文档内容
高二数学试卷参考答案
题序 ! # $ % & ’ ( " ) !* !! !# !$ !%
答案 + , - . + , + . .-, .- +-, #!槡!( "/"#/&$ !*
!评分细则"
%!&第!!"题#凡与答案不符的均不得分!
%#&第)#!!题#全部选对的得’分#每选对一个得#分#有选错的不得分!第!*题#全部选对的
得’分#每选对一个得$分#有选错的不得分!
%$&第!#题答对第一空得#分#答对第二空得$分!
%%&第!$#!%题#凡与答案不符的均不得分!
!!+!!解析"本题考查直线的斜率#考查数学运算的核心素养!
(/* (
" 0 0 !
#$ #/"/!$ $
#!,!!解析"本题考查圆的标准方程#考查数学运算的核心素养!
依题意得圆%的半径&0"%’"0槡"/$/$$#1’槡$/"/槡$$(#0槡%"#则圆%的标准方
程为"(1$$#1")/槡$$#0%"!
$!-!!解析"本题考查直线的倾斜角#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
# " #$ " " )"
因为/ 0/ / #所以所求倾斜角与 互补#则所求倾斜角为"/ 0 !
/$ $ !* !* !*
%!.!!解析"本题考查直线与圆相切#考查分类讨论的数学思想!
当*的斜率不存在时#*的方程为(0/!!当*的斜率存在时#设*的方程为)0""(1!$/
"/"/$" %
##由圆心"/##!$到*的距离等于!#得 0!#解得"0/ #则*的方程为)0
槡"#1! $
%
/ "(1!$/##即%(1$)1!*0*!故*的方程为(1!0*或%(1$)1!*0*!
$
&!+!!解析"本题考查动点的轨迹#考查直观想象与数学运算的核心素养!
设+"(#)$#则,0")"#*#,0"("#*#,0槡(#1)##*!因为#,,0,##所以#"()"0
! # $ ! # $
(#1)#"($*#)$*$#则""("/")"$#0*"($*#)$*$#则)02("($*#)$*$#所以动
点+的轨迹为两条直线)0/(与)0("挖去坐标原点$#其图形大致为+!
’!,!!解析"本题考查直线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值#考查逻辑推理与数学运算
的核心素养!
( ) $ ! $
依题意设直线*的方程为 1 0!"-%*#.#*$#则/ 1 0!"-%*#.#*$#所以/ #
- . - . -
! " $$ ! #槡$ $ ! !
*# #*#所以!&#槡/ ) 0 #即/-.&!##当且仅当/ 0 0 时#等号成
. - . 槡/-. - . #
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$!%
书书书! !
立#所以’#/$的面积00 "-""."0/ -.&’#则’#/$的面积的最小值为’!
# #
(!+!!解析"本题考查圆的一般方程与三角函数的综合#考查逻辑推理与数学运算的核心素
养!
" 槡#$# ! 槡#
由(#/槡#(1)#0*#得 (/ 1)#0 #则10 !
# # ! #
! 槡#
由(#1)#1#)0/345$#6#得(#1")1!$#0!/345$#6%!/345$*60 #则1% !
# # #
!
由(#1#(1)#0/345!#得"(1!$#1)#0!/345!<!/345#"6#!/345$*60 #则
#
槡#
1# !故1%1%1!
$ # # ! $
"!.!!解析"本题考查直线与圆的位置关系#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
%
圆(#1")12$#0%的圆心为"*#/2$#半径10##圆心到直线)0/ (12的距离,0
$
"/$2/$2" ’"2" ’"2" & &
0 #依题意可得1/!%,%11!#即!% %$#解得 %"2"% !
& & & ’ #
)!.-,!!解析"本题考查圆与圆的位置关系#考查数形结合的数学思想!
圆##圆$的圆心分别为#"/!#*$#$"##*$#则"#$"0$!
