数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷_1010湖北省“腾·云”联盟2024-2025学年度上学期10月联考_2-数学

湖北省“腾·云”联盟2024-2025学年度上学期10月联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D A D A B B AB ABD AD 31 12． 13．3 14．9 2 6．解析： PAPB PC  4, PQ 面ABC 且Q是ABC外心，  2 4 64 PQ 2 3 QAQBQC 2， 2 3R 4 R2，R ，S 4R2  3 3 1 7．解析：四边形ACBM 面积S  MC AB  MA AC  |MC|2 1， 2 2 |MC|2 1 1 AB   2 1 ， MC MC 2 MC 2  x1 2e2x, f(x) x1 2e2x, f (x)2(x1)2e2x 单增， 又 f(0)0， f(x)  f(0)2， MC 2 2, AB  2, min min min 2  2  S    min   2   2 答案第1页，共11页8．解析： x  x 11,x  x 11,x  x 11，则xx x 3,4,.......15,所 1 1 2 2 3 3 1 2 3 以有C2 C2 ......C2 C3 C2 ......C2 C3 455 2 3 14 3 3 14 15 10．解析：函数 f  x  sinx  3 cosx 的定义域为R，有 f x  sin(x)  3 cos(x)  sinx  3 cosx  f  x ，即函数 f  x 是偶函数， 又 f  xπ  sin  xπ   3 cos  xπ   sinx  3 cosx  f(x)，则π是函数 f  x 的一个周期，也是最小正周期，A正确 π π π 当0 x 时， f(x)sinx 3cosx2sin(x )，显然函数 f(x)在[0, ]上递 2 3 6 π π π π π 增，在[ , ]上递减，  x0时，由偶函数的性质知，函数 f(x)在[ , ]上 6 2 2 2 6 π π π π 递增，在[ ,0]上递减，即当0 x 时 f(x)  f( )2, f(x)  f( )1， 6 2 max 6 min 2 π 即函数 f(x)在[0, ]的取值集合为[1,2]， 2 π π π 从而函数 f(x)在[ ,0]的取值集合为[1,2]，即在[ , ]上的值域为[1,2]，因此函 2 2 2 数 f(x)在R上的值域为[1,2]，B正确； 如图： 答案第2页，共11页 7 f(x)不关于直线x  对称，所以不关于直线x  对称，故C错 6 6  5  π π f(x)在  , 上单调性同[ , ]，所以递减，故D对。    6 2 6 2 11．解析：对2f 2(x) f(2x)1两边求导得4f(x)f(x)2f(2x)即 2f(x)g(x) g(2x) ，故A对 2g2(x) f(2x)10, f(2x)1,即恒成立， 1 2f 2(0) f(0)1, f(0)1, f(0) （舍），故B错。 2 g(x)是奇函数， f(x)是偶函数， f(x)1,g(x)1，g(x)为增函数， f(x)为增函数， 又 f(0)0，故C错。 x3 F(x) g(x)( x) ， 6 x2 x2 F(x) g(x)( 1) f(x)( 1) ， 2 2 F(x) f(x)x g(x)x为增函数， F(x) F(0)0,F(x) F(0)0,F(x) F(0)0，故D对。 14．解析：如图示，先求出硬管不倾斜，水平方向通过的最大长度AB． 答案第3页，共11页 π π 设BAQ,0  ，则ABQ ．  2 2 过A作AC垂直内侧墙壁于C，B作BD垂直内侧墙壁于D，则 π AC  BD3,CPABAQ,DPBABQ ． 2 AC 在直角三角形ACP中，sinCPAsin ， AP AC 3 所以AP   ． sin sin BD 3 同理： BP   π  cos． sin   2  3 3  π 所以AB  APBP   ,0  ． sin cos  2 3 3 1 2 因为 AB   32  6  6 2 sin cos sincos sin2 π (当且仅当sincos且 时等号成立)． 4 所以 ．因为走廊的宽度与高度都是3米， AB6 2 所以把硬管倾斜后能通过的最大长度为 m AB232   6 2 2 32 9 ， π 15．