文档内容
绝密 启用前
★
金科·新未来 2023~2024 学年度下学期期末质量检测
高二数学
全卷满分 150分，考试时间 120分钟。
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2、请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答
题区域均无效。
3、选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上
作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知等差数列{ a }满足a +a =16，且a −a =4，则首项a =（ ）
n 3 6 5 3 1
A．−1 B．0 C．1 D．3
2．已知曲线 f ( x )=ax+lnx−2在点 ( 1, f ( 1 )) 处的切线方程是y =2x+b，则b=（ ）
A．−3 B．−2 C．1 D．-1
3．在各项为正的等比数列{ a }中，a 与a 的等比中项为2，则log a +log a =（ ）
n 8 10 2 6 2 12
A．4 B．3 C．1 D．2
1
4．函数 f ( x )= x3−x2 −3x ( x ≤0 )的最大值是（ ）
3
5
A． B．0 C．2 D．3
3
x2 y2
5．已知双曲线C: − =1的一条渐近线与圆E:(x− 10)2 + y2 =25相交于A,B两点，且 AB =8，
a2 b2
则双曲线C的离心率为（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
6．若函数 f ( x )=ax2 −e2x在区间(−2,−1 )上单调递减，则a的取值范围是（ ）
1 1 1
A．[ 2e,+∞) B． − ,+∞ C． −∞,− D． − ,0
2e4 e2 e2
1 1
7．已知n∈N*,a = ,b = ，数列{ a }与数列{ b }的公共项按从大到小的顺序排列组成一个
n 2n−1 n n2 +2n n n
学科网（北京）股份有限公司新数列{ c }，则数列{ c }的前99项和为（ ）
n n
1 99 99 198
A． B． C． D．
2 199 197 199
8．在平面坐标系xOy中，一个质点从原点出发，每次移动一个单位长度，且上下左右四个方向移动的概率
相等，若该质点移动6次后所在坐标为( 2,0 )，则该质点移动的方法总数为（ ）
A．120 B．135 C．210 D．225
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知等差数列{ a }的前n项和为S ，等比数列{ b }的前n项积为T ，则（ ）
n n n n
A．{ a +b }不可能为等比数列 B．{ a b }可能为等差数列
n n n n
S T
C． n 是等差数列 D． n 是等比数列
n 2n
10．已知抛物线C: y2 =4x的焦点为F ，准线为l ，点P是C上位于第一象限的动点，点M 为l 与x轴的
交点，则下列说法正确的是（ ）
A．F 到直线l 的距离为2
B．以P为圆心 PF 为半径的圆与l 相切
C．直线MP斜率的最大值为2
D．若 FM = FP ，则△FMP的面积为2
11．已知函数 f ( x )=ex −x,g ( x )= x−lnx，则下列说法正确的是（ ）
A．g ( ex ) 在( 0,+∞)上是增函数
B．∀x >1，不等式 f ( ax )≥ f ( lnx2 ) 恒成立，则正实数a的最小值为 2
e
C．若 f ( x )=t有两个零点x ,x ，则x + x >0
1 2 1 2
lnt 1
D．若 f ( x )= g ( x )=t(t >2)，且x > x >0，则 的最大值为
1 2 2 1 x −x e
2 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．已知变量x和 y的统计数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 2 m 4 4.5
若由表中数据得到经验回归直线方程为 y =0.8x+0.6，则m =_________．
学科网（北京）股份有限公司13．已知函数 f ( x )=2ax−ex，若 f ( x )的图象经过第一象限，则实数a的取值范围是_________．
14．不透明的袋子中装有2个白球，3个黑球（除颜色外，质地大小均相同），学生甲先取出2个球（不放
