文档文本内容
大庆铁人中学2024级高二年级下学期期中考试
数 学
2026.06
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认
真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非
选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（ ）．
A．①②③ B．①③ C．②③ D．②
2．已知 ，则 （ ）
A．64 B．56 C．20 D．6
3．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，
且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A．10种 B．12种 C．14种 D．20种
5．甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.
先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为红球的概率是（ ）
大庆铁人中学2024级高二年级下学期期中考试 第 1 页 共 6 页A． B． C． D．
6．根据生物实验中的一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了
点 ，增加点 后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（ ）
A．决定系数 变小 B．残差平方和变小
C．相关系数 变大 D． 不变
7．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”
“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列选项中不正确的是（ ）
A．课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，共有144种排法
B．课程“礼”排在“乐”的后面（可以不相邻），共有360种排法
C．课程“射”“御”排在不相邻的两周，共有240种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
8．不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．抛掷一枚均匀的骰子两次，将两次朝上的点数分别记为随机变量 和 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
大庆铁人中学2024级高二年级下学期期中考试 第 2 页 共 6 页10．已知随机变量 ，随机变量 ，若 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数 （每一位上数字只能是0
或1，例如出现“1010”），其中 的各位数字中 出现0的概率为 ，出现1的概率
为 ，各个位数之间互相独立.记随机变量 ，则当程序运行一次时，下列说法正
确的有（ ）
A． B．
C． 的数学期望 D．随机变量 的方差
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 的展开式中，常数项为__________.（用数字作答）
13．已知函数 ，则“ 在 上单调递减”的充要条件是
__________.（用集合或区间作答）
14．红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到
一只红铃虫的产卵数y（个）和温度 的8组观测数据，制成图1所示的散点图．现用两种模
型① ，② 分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得
大庆铁人中学2024级高二年级下学期期中考试 第 3 页 共 6 页到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24 2.9 646 168 422688 50.4 70308
表中 ， ， ， ；
（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，模型______比较合适？
（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程是______．附：对于一组数据 ，
，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
， ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
设函数 在 及 时取得极值．
(1)求出 的值；
(2)若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围．
大庆铁人中学2024级高二年级下学期期中考试 第 4 页 共 6 页16．（本小题满分15分）
袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1
个球．
(1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为 ，求 ；
(2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为 ，求 的分布列和数学期望．
17.（本小题满分15分）
为了解某地区电动车的销售情况，该地区经济委员会对全区电动车销量展开调查.委员会调查
了该区100位私家车主性别与购车种类的有关数据（每位车主仅购买一辆私家车），得到下表：
非电动车 电动车 总计
男性
女性
总计 100
已知调查对象中男性与女性人数相同；在男性中，购买非电动车的人数是购买电动车人数的
1.5倍；在购买非电动车的车主中，仅有三分之一是女性.
（1）试补全表格，并判断在犯错误的概率不超过0.5%的情况下，能否认为购买电动车与性
别有关？
（2）从该县私家车主中随机选择一人，A表示事件“选到的车主是男性”，B表示事件“选
到的车主购买了非电动车”，查阅资料可知， 与 的比值可以在一定程度上作为
性别对购买私家车倾向的一种度量，将上述比值记作
（i）证明：
（ii）将调查数据中的各项频率视作概率，写出 和 的估计值，并给出 的
估计值.
参考公式与数据：
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中
18．（本小题满分17分）
已知函 ， .
大庆铁人中学2024级高二年级下学期期中考试 第 5 页 共 6 页(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： 恒成立；
(3)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围.
19．（本小题满分17分）
设 为正整数， ， ，… 为 枚质地不均匀的硬币.投掷硬币 ，设正面
朝上的概率为 ，反面朝上的概率为 .同时投出 枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，
即为游戏成功.
(1)当 ， 时，求游戏成功的概率；
(2)当 时，设游戏成功的概率为 ，求当 时， 与 的递
推关系，并证明 是等比数列.
(3)设 ，对于 ， 的取值如下： ，设
此时游戏成功的概率为 ，求证： .
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