解析：(1)在 ABCD中，AB 2,BC 2,ABC  ， 4 答案第4页，共11页由余弦定理得AC2  AB2 BC2 2ABBCcosABC  2， 则AB2  AC2  BC2，有ABAC， 又平面ACEF 平面ABCD， 平面ACEF 平面ABCD  AC， AF  AC ，AF 平面ACEF ， 则AF 平面ABCD，直线AB,AC,AF 两两垂直，(3分) 以点A为原点，直线AB,AC,AF 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B( 2,0,0),C(0, 2,0)， D( 2, 2,0),E(0, 2,1),F(0,0,1) 设M(0,t,1),0t  2 ，   则AE (0, 2,1),DM ( 2,t 2,1)，   由AE  DM ，得AEDM  2(t 2)10， 2 FM 1 解得t  ，即  ，所以当AE  DM 时，点M 为线段EF 的中点．(6分) 2 FE 2  2  (2)由(1)可得BM ( 2, ,1),BC ( 2, 2,0) ， 2  设平面MBC的法向量为m(x,y,z)， 答案第5页，共11页   2 mBM  2x yz 0  则 2 ，取 y 2，得m(2,2, 2)，(9分)   mBC  2x 2y 0  平面ECD的法向量为n(0,1,0)，设平面MBC与平面ECD的夹角为，     |mn| 2 10 则cos|cosm,n|     ， |m||n| 442 5 10 所以平面MBC与平面ECD的夹角的余弦值为 ．(13分) 5 ax a(1x) 16．解析：(1)易知函数 f  x  (a 0)的定义域为R．所以 f(x) ，(2 ex ex 分)当a 0时，由 f(x)0，得x1，由 f(x)0，得x1．所以 f(x)的单调增 区间为(,1)，单调减区间为(1,)；(4分) 当a<0时，由 f(x)0，得x1，由 f(x)0，得x1．所以 f(x)的单调增区间为(1,)，单调减区间为(,1)．(6 分) 3x 1 lnx (2)xf(x)lnx1mx即m   在x(0,)上恒成立，(7分)令 ex x x 3x 1 lnx h(x)   ，易知函数h(x)的定义域为(0,)．所以 ex x x 3ex 3xex 1 1lnx 3(1x) lnx h  (x)     ．(9分)当0 x1时， e2x x2 x2 ex x2 3(1x) lnx 3(1x) lnx 0, 0，故h(x)0；(11分)当x1时， 0, 0，故 ex x2 ex x2 h(x)0．(13分)所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以x1时， 3 3 h(x)在(0,)上取得最大值h(1) 1．所以m 1，所以实数m的取值范围是 e e 3   1,  ．(15分) e  答案第6页，共11页  17．解析：(1)由mn可得，(ba)sin A(bc)(sinBsinC) ，由正弦定理该式化 b2 a2 c2 1 为(ba)a (bc)(bc)，整理得：b2 a2 c2 ab，即：  ，即 2ab 2 1  cosC  ，因为C为三角形的内角，所以C  。(5分) 2 3     (2)令|CD| x，由题意：2CDCACB，平方得：4x2 b2 a2 ab，(7分)又 由正弦定理 a b C 2 3    ， sin A sinB sinC 3 2 3 2 3 则：a  sinA, b sinB，代入上式得： 3 3 4 4 4 4x2  sin2 B sin2 A sinAsinB 3 3 3 4 2 4 4 2  sin2( A) sin2 A sinAsin( A) 3 3 3 3 3 4 1cos( 2A) 4 3 4 1cos2A 4 2      sin Asin(  A) 3 2 3 2 3 3 4 2 5 = cos(2A ) (11分) 3 3 3 因为三角形是锐角三角形，所以   0 A   2    2     A   2A  ， 2  6 2 3 3 3  0  A  3 2 2 1 4 2 5 7 7 cos(2A )( ,1]， cos(2A ) ( ,3]，即4x2( ,3]， 3 2 3 3 3 3 3 21 3 x( , ]， 6 2 答案第7页，共11页21 3 因此，CD的取值范围为 ( , ]。(15分) 6 2  2 3 a 2 2a  2b  18．