回），学生乙在剩下的3个球中随机取一个，已知甲至少取走了1个黑球，则乙取出白球的概率为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列{ a }是公差不为零的等差数列，a = −11，且a ,a ,a 成等比数列．
n 1 2 5 6
（1）求{
a
}的通项公式；
n
（2）设S 为{ a }的前n项和，求S 的最小值．
n n n
16．（本小题满分15分）
如图，在三棱锥P− ABC中，AB ⊥平面PAC,E,F 分别为BC,PC的中点，且PA= AC =2AB =2．
（1）证明：PC ⊥平面ABF ；
（2）若AC ⊥ PA，求平面AEF 与平面PAC 的夹角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
某学校食堂提供甲、乙、丙三种套餐，每日随机供应一种，且相邻两天不重复．已知食堂今天供应套餐甲，
（1）求接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率；
（2）用随机变量X 表示接下来的三天中食堂供应套餐乙的天数，求X 的分布列与期望．
18．（本小题满分17分）
x2 y2 2
已知椭圆C: + =1(a >b>0)的右焦点为F ，离心率为 ，过F 的直线交C于A,B两点，O为坐
a2 b2 2
标原点，当AB ⊥OF 时， AB = 2 ．
（1）求C的方程；
（2）过F 的另一条直线交C于D,E 两点，设直线 AB的斜率为k ( k ≠0 )，直线DE 的斜率为k ，若
1 1 2
k =2k ，求 AB − DE 的最大值．
1 2
19．（本小题满分17分）
已知函数 f ( x )=ex −1,g ( x )=ln ( x+1 )．
学科网（北京）股份有限公司（1）若 f ( x )≥kg ( x )在( 0,+∞)上恒成立，求k的取值范围；
（2）设A ( x ,y )( x >0 )为 y = f ( x )图象上一点，B ( x ,y )( x >0 )为 y = −g ( x )图象上一点，O为坐
1 1 1 2 2 2
标原点，若∠AOB为锐角，证明：x > x2．
2 1
学科网（北京）股份有限公司金科·新未来 2023~2024 学年度下学期期末质量检·高二数学
参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A D A D B B D BC ABD ABD
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．【答案】C
a +a =2a +7d =16
【解析】设等差数列{ a }的公差为d ，因为a +a =16，且a −a =4，所以 3 6 1 ，
n 3 6 5 3 a −a =2d =4
5 3
a =1
所以 1 ．故选C．
d =2
2．【答案】A
1
【 解 析 】 函 数 f ( x )=ax+lnx−2 ， 求 导 得 f′( x )=a+ ， 依 题 意 ， f′( 1 )=a+1=2 ， 得
x
a =1, f ( x )= x+lnx−2，显然 f ( 1 )= −1，因此−1=2+b，所以b=−3．故选A．
3．【答案】D
【 解 析 】 因 为 a 与 a 的 等 比 中 项 为 2 ， 所 以 a a =22 =4 ， 所 以
8 10 8 10
log a +log a =log ( a ⋅a )=log ( a ⋅a )=log 4=2．故选D．
2 6 2 12 2 6 12 2 8 10 2
4．【答案】A
1
【解析】因为 f ( x )= x3−x2 −3x ( x ≤0 )，所以 f′( x )= x2 −2x−3，令 f′( x )>0，得x<−1，令
3
f′( x )<0，得−1< x<0，所以函数 f ( x )在(−∞,−1 )上单调递增，在(−1,0 )上单调递减，所以 f ( x )的
5
最大值是 f (−1 )= ．故选A．
3
5．【答案】D
b
【解析】根据题意得，圆心 E 到C 的渐近线的距离为 52 −42 =3,∴设渐近线方程为 y = x ，则
a
10b b2 b2
=3,∴ =9,e= 1+ = 10，故选D．
a2 +b2 a2 a2
6．【答案】B
e2x e2x
【解析】依题意， f′( x )=2ax−2e2x ≤0 在(−2,−1 )恒成立，即a ≥ 恒成立，设g ( x )= ，则
x x
学科网（北京）股份有限公司e2x( 2x−1 ) 1
g′( x )= ，所以g′( x )≤0，所以g ( x )在(−2,−1 )单调递减，所以a ≥ g (−2 )= − ，故选
x2 2e4
B．
7．【答案】B
