文档内容
2024～2025 学年度第一学期期中教学质量检测
高二数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘
贴在”贴条形码区”.
2.作选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.
3.非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.否
则，该答题无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.
1. 已知空间两点 ，则 两点间的距离是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
2. 若直线 经过点 ，则直线 的斜率是（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人比赛下棋，下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率的是 ，则乙不输的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线 与圆 相交于 两点，则 （ ）
A. B. 4 C. D. 2
的
5. 已知空间三点 ，则点 到直线 距离是（ ）A. B. C. D.
6. 甲、乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每个人从第2层开始在每一层离开电梯是等可能的，
则甲、乙两人离开电梯的楼层数的和为9的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 在正三棱柱 中， 为棱 的中点， 与 交于点 ，若 ，则 与
所成角的余弦值是（ ）
.
A B. C. D.
8. 若过直线 上一点 作圆 的两条切线，切点为 ，则
的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分；在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 设直线 交的点为 ，则（ ）
A. 恒过定点(0,2)
B.
C. 的最大值为
D. 点 到直线 的距离的最大值为5
10. 某学校数学、物理两兴趣小组各有3名男生、3名女生，假设物理兴趣小组的3名女生为甲、乙、丙，
现从数学、物理两兴趣小组各随机选出1名同学参加比赛.设事件 为“从数学兴趣小组中选出的是男生”；事件 为“从物理兴趣小组选出的是女生乙”；事件 为“从两兴趣小组选出的都是男生”；事件 为
“从两兴趣小组中选出的是1名男生和1名女生”，则（ ）
A. B.
C. 与 相互独立 D. 与 互斥
11. 已知正方体 的棱长为2，点 满足 ，其中 ，
则（ ）
A. 存在唯一点 ，使得 平面
B. 存在唯一点 ，使得 平面
C. 当 时，点 到平面 的距离的最小值为
D. 当 时，三棱锥 的体积的最小值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若实数 满足方程 ，则 的最小值为___.
13. 某商场调查500名顾客的满意度情况，得到的数据如下表：
不满意 一般 满意
女性 25 64
男性 15 36
若 ，则满意的顾客中男性顾客不少于女性顾客的概率为________.
14. 已知正四棱柱 为对角线 的中点，过点 的直线与长方体表
面交于 两点， 为长方体表面上的动点，则 的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 如图，长方体 中， ，设 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
16. 在某电视民间歌手挑战赛活动中，有4位民间歌手参加比赛，由现场观众投票选出最受欢迎的歌手，
各位观众须彼此独立地在选票上选2名歌手.其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另外在其他歌手
中随机选1名；观众乙、丙对4位歌手没有偏爱，因此，乙、丙在4名歌手中随机选2名歌手.
（1）求观众甲选2号歌手且观众乙未选2号歌手的概率；
（2）设3号歌手得到观众甲、乙、丙的选票数之和为 ，求 的概率.
17. 已知直线 经过直线 的交点 ，且A(3,2)､ 两点到直线
的距离相等.
（1）求直线 的一般式方程；
（2）若点 在直线 的同侧，且 为直线 上一个动点，求 的最小值.
18. 如图，在矩形 中， ，沿 将 折起，点 到达点 的位置，使点
在平面 的射影 落在边 上.（1）证明： ；
（2）求点 到平面 的距离；
的
（3）若 ，求直线 与平面 所成角 正弦值.
19. 在平面直角坐标系中，已知圆 经过原点和点 ，并且圆心在 轴上.
（1）求圆 的标准方程；
（2）设 为圆 的动弦，且 不经过点 ，记 分别为弦 的斜率.
（i）若 ，求 面积的最大值；
（ii）若 ，请判断动弦 是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
