文档内容
运城市 2024-2025 学年第一学期期末调研测试
高二数学试题
2025.1
本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上.
注意事项：
1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、
准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.
2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 在等比数列 中， ，则数列 的公比是（ ）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式计算求解即可.
【详解】因为数列 是等比数列， ，
设公比为 ，所以 ，解得 ，
故选：C
2. 已知直线 与直线 平行，则实数 的值为（ ）
A. 1 B. C. 1或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件求解即可.【详解】因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时， 与 平行，
当 时， 与 平行，均符合题意，
故选：C
3. 已知 ，则点 到直线 的距离为（ ）
A. B. 3 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的夹角和距离的坐标公式求解即可.
【详解】由题意 ， ，则 ， ，
所以 与 夹角的余弦值 ，
所以 ，
所以点 到直线 的距离 ，
故选：A
4. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物
线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.现有一束光线从抛物线 的焦点
射出，经抛物线上一点 反射后，反射光线所在直线经过点 ，若 ，则该抛物线
的标准方程为（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求出 即可得解.
【详解】根据抛物线的光学性质可知 与 轴平行，
所以由抛物线定义可知 ，
解得 ，
所以抛物线的标准方程为 ，
故选：D
5. 已知等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A. 36 B. 28 C. 24 D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和前 项和公式求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：D
6. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，底面 为等腰梯形，
， 的中点为 ，则平面 与平面 所成角的余弦
值为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意判断四边形 为平行四边形，得到三角形 和三角形 为等边三角形，则
，再根据线面垂直判定定理可得 为平面 与平面 所成角的平面角，解三角形
即可求得.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ， 的中点为 ，则 且 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
则三角形 为等边三角形，则 ，
又四边形 为等腰梯形，则 ，
则三角形 为等边三角形，则 ，
又因为 平面 平面 ，则 ，
又 ， 平面 ，则 平面 ，又因为 平面 ，则 ，
则 为平面 与平面 所成角的平面角，
在 中， ， ，则 ，
则 .
故答案为： .
7. 若数列 满足 ，则数列 的前50项和
为（ ）
.
A 2500 B. 2550 C. 2600 D. 2650
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的定义可知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，再根据等差数列的前
项和公式求解即可.
【详解】由 两式作差可得 ，
所以 ，
又 ， ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以 的前50项和为 ，
故选：C
8. 如图， ，点 为射线 上两动点，且 ，若射线 上至多有一个点 ，使得
，则 长度的取值范围为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系，设 ， ， ，利用两点
距离公式可得 ，再利用 和向量垂直的坐标表示可得 ，
根据题意该一元二次方程至多有一个解，令 即可.
【详解】以 为原点， 为 轴建立如图所示平面直角坐标系，
因为 ，所以设 ， ， ， ，
由 可得 ，解得 ，
因为 ， ， ，
所以 ，整理得 ，
由题意可得关于 的一元二次方程 至多有一个解，所以 ，将 代入整理得 ，
解得 ，所以 ，
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，若 ，则下
列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 当 取最大值时，
【答案】AC
【解析】
【分析】先根据题意求出等比数列 的通项公式，根据等比数列的基础知识能判断 ,结合等比数列
的通项公式及指数运算，等差数列的求和公式来判断C选项，最后结合二次函数指数函数的性质来判断D
选项.
【详解】已知数列 满足 ，可得该数列的首项为 ，公比为 的等比
数列.
根据等比数列的通项公式可知： ，故A正确.
由等比数列的求和公式可知 ,故B错误.
因为 为数列 的前 项积，所以 ，故C正确.易知:
由函数的知识可知：当 或 时 可取得最小值，
当 取得最小值时， 能取到最大值.故D错误.
故选：AC
10. 如图，已知正方体 的棱长为 ，点 分别为棱 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面 截正方体所得截面为四边形
B. 若 ，则 平面
C. 无论 取何值，三棱锥 的体积始终为
D. 异面直线 与 所成的角的余弦值的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，取 ，此时 与 重合，利用面面平行的性质及基本事实3，可得平面 截正
方体所得截面为五边形，即可求解；对于B，设面 面 于 ，利用面面平行的性质及平行的传递性，可得 ，再利用线面平行的判定定理，即可求解；对于C，利用 ，
再利用棱锥的体积公式，即可求解；对于D，利用线线角的向量法，即可求解.
【详解】对于选项A，如图1所示，当 时， ，此时 与 重合，
不妨设面 面 ，易知 面 ，又 面 ，
所以 ，连接 ，易知 ，所以 ，
的
设 分别与 延长线交于 ，连接 ，分别交 于 ，
连接 ，
为
因 ，则 面 ，所以 面 ，又 ，则 面 ，
所以 面 ，同理可得 面 ，
所以，当 时，平面 截正方体所得截面为五边形 ，故选项A错误，
对于选项B，当 时， ，此时 为 的中点，
设面 面 于 ，如图2所示，连接 ，
易知 面 ，又 面 ，面 面 ，
所以 ，又 ，所以 ，又 面 ， 面 ，所以 平面 ，故选项B正确，
对于选项C，如图3所示，因为 ，
又易知 ， ，得到 ，所以选项C正确，
对于选项D，以 为坐标原点，建立如图3所示的空间直角坐标系，
易知 ，所以 ，
又 ，得到 ，
所以 ，设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，
又 ，当 时， ，当 时， ，
又 ，所以 ，综上， ，所以选项D正确，
故选：BCD.
