#$#%!#$#"学年上学期高二期中考试
数学参考答案
槡( %!
!!&!由题意得"的斜率为’ !所以"的倾斜角为 !
( "
#!)!因为!*"+#*!’"#’"#!所以#*!!#’"!!*"共面!其他向量与向量#*!!#’"均
不共面!
(!,!由题意得#"$+$"$!$#!"$!!#!"$!’!#!"!!$#!"!!!#!"’!!$#!"’!!’!#%!所以#
"$的元素个数为-!
$!*"#’’##+(#! $’+(!
.!&!设该圆的标准方程为%#*"&’’##+(#!由 得 所以圆的标准方
!*".’’##+(#! (#+#!
程为%#*"&’(##+#!
$$# $$# $$# .$$# ! $$# $$# .$$# !$$# !$$#
%!)!由题意知)*+)+*+*+’ +#* "+$*+,#+’ +#* +$* +,!
% # % # #
$$# $$# $$# $$# . ! !
因为)*+%+#*&+$*-+,!所以%+’ !&+ !-+ !则%%*&*-+’(!
% # #
"!/!由图可知!#$#%年(月至0月我国社会消费品零售总额同比增长速度均为正数!所以
#$#%年(月至0月我国社会消费品零售总额逐月增大!,正确!#$#%年(月至0月我国社会
消费品零售总额同比增长速度的极差为 "!.1 ’(!$1 +(!.1!) 正确!因为
%!0*%!!*"!.*.!2*(!-*(!.*(!$ (#!(
+ %%!所以#$#%年(月至0月我国社会消费品
- -
零售总额同比增长速度的平均数小于%1!&正确!因为-3"$1+.!#!所以#$#%年(月至
0月我国社会消费品零售总额同比增长速度的"$1分位数为%!!1!/错误!
$$#
-!&!如图!连接#,!,+!取#+的中点.!连接,.!易得#,
! !
$$# $$# $$#
+#,!则所求的投影向量为#,在#+上的投影向量!易得#,
! $$# $$#
+,++#槡#!则,.&#+!#.+ #+!所以#, 在#+上的
# ! !
!$$#
投影向量为 #+!
#
2!)!曲线%+!*槡!’"&’###即为半圆"%’!##*"&’###+!"%’!#!半圆最下方的点
)"!!!#!直线/%’&’(+$为过0"$!’(#的动直线!当直线/%’&’(+$与半圆相切时!
(/’%( !# .
有 +!!解得/+ !当直线/%’&’(+$过)时!有/+ +.!因为直线/%’&’(
槡!*/# % !
!高二数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
!"#$!%&
书书书!#
+$与半圆有两个不同的交点!所以 %/).!
%
0!)&!1"%#+45(%(是偶函数!1"%#+’678%在"$!!#上单调递减!)!&符合题意!
!$!,)/!以2为原点!2#!2,!22 所在的直线分别为%轴&&轴&-轴!建立如图所示的空
!
间直角坐标系!
)"!!$!$#!."#!!!##!*"$!#!!#!#"#!$!$#!,"$!#!$#!$"#!#!$#!
$$# $$# $$#
2 "$!$!##!得).+"!!!!##!)*+"’!!#!!#!#,+"’#!#!$#!
!
$$#
$2 +"’#!’#!##!
!
设平面.)*的法向量为$+"%!&!-#!
$$#
+$’).+%*&*#-+$!
则* 令-+!!得&+’!!%+’!!得$+
$$#
,$’)*+’%*#&*-+$!
"’!!’!!!#!
$$# $$#
因为#,’$+#’#+$!所以#,&$!又#,-平面.)*!所以#,.平面.)*!,正确!
$$# $$#
因为$2 +#$!所以$2.$!所以$2 &平面.)*!)正确!
! ! !
易得平面#$,2的一个法向量为%+"$!$!!#!所以平面#$,2与平面.)*夹角的余弦
(%’$( 槡(
值为(9:;(%!$)(+ + !&错误!
(%(($( (
$$#
$$# $)’$
易得$)+"’!!’#!$#!所以点$到平面.)*的距离为 +槡(!/正确!
($(
!!!,)!圆+的圆心为+"$!$#!半径3+(!
对于,!因为(+0(+槡"槡###*"’槡(##+槡%%(!可知点0在圆+内!
可得圆心+到过点0的直线的距离4/*$!槡%+!
所以(#$(+#槡3#’4#+#槡0’4#/*.!"+!故,正确!
($’$’#(
对于)!因为圆心+到直线",槡(%’&’#+$的距离4+ +!!
槡!#*"’槡(##
且圆+的半径为(!所以圆+上有.个点到直线",槡(%’&’#+$的距离为!!0!故)正确!