圆##圆$的半径分别为!#槡2#且槡2("*#%(#则"#$"0!1槡2或"#$"0槡2/!或
槡2/!%"#$"%槡21!都可能成立#所以这两个圆的位置关系可能是外切*相交*内切#但
槡2/!)$0"#$"#所以这两个圆的位置关系不可能是内含!
!*!.-!!解析"本题考查直线与半圆#考查数学运算$直观想象及逻
辑推理的核心素养!
由)0#/槡/(#1’(/"#得"(/$$#1")/#$#0!"))#$#则曲
线%为圆"(/$$#1")/#$#0!"%为圆心$的下半部分!由)0
/$1槡/(#/#(#得"(1!$#1")1$$#0!")&/$$#则曲线’
为圆"(1!$#1")1$$#0!"’为圆心$的上半部分!由图可知#"#+"&"#%"/!&#/!0
!#"+3"&"%’"/!/!0槡"$1!$#1"#1$$#/#0槡%!/##直线)0(/#与%#’的公
共点的个数分别为##!#从而+错误#.#-均正确!
#1$ (
因为直线%’的方程为)/#0 "(/$$#令)0*#得(0 #所以当"#+"1"#3"取得
$1! &
(
最小值时#点#的横坐标为 #,错误!
&
!!!+-,!!解析"本题考查直线方程与光的反射#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
’
对于+#4"$#$$关于直线56的对称点为4 "$#/)$#直线47的方程为)0/ "(1#$
! ! &
!高二数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#$!%)
/$#令(0/$#得)0/ #+正确!
&
对于.#-#设4"$#8$#其中8("/$#$(###$关于直线56的对称点分别为# "/$#/)$#
!
81)
$"$#/)$#则47的斜率"&" 0 #!#当"&#时#直线47的方程为)/80""(/
! 4#! ’
/)/8
$$#令)0/)#得(0$1 (’/$#$$#即47与线段#$ 有交点#即光线第一次反射
" ! !
后落在#$上#.错误#-正确!
对于,#因为每一次反射的反射光线斜率与入射光线斜率相反#而过点6的光线斜率不可
能与$7的斜率相反#所以过点6的光线斜率与$7的斜率相等!因为光线可逆#考虑光线
从点6返回#不断反射会回到点$#所以整个光线路径是关于原点对称的!设光线路径为$
*’ *’ *+*’ *6#则9为偶数#共有"91#$个点#"91!$条光线#反射次数9为偶
! # 9
数#,正确!
!#!#!槡!(!!解析"本题考查直线与直线的平行及平行线之间的距离#考查数学运算的核心
素养!
若直线(1%)1%0*与直线-(1")/#’0*平行#则"/%-0*#解得-0##所以-(1")
"%/"/!$$"
/#’0*即为(1%)/!$0*#所以,0 0槡!(!
槡!#1%#
!$!"/"#/&$!!解析"本题考查点关于直线的对称点的坐标#考查数学运算的核心素养!
,)/#
7"/!$0/!#
(1! ,(0/"#
设所求对称点的坐标为"(#)$#则+ 解得
(/! )1# )0/&!
1 1’0*#
- # #
!%!!*!!解析"本题考查圆的方程的实际应用#考查数学建模的核心素养与应用意识!
以/为坐标原点#台风移动的方向为(轴的正方向#建立平面直角坐标系"图略$#则8小时
后#台风侵袭的区域对应的圆的方程为"(/#*8$#1)#0!**##圆心#"#*8#*$#此时轮船的
位置为$"#*8##**/#*8$#则台风侵袭轮船等价于"#$")!**#所以"#*8/#*8$#1"#**/
#*8$#)!**##解得&)8)!&#所以台风侵袭轮船的时长为!&/&0!*小时!
!&!!解析"本题考查直线的截距$垂直以及直线方程#考查数学运算的核心素养!
解-"!$若*经过点$#则#7"/$$1!/20*# ++++++++++++++++!分
解得20/&#++++++++++++++++++++++++++++++#分
对于#(1)/20*#令(0*#得)02#所以*在)轴上的截距为/&!++++++%分
"#$依题意可设直线* 的方程为(/#)180*!++++++++++++++++’分
!
