 ，求 的分布列和数学期
望．
（3）用样本频率估计总体概率，现从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，记其中一级品的保
温杯个数为 ，求使事件“ ”的概率最大时r的值．附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】（1）列联表见解析，能；
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）80.
【小问1详解】
依题意， 列联表如下：
一级品 二级品 合计
甲生产线 600 200 800
乙生产线 1600 400 2000
合计 2200 600 2800
零假设 ：甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率无差异，
根据列联表中数据，经计算得 ，
所以依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为甲生产线的一级品率与乙生产线的一级品率有差异，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
依题意，用分层随机抽样法抽取的8个保温杯中，一级品保温杯有 个，二级品有2个，
随机变量 的可能值为1，2，3，
，所以 的分布列为：
1 2 3
数学期望为 .
【小问3详解】
依题意，乙生产线的一级品率为 ，
的
从乙生产线所有保温杯中随机抽取100个保温杯，一级品 保温杯个数 ，
则 ，
当 时， ，
由 ，解得 ，而 ，则当 时， 递增；
由 ，解得 ，而 ，则当 时， 递减，