对于&!圆,,"%’%##*"&’!###+(#的圆心为,"%!!##!半径为(!则(+,(+槡%#*!##+
!(!若圆+与圆,没有公切线!则两圆内含!所以(+,(%(3’((!即!(%((’((!解得(0
!"!又(0$!所以(的取值范围为"!"!*<#!故&错误!
对于/!设5"6!"*6#!以+5为直径的圆为%"%’6#*&"&’"’6#+$!
整理得%#*&#’6%’"6*"#&+$!
由题意可知!直线,2为圆5与圆+的公共弦所在的直线!
可得’0*6%*""*6#&+$!整理得6"%*&#*"&’0+$!
!高二数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$%
!"#$!%&+ (
%+’ !
$%*&+$! # " ( (#
令 解得* 所以直线,2必过定点 ’ ! !故/错误!
"&’0+$! ( # #
&+ !
, #
%’!(= ’="%’!(=# %’!(=
!#!’!(*%=!由题意得 + +’!(’%=!所以 的共轭复数是’!(*%=!
= ’=# =
! " ## ( !
!(! !由题意得该!’ !’ "!’6#+ !得6+ !
. ( . .
*槡!% 槡-# !% ! (
!.! ! !由 + */!"//!#!得%+ */("//!#!由题意得)"(!$#!则1"%#图
!% - ( # #
"( !# "(( !# " ( !# "%(
象的最高点 ! !最低点 !’ 在圆)内或在圆)上!且点 ’ !’ 和 !
# # # # # # #
+"( ## !
’( * ).(#!
# .
"(( ## !
’( * ).(#!
!# # . ! ! 槡!% 槡-
在圆)外!所以* 得 )(#% !得 )(% !
# !% - !% -
" ( ## !
’ ’( * 0.(#!
# .
"%( ## !
’( * 0.(#!
, # .
!%!解,"!#由题意得#6*2+$!得6+’.!--------------------(分
(
"##易得61$!令&+$!由6%’#&’(+6%’(+$!得%+ !----------%分
6
0
令%+$!由#%’.&*0+’.&*0+$!得&+ ! ----------------分
.
( 0 .
由 + !得6+ ! ---------------------------2分
6 . (
"(#由题意得’.6+’.!得6+!! ---------------------!$分
(’"’0( (槡%
则%’#&’(+$可化为#%’.&’"+$!所以" 与" 之间的距离为 + !
! # 槡##*"’.## #
----------------------------------!(分
!"!解,"!#"方法一#由题意得),"%’###*"&’###+2’7!------------#分
则2’70$!-------------------------------(分
得7%2!所以7的取值范围为"’<!2#! ------------------.分
"方法二#由2#*.#’.8+"’.##*"’.##’.70$!-------------(分
得7%2!所以7的取值范围为"’<!2#! ------------------.分
(#*#’#(
"##"由题意得)"#!##到"的距离4+ +槡#!------------"分
槡!#*!#
!高二数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$%
!"#$!%&"! ##
则圆)的半径为槡4#* (#$( +#+槡2’7! --------------2分
#
得7+.!--------------------------------0分
#当所求切线的斜率不存在时!该切线的方程为%+.! ------------!!分
当所求切线的斜率存在时!设该切线的方程为&+/"%’.#’#!即/%’&’./’#+$!-
----------------------------------!#分
(#/’#’./’#( (
由 +#!得/+’ !--------------------!(分
槡/#*!# .
(
所以所求的切线方程为&+’ %*!!即(%*.&’.+$!-----------!.分
.
综上!过点".!’##的圆)的切线方程为%+.或(%*.&’.+$!--------!%分
!-!解,"!#由题意得’9:;#9:;,*’;=8#;=8,+#槡(9;=8#9:;$*’9:;#9:;,’
’;=8#;=8,!-------------------------------#分
得’;=8#;=8,+槡(9;=8#9:;$!----------------------(分
由正弦定理得;=8$;=8#;=8,+槡(;=8,;=8#9:;$!-------------%分
因为;=8#0$!;=8,0$!所以;=8$+槡(9:;$!得678$+槡(!---------"分
!
因为$/"$!!#!所以$+ !-------------------------分
(
! 槡( 槡(
"##由题意得 69;=8$+ 69+ "’#*.#!-----------------2分
# . 2
得’#+#69’.!------------------------------0分
由余弦定理得’#+6#*9#’#699:;$+6#*9#’69! -------------!$分
得#69’.+6#*9#’69!-------------------------!!分
%
得%69+"6*9##*.) "6*9##!---------------------!#分
.