因为直线* 经过点##所以%/#7"/!$180*#+++++++++++++++(分
!
解得80/’#所以* 的方程为(/#)/’0*!+++++++++++++++++"分
!
" !$
"$$线段/#的中点坐标为’ ##/ #+++++++++++++++++++!*分
#
!高二数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$%
!"#$!%!
/ /!
# $
则" 0 0/ # ++++++++++++++++++++++++!!分
$’ #/"/$$ !*
$
所求直线的方程为)/!0/ "(1$$#+++++++++++++++++++!#分
!*
即$(1!*)/!0*!+++++++++++++++++++++++++++!$分
!评分细则"
%!&第"!$问中#得到20/&后#直接得到结论.*在)轴上的截距为/&/#不扣分!
%#&第"#$问还可以这样解答-
因为"0/##++++++++++++++++++++++++++++++&分
*
/! !
所以" 0 0 #++++++++++++++++++++++++++++’分
*! /# #
!
所以所求直线的方程为)1!0 "(/%$#++++++++++++++++++(分
#
即(/#)/’0*!+++++++++++++++++++++++++++++"分
!’!!解析"本题考查点与圆的位置关系及含参数的直线方程对应的直线过定点问题#考查数学
运算与逻辑推理的核心素养!
"!$解-因为点"!#$$在圆5外#所以$#1"/#$#/%-#*#++++++++++++#分
且!#1$#1$7!/#7$1-#*#+++++++++++++++++++++++&分
!$ " !$$
解得/(%-% #则-的取值范围为 /(# !++++++++++++++++(分
% %
"#$证明-因为-0*与#/$-0*不能同时成立#所以方程-(1"#/$-$)1%-/$0*总表
示一条直线!+++++++++++++++++++++++++++++++)分
由-(1"#/$-$)1%-/$0*#得-"(/$)1%$1#)/$0*#++++++++++!!分
,(/$)1%0*#
令 ++++++++++++++++++++++++++++!$分
#)/$0*#
, !
(0 #
#
得+ +++++++++++++++++++++++++++++++!%分
$
)0 #
- #
"! $$
所以直线-(1"#/$-$)1%-/$0*过定点 # !+++++++++++++!&分
# #
!评分细则"
!$
%!&第"!$问中#-的取值范围写为/(%-% #但未写成区间的形式#不扣分!
%
%#&第"#$问中#下结论时指出直线过定点#但未写定点的坐标#不扣分!
!(!!解析"本题考查过三点的圆的一般方程$直线被圆截得的弦长及倾斜角的取值范围#考查数
学运算与逻辑推理的核心素养!
!高二数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#$!%解-"!$设圆%的一般方程为(#1)#16(14)170*#++++++++++++!分
因为#"!#!$#$"/$#!$#5"/!#槡&$三点在圆%上#
,#1614170*# ,60##
所以+!*/$614170*#解得+40*# +++++++++++++++++++%分
-’/61槡&4170*# -70/%#
所以圆%的一般方程为(#1)#1#(/%0*!+++++++++++++++++&分
"#$由"!$知#圆%的圆心为%"/!#*$#半径&0槡&#++++++++++++++(分
"/%1#" #
圆心到直线%(/$)1#0*的距离,0 0 #+++++++++++++"分
& &
##
所以直线%(/$)1#0*被圆%截得的弦长为#槡&#/,#0 !++++++++!*分
&
2/*
"$$" 0 02(’/槡$#/!(#+++++++++++++++++++!!分
%’ */"/!$
因为%’.*#++++++++++++++++++++++++++++++!#分
/! ! ’槡$ (
所以"0 0/ ( #! #++++++++++++++++++++++!$分
* 2 2 $
’" "(
所以直线*的倾斜角的取值范围为 # !+++++++++++++++++!&分
’ %
!评分细则"
,#1614170*#
%!&第"!$问中#得到+!*/$614170*#给!分!
