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大庆铁人中学2025级高一下学期期中 数学 试题答案 考试时间： 2026 年 6月
大庆铁人中学 2025 级高一年级下学期期中数学试题答案 ⃗AM⋅⃗BN= 1 (⃗AB+ ⃗AC)⋅ (1 ⃗AC− ⃗AB ) =3
又因为 2 2
一、二选择题：
⃗AM⋅ ⃗BN 4
cos∠MPN= = 5√273
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 所以 | ⃗AM|| ⃗BN| √91，
sin∠MPN=
91 .
答案 C A D B A D B D ABC BC AB
三．填空题
17.解：（1）因为 ，
12. 13. 14.
所以在 中由正弦定理可得 ，
四．解答题
即 ,得 ，
|⃗a+ ⃗b+⃗c|
15. （13分）解：(1)当三向量两两夹角为0时， =4√5
2 又因为 ，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 .
π |⃗a+ ⃗b+⃗c|
当三向量两两夹角为3 时， = √5
（2）因为 ，所以 ，
（2）解：由 ，得 ，
又 ，解得 ，所以 ，
在 中根据正弦定理可得 ，即 ．
所以 与 的夹角 .
又由余弦定理可得 ，即 ，
⃗ BN2
=
(1 ⃗AC− ⃗AB ) 2
=
21
16. （15分）解：（1）⃗BN= ⃗AN− ⃗AB， 2 4 ，
由 ，且 ，得 ，
（2） ， ，
即 ，当且仅当 时等号成立，
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则 ， ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
在 中， ， ，
故 面积的最小值为 ．
18.（1）取线段 的中点 ，连接 ，
所以 ，
因为 分别为线段 的中点，所以 ，且 ，
则 ，
又 ，且 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以截面周长为 .
所以 平面 ；
（2）当 为线段 中点时， 平面 ，
证明：取线段 中点 ，连接
因为 分别为线段 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以
平面 ；
因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
19. （12分）（1）由 ， ，
又 面 ，则面 面 ，又 面 ，
则 ， ， ，
所以 面 ，所以当 为线段 中点时， 平面 ；
在 和 中，分别应用正弦定理可得， ，
（3）取线段 的中点 ，连接 ，
因为 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形， 故 ， ，所以 ，
所以 ，又 分别为线段 的中点，
所以 ，
， .
所以 ，则四边形 为四棱锥 过点 及棱 中点的截面，
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从而 而当 或2时， ，当 时， ，所以 ，
因此 .
，从而 为定值；
（2）当 ， ，则 ， ， ，
在 和 中，分别应用正弦定理可得， ， ，
故 ， ， 所以 ，
， ，
， .
令 ， ， ，
设 ，则 ， ，
由 ， ， ， ，
又 在 上单调递减，在 上单调递增，
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