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荆州中学2021级高三下学期第三次适应性考试
数学试题
命题人： 审题人：
一、单项选择题（本题共8道小题，每题四个选项中有且仅有一个正确答案，每小题5
分，共40分）
1.已知集合 ，其中 是实数集，集合 ，则 （
）
2.已知圆 直线 方程 则“圆 与直线 相切”是
“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ）
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分也非必要条件
3.同宿舍六位同学在食堂排队聚餐，其中 ， ， 三人两两不相邻， 和 是双胞胎，必须相邻，
则符合排队要求的方法种数为（ ）
4.已知 则 的值为（ ）
5.已知正四棱台上底面边长为 ，下底面边长为 ，体积为 ，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正
切值为（ ）
6. 已知向量 满足 ， ， ，则 ，
A． B． C． D．
7.上周联考的数学成绩 服从正态分布 且 ，负责命题的王老师考后随
机抽取了 个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在 的人数为 ，则随机变量 的方
差为（ ）8.斜率为 的直线 经过双曲线 的左焦点 ，交双曲线于 两点， 为双曲线
的右焦点且 ，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共3道小题，每题四个选项中至少有两个正确答案，每小题 6分，
共18分）
9. 已知 ，则（ ）
A． 的值为2 B． 的值为16
C． 的值为－5 D． 的值为120
10. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,恒成立条件a=3cos C,b=1. 附加条件①△ABC的面积
❑√10
取到最大值 ; 附加条件②c= .下列结论正确的是（ ）
2
A． B．tan C=2tan B
C．若恒成立条件和附加条件①成立，则
D．若恒成立条件和附加条件②成立，则
11.在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记
点 的轨迹为曲线 ，直线 ： 与 交于 ， 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．满足 的直线 仅有1条三、填空题（本题共3道小题，每小题5分，共15分）
12.棣莫弗定理：若 为正整数，则 ，其中 为虚数
单位，已知复数 ， 则 的实部为___________．
（第一个空满分2分，第二个空满分3分）
13．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平
行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，
一平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，
则直线 的斜率为___________．
14.天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看
待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细
节，情不自禁的流下悔恨的泪水。其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不
思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下
悔恨的泪水。某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，
积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者。一晃三年过去了，这位班
主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为 ，结合自己对以
前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考
后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考
后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒
生的概率为 （结果用既约分数表示）
四、解答题（本题共5道小题，共77分）
15. （本题满分13分）
“ 数列”定义：数列 的前 项和为 ，如果对于任意的正整数 ，总存在正整数 使
则称数列 是“ 数列”。
（1）若数列 的前 项和为 求证：数列 是“ 数列”；
（2）已知数列 是“ 数列”，且数列 是首项为 ，公差小于 的等差数列，求数列
的通项公式；（3）若数列 满足： 求数列 的前 项和 。
16. （本题满分15分）
如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
17. （本题满分15分）
为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．促销活动期间的收费标准是：滑雪时间不超过1小
时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．促销活动期间，
有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙两人滑雪不超过1小时就离开的概率分别为，；
滑雪1小时以上且不超过2小时再离开的概率分别为，；且两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
18. （本题满分17分）
已知 圆心 是原点，点 ，以线段 为直径的圆内切于 动点 的轨
迹记为曲线
（1）求曲线 的方程；
（2）若直线 ，点 ，直线 过点 与曲线 交于 两点，与直线 交于点 .
①若 求直线 的斜率；
②若记直线 的斜率分别为 问 是否为定值？如果是，请求出定值；
如果不是，请说明理由。19. （本题满分17分）
已知函数 ，其中 是自然对数的底数。
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线的斜截式方程；
（2）当 时，求出函数 的所有零点；
（3）证明： 。