得6*9’.! ------------------------------!(分
当且仅当6+9+#时!等号成立!----------------------!.分
所以6*9的最小值为.!-------------------------!%分
!2!"!#证明,连接$2!----------------------------!分
因为.!8分别为棱,$!,2的中点!所以.8.$2!--------------#分
又.8-平面#$$2!$22平面#$$2!所以.8.平面#$$2!-------.分
! ! !
"##证明,因为#$+#,!.为$,的中点!所以#.&$,!------------%分
由题意知$$&平面#$,!则$$&#.!------------------"分
! !
又$$"$,+$!所以#.&平面$$,! -------------------分
! !
!高二数学"参考答案!第!!!!.页#共"页$%
!"#$!%&因为#.2平面#2.!所以平面#2.&平面$$,!--------------2分
!
"(#解,取$,的中点)!连接).!则)..$$.#2!.#!.$!.)两两垂直!--0分
! !
"! ##
$,+槡,$#’$$#+#槡%!#.+槡#$#’ $, +#!--
! ! #
----------------------!$分
以.为坐标原点!建立如图所示的空间直角坐标系!则$"槡%!
$!$#!,"’槡%!$!$#!$"槡%!#槡-!$#!2"$!槡-!##! --!!分
!
$$# $$# $$#
,$+"#槡%!#槡-!$#!,2+"槡%!槡-!##!$2+"’槡%!槡-!##!----------!#分
!
设平面$,2的法向量为$+"%!&!-#!
!
+#槡%%*#槡-&+$!
则* --------------------------!(分
,槡%%*槡-&*#-+$!
令%+槡-!得$+"槡-!’槡%!$#!----------------------!.分
$$#
由"!#可知直线.8的一个方向向量为$2+"’槡%!槡-!##! ----------!%分
$$#
($2’$( #槡(% 槡!$%
设直线.8与平面$ ! ,2所成的角为!!则;=8!+ ($ $$ 2 # (($( + .3#槡( + !# !
槡!$%
故直线.8与平面$,2所成角的正弦值为 !--------------!-分
! !#
%*. (’#" (*##
!0!解,"!#线段#$的中垂线方程为&’ +’ %’ !即&+’%*-!
# %’. #
所以圆心+ 在直线&+’%*-上!---------------------#分
!
又圆心+ 在直线.%’(&+$上!所以直线&+’%*-与直线.%’(&+$的交点就是圆心
!
$&+’%*-! $%+(!
+ !解方程组 得 即+ "(!.#!---------------.分
! !
.%’(&+$! &+.!
因为圆+ 的半径(+#(+槡"(’(##*".’%##+!!所以圆+ 的标准方程为"%’(##*"&
! ! !
’.##+!!--------------------------------%分
"##只要写出",%+.或",(%*.&’#$+$或",-%’#.&*!$$
! # (
+$之一就可以!------------------2分
"
因为圆+与圆+ 的圆心距为%!等于两圆的半径之和!所以两
!
圆外切!结合图形可求出公切线",%+.!
!
圆+与圆+ 的方程相减可得公切线",(%*.&’#$+$!
! #
" !"# !"
另外一条公切线过两圆的连心线.%’(&+$与",%+.的交点..! !设",&’ +
! ( ( (
!高二数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
!"#$!%&/"%’.#!因为原点+到" 的距离为.!
$ (
!"
’./
( $ - !" - #
所以 +.!解得/+ !所以",&’ + "%’.#!即-%’#.&*!$$+$
槡!*/# $ #. ( ( #.
$
"(#显然当直线的斜率不存在时!只要直线与圆+交于0!5两点!根据对称性恒有30)+
+35)+! -------------------------------0分
当直线的斜率存在时!设经过点:的直线&+/%*’与圆+交于0"%!&#!5"%!&#两
! ! # #
$&+/%*’!
点!由 得"!*/##%#*#/’%*’#’!"+$!
%#*&#+!"!
+ #/’
%*%+’ !
! # !*/#
所以"+./#’#’."!*/##"’#’!"#0$!且* ---------!!分
’#’!"
%%+ !
,! # !*/#
& &
由30)++35)+!得/ */ +$!即 ! * # +$!
0) 5) %’2 %’2
! #
所以&"%’2#*&"%’2#+$!整理得"’’2/#"%*%#*#/%%’!"’+$!--!.分
! # # ! ! # ! #
+ #/’
%*%+’ !
! # !*/#
将* 代入上式可得’+’#/!----------------!"分
’#’!"
%%+
,! # !*/#
直线&+/%*’即&+/%’#/+/"%’##!该直线恒过点"#!$#!
所以存在满足条件的定点:"#!$#!---------------------!-分
!高二数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$%
!"#$!%&