【解析】因为数列{ 2n−1 }是正奇数数列，对于数列 { n2 +2n } 等价于 { (n+1)2 −1 } ，当n为奇数时，设
n =2k −1 ( k∈N* ) ，则 (n+1)2 −1=4k2 −1 为奇数；当 n 为偶数时，设 n =2k ( k∈N* ) ，则
(n+1)2 −1=(2k +1)2 −1=4k ( k +1 ) 为 偶 数 ， 所 以
1 1 1 1 1 1
c = ,c = = = − ， 所 以
n 4n2 −1 n 4n2 −1 ( 2n−1 )( 2n+1 ) 22n−1 2n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 99
c +c ++c = × 1− + − ++ − = × 1− = ，故选B．
1 2 99 2 3 3 5 197 199 2 199 199
8．【答案】D
【解析】情形一，质点往右移动4次，往左移动2次，C2 =15，
6
情形二，质点往右移动3次，往左移动1次，往上移动一次，往下移动一次，C3A3 =120，
6 3
情形三，质点往右移动2次，往上移动2次，往下移动2次，C2C2 =90，
6 4
所以质点移动的方法总数为225，故选D．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】对于A，当{ a }为常数列，且a =0时，因为{ b }是等比数列，所以{ a +b }为等比数列，所以
n n n n n
A错误．
对于B，当{
b
}为常数列时，因为{
a
}为等差数列，所以{
a b
}为等差数列，所以B正确．
n n n n
n ( n+1 ) S ( n+1 ) S S 1
对于 C，设{ a }的公差为d ，则S =na + d ，得 n =a + d ，因为 n+1 − n = d ，
n n 1 2 n 1 2 n+1 n 2
S
所以数列 n 是等差数列，所以C正确．
n
T +1
n
对于D，设{ b }的公比为q，则
2n+1
=
T
n+1 ⋅
2n
=
b
n+1 =
1
bqn，当q≠1时，
1
bqn不是常数，所以
T
n
n T 2n+1 T 2 2 1 2 1 2n
n n
2n
不是等比数列，所以D错误．故选BC．
学科网（北京）股份有限公司10．【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】易知F ( 1,0 )，准线l:x = −1，所以F 到直线l 的距离为2，A选项正确；
由抛物线的定义，点P到准线的距离等于 PF ，所以以P为圆心 PF 为半径的圆与l 相切，B 选项正确；
当直线MP与抛物线相切时，MP的斜率取得最大值．设直线MP:x =my−1，与抛物线 y2 =4x联立可
得：y2 −4my+4=0，令Δ=16m2 −16=0得：m = ±1，所以直线MP斜率的最大值为1，C选项错误；
y2 y2
若 FM = FP =2，设P 0 ,y ，则 0 +1=2，解得y =2，
4 0 4 0
1
所以△FMP的面积为 ×2× y =2，D选项正确，故选ABD．
2 0
11．【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
1
【解析】A项中，令t =ex，则x =lnt ，由x∈( 0,+∞)知t >1，此时函数为 y =t−lnt,y′=1− >0，所
t
以函数 y =t−lnt在( 1,+∞)上是单调增函数，即g ( ex ) 在( 0,+∞)上是增函数，所以 A 项正确；B 项中，
x >1时，lnx2 >0，又a为正实数，所以ax >0，又 f′( x )=ex −1>0，所以 f ( x )单调递增，所以不等
2lnx 2lnx 2−2lnx
式等价于ax ≥lnx2对∀x >1恒成立，即a ≥ ，令ϕ( x )= ，知ϕ′( x )= ，所以ϕ( x )
x x x2
max
2
在( 1,e )上递增，在( e,+∞)上递减，所以(ϕ( x ) ) =ϕ( e )= ，所以B项正确；C项中，易知 f ( x )=ex −x
max e
在(−∞,0 )上递减，在( 0,+∞)上递增，f(x) = f ( 0 )=1，所以t >1，不妨设x < x ，则必有x <0< x ，
min 1 2 1 2
若 x + x > 0，则等价于 x >−x >0 ，等价于 f ( x )> f (−x ) ，等价于 f ( x )> f (−x ) ，令
1 2 2 1 2 1 1 1
F ( x )= f ( x )− f (−x )，x∈(−∞,0 ) ,F′( x )= f′( x )+ f′(−x )=ex +e−x −2>0，即F ( x )在(−∞,0 )上