11. 已知 为双曲线 上一点， 为其左右焦点，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足
为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值
B. 的内心为 ， 到 轴的距离为1
C. 若 ，则 的面积为
D. 点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】由双曲线的定义结合二次函数的性质可得A正确；由双曲线的定义结合几何关系可得B正确；由
双曲线的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可得C错误；由渐近线方程和点到直线的距离可得D正确；
【详解】对于A，由双曲线的定义可得 设 ，
，
令 ， ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，设 的内切圆半径为 ， 在右上，由双曲线方程可知 ，
，
设三角形内切圆三边的切点分别为 ，如图，
由几何关系可得 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 到 轴的距离为1，故B正确；
对于C，设
则由余弦定理可得 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，故C错误；
对于D，设 ，渐近线方程 ，点 到渐近线 的距离 ，
同理 到渐近线 的距离 ，
所以 ，
因为点 在双曲线上，所以 ，代入上式可得点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积
为定值 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知圆 和圆 ，则圆 与圆 的公切线有
______条.
【答案】
【解析】
【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可
【详解】由题意得圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
的圆心坐标为 ，半径为 ，
则圆心距为 ，故两圆外切，则两圆的公切线的条数是3条，
故答案为：3
13. 已知数列 满足 ，则 ________．
【答案】
【解析】
【分析】由 化简得 ，从而求出 是1为首项，2为公差的等差数列，从而
可求解.
【详解】由 得 ，则 ，当 时， ，
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，即 .
故答案为： .
14. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过点 的直线 交椭圆 于 两点，
且 ， ，则椭圆 的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设 的中点为 ，根据已知条件可得 ，设 ，结合椭圆的定义和勾股
定理解出 与 的关系，再根据离心率公式求解即可.【详解】如图所示，设 的中点为 ，
因为 ， ，所以 ，
设 ，则 ，由 可得 ，所以 ，
在 中， ①，
在 中， ②，
在 中， ③，
由①②③联立解得 ， ，
所以在 中 ，解得 ，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆 ，圆 经过点 ，且与圆 相切于点 ．
（1）求圆 的标准方程；
（2）已知直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ；
（2） 或
【解析】【分析】（1）设圆 的圆心 坐标 ，半径 ，由题意列关于 ， ， 的方程组，求出圆的方程；
（2）由弦长求出圆心 到直线 的距离，分直线 斜率存在和斜率不存在两种情况求出直线 方程.
【小问1详解】
圆 的圆心 ，半径为3，
设圆 的圆心 坐标为 ，半径 ，
∴ ，解得 ，
∴圆 的的方程为 .
【小问2详解】
若直线 斜率不存在，此时 ： ，
由 ，解得 ，
此时弦长为 ，符合题意，
若直线 的斜率存在，设 ： ，
∵直线 被圆 截得的弦长为 ，
∴圆心 到直线 的距离 ，
因为 ： ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
综上：直线的方程为 或 .16. 某公司今年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元.同时，公司每年需要付出
设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用2万元，第二年各种费用4万元，以后每年各种费用都增
加2万元.
（1）引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第 年后所获利润 ；
（2）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大?
【答案】（1）
（2）这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大
【解析】
【分析】（1）由题意可知，每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，所以可以设出纯收益和
使用年数n的关系式；
（2）根据年平均收益函数表达式，借助基本不等式即可求出最大值.
【小问1详解】
由题意知：每年的各种费用是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
【小问2详解】
年平均收入为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大.
17. 如图1，在直角梯形 中， ， 分别为
的中点，沿 将平面 折起，使二面角 的大小为 ，如图2所示，设
分别为 的中点，点 在线段 上，且 .（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向
量法求解即可.
【小问1详解】
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 是二面角 的平面角，所以 ，
因为 ，所以 为等边三角形，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
【小问2详解】
设 中点为 ，由（1）知 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 所以 ，
， .
设 与平面 所成的角为 ，则 .
18. 已知 为数列 的前 项和，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ．
（3）设 ，若不等式 对一切 恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）利用 的关系，根据等比数列的定义求通项公式.
（2）由（1）可得 ，应用裂项相消法求 .
（3）应用错位相减法求得 ，由题设有 ，讨论 为奇数、偶数求 的取值范围．
【小问1详解】
当 时， ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
∴ 是首项、公比都为 的等比数列，故 .
【小问2详解】
由（1）， ，
∴ .
【小问3详解】
由题设， ，
∴ ，则 ，
∴ ，
由 对一切 恒成立，
令 ，则 ，
∴数列 单调递减，
∴当 为奇数， 恒成立且 在 上递减，则 ，
当 为偶数， 恒成立且 在 上递增，则 ，
综上， .
19. 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活
动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸.
步骤1：设圆心是 ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 ；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点 ，此时圆周上与点 重合的点标记为 ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 与折痕交于点 ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点 .
现取半径为4的圆形纸片，定点 到圆心 的距离为2，按上述方法折纸.以线段 的中点 为原点，线段 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系 ，记动点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的标准方程；
（2）直线 与曲线 交于 两点， ，且 平分 ，求 的中点 到点 的最小距
离.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由条件可得 的方程，即可得到结果；
（2）设直线 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得
到点 的轨迹方程，从而得到结果.
【小问1详解】
以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系，
设 为椭圆上一点，由题意可知 且 ，
则椭圆 以 为左右焦点，长轴长 ，焦距 ，
则 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
由题意可知：直线 的斜率存在，
设直线 ，联立方程 ，消去y得 ，
则 ，
可得 ，即 ，
因为 平分 ，则 ，
整理可得 ，
则 ，
整理可得 ，则 或 ，
若 ，则直线 过点 ，不合题意；
若 ，则 ，
且 ，解得 ，
当直线 过 ，则 ，可知可知中点 点的轨迹为 ，
可知 垂直且过 的直线方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
所以中点M到点 的最小距离即为点 到直线 的距离 .
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为 ，由题设条件将t用k表示为
，得 ，故动直线过定点 ；