-’/61槡&4170*#
%#&第"#$问中#写出圆%的圆心为%"/!#*$#给!分#写出圆%的半径为槡&#给!分!
!"!!解析"本题考查直线与圆的综合#考查数学运算$逻辑推理及数学抽象的核心素养!
解-"!$将)0#(1槡&代入(#1)#0!#得&(#1%槡&(1%0"槡&(1#$#0*#++++!分
#槡&
解得(0/ #+++++++++++++++++++++++++++++#分
&
" #槡& 槡&$
所以点:的坐标为 / # !++++++++++++++++++++++$分
& &
,(#1)#0!#
"#$由 得"(/#$#1")/#$#/(#/)#0%#++++++++%分
"(/#$#1")/#$#0&#
整理得(1)/!0*#此即为圆/与圆!-"(/#$#1")/#$#0&的公共弦所在直线的方程!
++++++++++++++++++++++++++++++++++++’分
"$$依题意可得直线56的斜率不能为*#则可设直线56-(02)19!++++++(分
,(02)19#
由 得"2#1!$)#1#29)19#/!0*#+++++++++++++++"分
(#1)#0!#
!高二数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%
!"#$!%则"0%2#9#/%"2#1!$"9#/!$0%"2#/9#1!$#*#即2#/9#1!#*!+++++)分
#29 9#/!
设5"(#)$#6"(#)$#则)1)0/ #))0 #
! ! # # ! # 2#1! ! # 2#1!
!/9#
2))0 ")1)$!+++++++++++++++++++++++++!*分
! # #9 ! #
) )
又因为直线5#-)0 ! "(1!$#直线6$-)0 # "(/!$# ++++++++!!分
(1! (/!
! #
) )
所以将)0 ! "(1!$代入)0 # "(/!$#
(1! (/!
! #
(1! )"(1!$)"2)191!$ 2))1"91!$)
得 0 # ! 0 # ! 0 ! # #++++++++++!#分
(/! )"(/!$)"2)19/!$ 2))1"9/!$)
! # ! # ! # !
!/9#
")1)$1"91!$)
#9 ! # # "!/9#$")1)$1#9"91!$)
! # #
0 0
!/9# "!/9#$")1)$1#9"9/!$)
")1)$1"9/!$) ! # !
#9 ! # !
"!19$’"!/9$)1"!19$)( !19
0 ! # 0 !++++++++++++++++++!%分
"!/9$’"!/9$)1"!19$)( !/9
! #
#1! !19 !
又因为直线5##6$的交点在直线(0#上#所以 0 #解得90 #++++!&分
#/! !/9 #
"! $
所以直线56过定点; #* !++++++++++++++++++++++!’分
#
槡!$
当%;.56时#点%到直线56的距离最大#且最大值为"%;"0 !+++++!(分
#
!评分细则"
%!&第"!$问中#得到.&(#1%槡&(1%0*/#但未写.0"槡&(1#$#/#不扣分!
%#&第"#$问还可以这样解答-
,(#1)#0!# ,(0!# ,(0*#
由 得 或 ++++++++++++++++&分
"(/#$#1")/#$#0&# )0* )0!#
所以圆/与圆!-"(/#$#1")/#$#0&的公共弦所在直线的方程为(1)/!0*"或)0
/(1!$!++++++++++++++++++++++++++++++++’分
%$&第"$$问求直线56经过的定点还可以这样解答-
8
设5"(#)$#6"(#)$#3"##8$"8$*$#则直线3#-)0 "(1!$#直线3$-)08"(/
! ! # # $
!$#+++++++++++++++++++++++++++++++++++"分
8
将)0 "(1!$代入(#1)#0!#得"8#1)$(#1#8#(18#/)0*#++++++++)分
$
8#/) )/8# 8 ’8 ")/8# ’8 $
所以/!7(0 #则(0 #)0 "(1!$0 #所以5 # !++
! 8#1) ! 8#1) ! $ ! 8#1) 8#1)8#1)
++++++++++++++++++++++++++++++++++!*分
!高二数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$%
!"#$!%"8#/! /#8$
同理可得6 # #++++++++++++++++++++++++!!分
8#1!8#1!