递增，所以F ( x )< F ( 0 )=0，则x ∈(−∞,0 )时，f ( x )< f (−x )，所以x + x >0不成立，即C错误；
1 1 1 1 2
D项中，由 f ( x )=ex −x在(−∞,0 )上递减，在( 0,+∞)上递增，g ( x )在( 0,1 )上递减，在( 1,+∞)上递增，
易知 f ( x )= g ( x )有唯一的解x ∈( 0,1 )，又 f ( 1 )=e−1<2，所以x > x >1，由 f ( x )= g ( x )，即
0 2 1 1 2
ex 1 −x = x −lnx =elnx 2 −lnx ， 即 有 f ( x )= f ( lnx ) ， 所 以 x =lnx ， 即 ex 1 = x ， 所 以
1 2 2 2 1 2 1 2 2
lnt lnt lnt lnt 1
= = ，又t >2，所以 = ，所以D正确．
x −x ex 1 −x t x −x e
2 1 1 2 1 min
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．【答案】3
学科网（北京）股份有限公司 ( )
【解析】易知x=3，经验回归直线 y =0.8x+0.6过样本点的中心 x,y ，所以y =0.8×3+0.6=3，所以
1.5+2+m+4+4.5=5×3，解得m =3．
e
13．【答案】
,+∞
2
ex ex
【解析】由 f ( x )的图象经过第一象限，得∃x >0，使得 f ( x )>0，即2a > ，设g ( x )= (x >0)，
x x
ex( x−1 )
求导得g′( x )= ，当0< x<1时，g′( x )<0，当x >1时，g′( x )>0，函数g ( x )在( 0,1 )上单
x2
e
调递减，在( 1,+∞)上单调递增，则g(x) = g ( 1 )=e，有2a >e，所以实数a的取值范围是 ,+∞ ．
min 2
4
14．【答案】
9
【解析】甲取走1个黑球1个白球的方法数为C1C1 =6，取走2个黑球的方法数为C2 =3，所以乙取出白
2 3 3
6 1 3 2 4
球的概率为P = × + × = ．
6+3 3 6+3 3 9
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．【答案】（1）a =2n−13（2）−36
n
【解析】（1）设{ a }的公差为d ，
n
则a = −11+d,a = −11+4d,a = −11+5d ，
2 5 6
依题意，a2 =a a ，
5 2 6
即(−11+4d)2 =(−11+d )(−11+5d )，
整理得，11d ( d −2 )=0，
解得，d =2或d =0（舍），
所以a =−11+2 ( n−1 )=2n−13；
n
a +a −11+2n−13
（2）S = 1 n ×n = ×n =n2 −12n，
n 2 2
因为S =n2 −12n =(n−6)2 −36≥ −36，
n
当且仅当n =6时，等号成立，
所以S 的最小值为−36．
n
学科网（北京）股份有限公司6
16．【答案】（1）略（2）
3
【解析】（1）因为F 为PC的中点，PA= AC，所以PC ⊥ AF ，
因为AB ⊥平面PAC,PC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥ PC，
又AF AB= A,AF,AB⊂平面ABF ；
所以PC ⊥平面ABF ；
（2）若AC ⊥ PA，则AB,AC,AP两两垂直，
建立如图所示分别以AB,AC,AP为x,y,z轴的空间直角坐标系，
1
A
(
0,0,0
)
,E ,1,0,F
(
0,1,1
)
,B
(
1,0,0
)
,C
(
0,2,0
)，
2
1
AC =( 0,2,0 ) ,AE = ,1,0,AF =( 0,1,1 ) ,AB =( 1,0,0 )，
2
AE⋅n=0,
设平面AEF 的法向量为n=( x ,y ,z )，则有
1 1 1
AF⋅n=0,
1
x + y =0,
即2 1 1 令 y =1，则x = −2,z = −1，
1 1 1
y +z =0,
1 1
所以平面AEF 的一个法向量为n=(−2,1,−1 )，
易知AB ⊥平面PAC,∴平面PAC 的法向量为AB =( 1,0,0 )，
AB⋅n
2 6
设平面AEF 与平面PAC 夹角为θ，则cosθ= = = ，
AB ⋅ n 6 3
6
所以平面AEF 与平面PAC 夹角的余弦值为 ．
3
1 9
17．【答案】（1） （2）
4 8
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