解析：(1)由题意，有 3 ，解得b 3 即椭圆标准方程为：   ac3 c1  x2 y2  1(4分) 4 3 (2) 设过点R的切线方程为 y k(x1)2kx(2k) y2 k2x2 2k(2k)x(2k)2 联立3x2 4y2 120，有 (4k2 3)x2 8k(2k)x4(2k)2 120 由于想切，令 0， 4k2(2k)2 (4k2 3)(2k)2 3(4k2 3) 3(4k2 3)3(2k)2 3k2 4k 10 1 即求得k k  (9分) 1 2 3 (3)设R(x ,y ) (y 0)，RK 延长线交x轴于K'点， 0 0 0 IK AK' x 2 P、Q两点处切线斜率分别是k 和k ,有   0 ， 1 2 JK BK' 2x 0 设椭圆上P或Q两点切线方程为y k(xx ) y 联立有， 0 0 答案第8页，共11页y k(xx ) y kx(kx  y )  0 0 0 0 x2 y2   1  4 3 (4k2 3)x2 8k(kx  y )x4(kx  y )2 120 0 0 0 0  0，有64k2(kx  y )2 4(4k2 3)[4(kx  y )2 12]， 0 0 0 0 (x2 4)k2 2x y k y2 30 0 0 0 0 2x y y2 3 k k  0 0 ，kk  0 (12分) 1 2 x2 4 1 2 x2 4 0 0 y k (2x ) y I 1 0 0  y k (2x ) y J 2 0 0 IK AI x 2 k (2x ) y 要证明  ，需证明 0  1 0 0 JK BJ 2x k (2x ) y 0 2 0 0 即要证k (4x2) y (2x )k (x2 4) y (2x )， 2 0 0 0 1 0 0 0 4(k k )2x y (k k )x2 1 2 0 0 1 2 0 2x y IK AI (k k )(x2 4)2x y 其中，k k  0 0 显然，即证  (17分) 1 2 0 0 0 1 2 x2 4 JK BJ 0 19．(1)① (a,1)，(c,1)，(c,3) (4分) 1 1 ② 处于位置(c,3)时，得3分，( )2  ， 2 4 1 1 处于位置(a,1)时，得1分，( )2  ， 2 4 X 1 3 1 1 处于位置(c,1)时，得分1分，2( )2  ， 3 1 2 2 P 4 4 所以最终得分的分布列为： 3 1 3 得分X 的期望E(X)1 3  1.5。(9分) 4 4 2 答案第9页，共11页(2)将棋盘按如图所示编号： 将棋子可以去的区域用箭头连接起来，如从3可以连接4或8，记做：4—3—8；从8 可以连接3或1，记做：3—8—1；然后将他们串联起来：4—3—8—1。依次类推，可以 串联出环状回路：-4—3—8—1—6—7—2—9—4-，如下图所示： 则棋子等价于在这个环状回路中运动，问题(2)可以转化为将两个棋子放在环形回路中 的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模式：(顺，顺)，(顺，逆)， 1 (逆，顺)，(逆，逆)，发生概率各为 4 为了转化问题，现规定d “两棋子之间的最短节点数”，例如： d 3 d 1 特别规定两棋子重合时，d 0。并统计四种运动模式下d 会如何改变 答案第10页，共11页假设3号棋子顺时针走过x个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过y个节点也可以 与之重合。为了简化问题，不妨假设x y，于是有下表： (顺，顺) (顺，逆) (逆，顺) (逆，逆) d 0 d 0 d 1 d 1 d 0 d 1 d 1 d 0 d 3 d 1 d 3 d 3 d 1 d 1 d 3 设 p “n回合后，d 0的概率”， n q “n回合后，d 1的概率”， n R “n回合后，d 3的概率”， n  1 1 p  p  q  n 2 n1 4 n1   1 1 1 1 则有q  p  q  R  ，(13分) n 2 n1 2 n1 2 n1 2   1 1 R  q  R   n 4 n1 2 n1 1 1 1 1 1 p  p  ， p   (p  ) n 2 n1 8 n 4 2 n1 4 1 1 1 1 1 显然， p 0, p   ,，所以 p   ( )n1， 1 1 4 4 n 4 4 2 1 1 所以解得： p   。 (17分) n 4 2n1 答案第11页，共11页