文档内容
2024年普通高等学校招生全国统一考试
高考模拟调研卷数学(二)
数学测试卷共 4页，满分 150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 则 =
A. B. C. D.
2. 双曲线 的渐近线方程为
3. 已知正方形 的边长为2, 为 中点, 则
B. C. D.
4 展开式中的常数项为
A. -2 B. 0 C. 2 D. 6
5. 若复数 满足 ,则称复数 的循环常数为 . 的最
小循环常数为
A. 2 B. 3 C.4 D. 6
6. 已知 则
A. B.
7. 已知函数 且 则
A. B. C. 1 D.
8. 已知 则 的大小关系为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分 .在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 某班主任为了解本班学生上学时间，抽取了12名学生早晨从家到学校的时长，得到如下数据(单位：分)：
20,18, 23, 27,32, 21, 26, 23, 12, 17, 19, 20, 则下列说法正确的是
A. 这组数据的中位数是20.5 B. 这组数据的上四分位数是23
C. 这组数据的平均数是21.5 D. 这组数据的极差是20
10. 已知函数 , 则下列四个结论中正确的是
A. 是偶函数 B. 的图象关于直线x=π对称
C. 的最小正周期为 D. 的值域为
11. 已知平行六面体 的所有棱长均为1, 则下列说法正
确的有
A.直线 与直线 夹角的余弦值为 B. 直线 平面
C.四面体 外接球的表面积为 D. 点 到平面 的距离为
12.如图,在等腰直角三角形 中, ,过点 的光线经 边上点 反射到 上的点
,若 ，则下列结论正确的有
A. 为 中点 B.
D
C.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 某班在一次联欢会中进行一项抽奖游戏，规则如下：先在 2种方法中随机选择一个，第一种方法，连续抛
掷3次质地均匀的硬币，如3次掷出相同面，则为一等奖，如有2次相同，则为二等奖，其余为三等奖；
第二种方法，从标有1，2，3数字的质地大小相同的 3个小球中有放回地抽取3次，如3次抽取数字都相
同，为一等奖，如有2次相同，为二等奖，其余为三等奖。则在一次抽奖活动中，获得一等奖的概率为
.
14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 经过 且垂直于 轴，
与 相交于 两点. 若 是周长为12的正三角形, 则 =_________.
15. 已知函数 满足: ① 的图象过点 ; ② 是偶函数; ③对任意的非零实数
请写出一个满足上述条件的函数 = .
16. 已知直四棱柱 的底面是边长为4的菱形， ，侧棱长为 , 点 为的中点，点 在直四棱柱. 的表面上运动，且 ，则 的中点
的轨迹的长度为__________.
四、解答题：本题共6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
在 中, 角 的对边分别是 已知 且平面向量
满足
(1) 求角 的大小:
(2) 若边 的中线长为 . 求 的面积.
18. (12分)
篮球世界杯于 2023年9月 10日在菲律宾马尼拉圆满结束，德国男篮凭借出色表现连续击败美国、塞尔维亚
夺得冠军，德国也成为阿根廷、西班牙之后又一支在足球、篮球世界大赛中都夺得冠军的国家。重庆市某中学对
学生对于篮球的喜爱情况进行调查，将每周打篮球或观看篮球比赛超过5小时的学生称为“篮球迷”，否则称为
“非篮球迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，抽取的女生人数是男生人数的 ；抽取的男生中“非篮
球迷”人数是“篮球迷”入数的 。抽取的女生中“篮球迷”人数是“非篮球迷”人数的 .
篮球迷 非篮球迷 总计
男生
女生
总计
(1)完成列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为是否为 “篮球迷”与性别有关联?
(2) 现从抽取的男生中，按是否为“篮球迷”比例采用分层抽样的方法抽取 5人参加篮球知识闯关比赛，已
知其中 “篮球迷”。“非篮球迷”独立闯关成功的概率分别为 , ;在恰有两人闯关成功的条件下，求
有“篮球迷”闯关成功的概率.
参考数据与公式：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
其中19. (12分)
已知四棱锥 的底面是直角梯形, , , 底面 ,
为边 上的点, , 且 平面 .
(1) 若 点为 的中点, 求四棱锥 的体积;
(2) 若 的面积为3, 求直线 与平面 的夹角的正弦值.
20. (12分)
已知数列 , 满足
(1)求 的通项公式;
(2) 求 的前 项和 .
21. (12分)
已知抛物线 过焦点 的直线 与抛物线 交于 两点， 的最小值
为4.
(1) 求抛物线 的标准方程；
(2) 设点 是抛物线上异于 的任意一点, 直线 分别与直线 交于点 是否存
在 轴上的定点 ，使得 恒成立? 若存在，求出所有符合条件的定点 的坐标； 若不
存在，请说明理由。
22. (12分)
已知函数(1) 若方程 有2个实数根, 求实数 的取值范围;
(2)若方程 有2个实数根. 且不等式 对任意 恒成立,求
正数 的取值范围( 为自然对数的底数).