【解析】（1）记事件A=“接下来的三天中食堂都未供应套餐甲”，则P ( A )=1× × = ，所
2 2 4
1
以接下来的三天中食堂均未供应套餐甲的概率为 ；
4
（2）X 的所有可能取值分别为0，1，2，
1 1 1 1
则P ( X =0 )= × × = ，
2 2 2 8
1 1 1
P ( X =2 )= ×1× =
2 2 4
1 1 5
P ( X =1 )=1− − =
4 8 8
X 的分布列为
X 0 1 2
1 5 1
P
8 8 4
1 5 1 9
所以X 的期望为E ( X )=0× +1× +2× = ．
8 8 4 8
x2 2
18．【答案】（1） + y2 =1 （2）
2 3
【解析】（1）设焦距为2c，当AB ⊥OF 时，将x =c代入椭圆方程可得，
c2 y2 b2
+ =1，解得 y = ± ，
a2 b2 a
b2 c 2
所以 AB =2 = 2，又 = ，解得a = 2,b=1，
a a 2
x2
所以C的方程为 + y2 =1；
2
1
（2）设直线AB:x =m y+1m = ,A ( x ,y ) ,B ( x ,y )，
1 1 k 1 1 2 2
1
x =m y+1
与椭圆线方程联立 1 可得， ( m2 +2 ) y2 +2m y−1=0，
x2 +2y2 −2=0 1 1
−2m −1
由韦达定理， y + y = 1 ,y y = ，
1 2 m2 +2 1 2 m2 +2
1 1
所以 AB = 1+m2 y − y = 1+m2 ( y + y )2 −4y y
1 1 2 1 1 2 1 2
4m2 −1 1
= 1+m2 1 −4 =2 21− ，
1 ( m2 +2 )2 m2 +2 m2 +2
1 1 1
学科网（北京）股份有限公司 1
同理可得， CD =2 21− ，
m2 +2
2
1 1
AB − DE =2 2 − ，因为k =2k ，所以m =2m ，
m2 +2 m2 +2 1 2 2 1
1 2
1 1 3 2m2
故 AB − DE =2 2 − = 1
m2 +2 4m2 +2 2m4 +5m2 +2
1 1 1 1
3 2 3 2 2
= ≤ = ，
2 4+5 3
2m2 +5+
1 m2
1
当且仅当k = ±1时，等号成立，
1
2
所以||AB − DE 的最大值为 ．
3
19．【答案】（1）k ≤1（2）略
【解析】（1）先证明 f ( x )> x，构造函数F ( x )= f ( x )−x =ex −x−1，
则F′( x )=ex −1>0，故F ( x )单调递增，从而F ( x )> F ( 0 )=0，
即ex > x+1，因此x >ln ( x+1 )，
当k ≤1时，kln ( x+1 )≤ln ( x+1 )< x1时，构造函数G ( x )= f ( x )−kg ( x )=ex −1−kln ( x+1 )，
k k
则G′( x )=ex − ,G′( x )单调递增，且G′( 0 )=1−k <0,G′( lnk )= k− >0，
x+1 1+lnk
故存在x ∈( 0,lnk )，使得G′( x )=0，且x∈( 0,x )时，G′( x )<0，即G ( x )单调递减，
0 0 0
则当x∈(
0,x
)时，G (
x
)0，则OA⋅OB>0，即x x + y y >0，
1 2 1 2
学科网（北京）股份有限公司即x x > ( ex 1 −1 ) ln ( x +1 )．
1 2 2
x ln ( x +1 )
因为x ,x >0，则不等式为 1 > 2 ，
1 2 ex 1 −1 x
2
ln ( x′+1 ) ln ( x +1 )
设x′ =ex 1 −1，则不等式为 > 2 ，
1 x′+1 x
2
x
设h ( x )= ln ( x+1 ) ，则h′( x )= x+1
−ln ( x+1 )
，
x x2
x 1 1 −x
设H ( x )= −ln ( x+1 )，则H′( x )= − = <0，
x+1 (x+1)2 x+1 (x+1)2
因此H ( x )< H ( 0 )=0，即h′( x )<0，即h ( x )单调递减，
因此h ( x′)>h ( x )，可得x′< x ，即ex 1 < x +1．
1 2 1 2 2
首先证明：ex > x2 +1(x >0)，
设t ( x )=ex −x2 −1，则t′( x )=ex −2x，
由（1）可知ex > x+1,∴ex−1 > x，从而ex >ex >2x，故t′( x )>0,t ( x )单调递增，
因此t ( x )>t ( 0 )=0，从而ex > x2 +1，
因而x +1>ex 1 > x2 +1，故x > x2．
2 1 2 1
学科网（北京）股份有限公司