’8 /#8
/
8#1) 8#1! %8
则" 0 0 # ++++++++++++++++++++++!#分
56 )/8# 8#/! $/8#
/
8#1) 8#1!
%8 " 8#/!$ #8
所以直线56的方程为)0 (/ / !+++++++++++++!$分
$/8# 8#1! 8#1!
根据对称性可知定点在(轴上#++++++++++++++++++++++!%分
!
令)0*#得(0 # +++++++++++++++++++++++++++!&分
#
"! $
所以直线56过定点 #* !+++++++++++++++++++++++!’分
#
!)!!解析"本题考查直线与圆的综合#考查数学运算$逻辑推理$直观想象及数学抽象的核心
素养!
"!$解-对于(%1)%1#(#)#1#(0#($1#()#1(#1)##
令(0*#得)%0)##++++++++++++++++++++++++++++!分
解得)0/!#*#!# ++++++++++++++++++++++++++++#分
所以5与)轴的公共点的个数为$!+++++++++++++++++++++$分
"#$证明-由(%1)%1#(#)#1#(0#($1#()#1(#1)##
得"(#1)#/!$"(#/#(1)#$0*# +++++++++++++++++++++&分
所以5由圆(#1)#0!与圆"(/!$#1)#0!组成!++++++++++++++’分
若点+"(#)$在圆(#1)#0!上#
"+#" 槡"(/槡#$#1)# 槡(#1)#1#/#槡#( 槡!1#/#槡#(
则 0 0 0 0槡##++++"分
"+$" 槡 " (/ 槡
#
#$# 1)# 槡(#1)#1 !
#
/槡#( 槡!1 !
#
/槡#(
"+#"
所以5上存在无数个点+#使得 为定值! ++++++++++++++++)分
"+$"
, !
(0 #
,(#1)#0!# #
"$$解-由 得+ 则圆/-(#1)#0!与
"(/!$#1)#0!# 槡$
)02 #
- #
"! 槡$$ "! 槡$$
圆’-"(/!$#1)#0!的交点为< # #= #/ #如图
# # # #
所示!+++++++++++++++++++++++!*分
"/#"
设*的方程为)0"(/##若*与圆/相切#则 0!#
槡!1"#
!高二数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$%
!"#$!%得"02槡$#当"0/槡$时#*与5只有一个公共点#当"0槡$时#*与5只有三个公共点!
++++++++++++++++++++++++++++++++++!!分
槡$ 槡$
1# / 1#
# #
当*经过点<时#"0 0%1槡$#当*经过点=时#"0 0%/槡$#++!#分
! !
# #
所以当*与5有四个交点时#"的取值范围是"槡$#%/槡$$/"%/槡$#%1槡$$/"%1槡$#
18$!+++++++++++++++++++++++++++++++++!$分
将)0"(/#代入(#1)#0!#得"!1"#$(#/%"(1$0*#+++++++++++!%分
将)0"(/#代入(#/#(1)#0*#得"!1"#$(#/"%"1#$(1%0*#++++++!&分
$ % !#
所以这四个点的横坐标的乘积为 ) 0 #++++++++++!’分
!1"# !1"# "!1"#$#
!# !# $ $
因为"#槡$#所以!1"##%#所以 % 0 #则这四个点的横坐标的乘积小于 !
"!1"#$# !’ % %
++++++++++++++++++++++++++++++++++!(分
!评分细则"
%!&第"!$问还可以这样解答-
,(0*# ,(0*# ,(0*# ,(0*#
由 得 或 或 ++#分
(%1)%1#(#)#1#(0#($1#()#1(#1)## )0/! )0* )0!#
所以5与)轴的公共点的个数为$!+++++++++++++++++++++$分
%#&第"$$问中#求出点<#=的坐标#未画图#不扣分!
!高二数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
!"#$!%
