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铁人中学2023级高二下学期期中考试 数学 试题答案 考试时间： 2025 年 5月
铁人中学 2023 级高二下学期期中考试数学试题答案
所以 ，
：
选择题
所以若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为 ．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D D C C A B C A BD AC ACD
填空题：
16.【详解】（1） ，
12. 13. 14. ①③④
在 处切线为 ，故 ，解得 ，
解答题：
故 ，所以 ，所以 ，
15．【详解】记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件 、 、 、 ，
所以 ；
“取到的电子元件是次品”为事件 ， （2）存在 ，理由如下：
（1）由题意得： ， 的定义域为 ， ，
又 ， 当 时， 在 上恒成立，
所以 故 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，与 矛盾，舍去.
，所以取到的电子元件是次品的概率为 ；
当 时，令 得， ，令 得， ，
（2）由题意得： ，
若 ，则0< ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，
所以 故 ，解得 ，满足要求，
， 若 ，则 ，故 在 上单调递减，
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故 ，解得 ，舍去. （2） ，令 ，则 ，
综上， .
当 时，由 ，即 ，得 或 .
17.【详解】（1）从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有 种，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
三种颜色的球都被摸出的不同取法共有 种，
故三种颜色的球都被摸出的概率 ； 当 时， ，所以 在 上单调递减；
（2）由题可知， 的取值可能为
当 时， ，所以 在 上单调递增；
且 ，
， ， ， ，
，
的分布列为
因为 在 上恰有两个零点，
1 2 3
所以直线 与曲线 （ ）恰有两个交点，
所以实数a的取值范围为 .
.
18.【详解】（1）若 ，则 ，
19.【详解】（1）当 时，李华先回答A类问题累计得分为100分的概率为：
因为当 时， ，仅当 时，“＝”成立，
．
所以 在 上单调递减，
（2）设李华先回答A类问题累计得分为X，
则X的可能取值为0，40，100，
所以 在 上的最大值为 .
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所以 的极小值为 ，无极大值；
且P（X＝0）＝1﹣p， ，
（2）解法一：由 ，
，则 ，
若 在 上单调递增，必有 恒成立；
设李华先回答B类问题累计得分为Y，则Y的可能取值为0，60，100，
令 ，有 ，
且 ，
当 时，由已知 在 单调递增，但 ，不合题意
，
当 时，令 ，可得 ，
，
故函数 的减区间为 ，增区间为 ，有
则 ，
由E（X）＞E（Y），可得30p2+52p＞20p2+38p+12，
又由函数 单调递减，且 .
化简可得5p2+7p﹣6＞0，即（5p﹣3）（p+2）＞0，
又由 ，故a的最大值为 .
解得 ，且p （0，1），所以 ，
解法二： ，依题意 恒成立，
∈
所以 ，故
即p的取值范围为 ．
因为 ，所以 ，
20.【详解】（1）当 时， ，则
当 时， ，
令 ，解得
设 ，则
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递增，
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所以 所以 ，即 的最大值为 .
所以 满足题意，即 的最大值为 ；
（3）当 时，易知 单调递增.
易知 ，
所以存在 使得 ，即 ， 为 的极小值点，
所以 ，
其中 ，
设 ，则
整理得
因为 ， ，
所以当 时， ， 在 上单调递增
当 时， ， 在 上单调递减，
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