文档内容
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试
数 学
2025.11
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认
真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非
选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．已知圆的方程 ，则该圆的半径为
A．4 B．2 C．3 D．1
2．某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有5张抽奖券，其中2张抽奖券有奖品，若小李从中
一次性随机抽出2张抽奖券，则小李不能获得奖品的概率为
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的右焦点为 ，则 的长轴长为
A． B． C． D．
4．直线 经过点 ，在两坐标轴上的截距互为相反数，则 的所有可能取值之和为
A．7 B．9 C．8 D．10
5．若点 在圆 外，则实数 的取值范围是
A． B．
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 第 1 页 共 6 页C． D．
6．如图 是平面上的两点，且 ，图中的一系列圆是圆心分别为 的两组同心
圆，每组同心圆的半径分别是 是图中两组同心圆的部分公共点．
若点 在以 为焦点的椭圆 上，则
A．点 和 都在椭圆 上 B．点 和 都在椭圆 上
C．点 和 都在椭圆 上 D．点 和 都在椭圆 上
7．空间四边形 中， ， ，则 的值是
A． B． C．0 D．
8．已知圆 ，直线 ，将圆 在 下方的部分沿着 向上翻折，如图，若直线
与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则 的值可以是
A． B．2 C． D．3
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 第 2 页 共 6 页二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线 和圆 ，则下列说法正确的是
A．直线 恒过点
B．直线 与圆 恒有两个交点
C．存在实数 ，使得直线 与直线 垂直
D．直线 被圆 截得的最短弦长为
10．在平面直角坐标系中，已知直线 不同时为 ， 到直线 的距
离为 ， 为直线 的法向量.推广，在空间直角坐标系中，已知平面
到平面 的距离为 ，
为平面 的法向量．若平面 ，点 ，则
A．点 B．若 为原点，则
C．点 到平面 的距离为 D．若 ，则
11．已知点 ， ， ，点 在曲线 上，则
A．存在无数个点 ，使得 为定值
B．存在无数个点 ，使得 为定值
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 第 3 页 共 6 页C．直线 与 的所有交点的横坐标之积为
D．直线 与 的所有交点的横坐标之和大于5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 四点共面，且满足任意三点均不共线，点 为平面 外任意一点，且
，则实数 的值为 ．
13．已知圆 ，过点 作圆 的切线 ，则 与坐标轴围成的三角形面积为
．
14．已知 是椭圆 上一点， 分别是椭圆的左、右焦点，点 是△
的内心，延长 交线段 于点 ，若椭圆的离心率为 ，则 的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心在直线 上．
（1）求圆心为 的圆的标准方程；
（2）设点 在圆 上，点 在直线 上，求 的最小值．
16．（本小题满分15分）
甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概
率都是 ，乙答对每道题目的概率都是 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人
答题互不影响．
（1）求甲、乙两人共答对5道题目的概率；
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 第 4 页 共 6 页（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题
到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
17．（本小题满分15分）
已知圆 ，圆 ．
（1）试判断圆 与圆 是否相交，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程，若不相交，说
明理由；
（2）若直线 与圆 交于 两点，且以线段 为直径的圆经过坐标原点 ，求
实数 的值．
18．（本小题满分17分）
如图，已知菱形 和等边三角形 有公共边 ，点 在线段 上， 与 交于
点 ，将△ 沿着 翻折成△ ，得到四棱锥 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）求直线 与平面 夹角正弦值的最大值．
19．（本小题满分17分）
已知椭圆 的离心率为 ，焦距为2，过 的左焦点 的直线 与
相交于 两点，与直线 相交于点 ．
（1）求椭圆方程；
（2）若 ，求证： ；
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 第 5 页 共 6 页（3）过点 作直线 的垂线 与 相交于 两点，与直线 相交于点 ．求
的最大值．
大庆铁人中学2024级高二年级上学期期中考试 第 6 页 共 6 页
