文档内容
2024-2025 学年（上）高三年级期中质量监测
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位
置上，在其他位置作答一律无效。
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设 ， ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A.2 B. C.4 D.16
4.已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 在 上单调递减，
则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.从5名男生和3名女生中选出4人参加一项创新大赛.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有 1人在内，
那么不同的选法种数为（ ）
A.15 B.40 C.55 D.70
6.一个正四棱台油槽可以装汽油190L（1L=1000cm3），若它的上、下底面边长分别为60cm和40cm，则它
的深度为（ ）
A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7.当 时，函数 与 的图象有4个交点，则 的值为（
）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数 的定义域为 ，且 ，当 时， ，则
（ ）
A.-7 B.25 C.57 D.102
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 的系数为10 B.第4项的二项式系数为10
C.没有常数项 D.各项系数的和为32
10.在长方体 中， ， ，点 P 是底面 上的一点，且
平面 ，则（ ）
A. B. 平面
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.如图，函数 的部分图象，则（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A.
B.将 图象向右平移 后得到函数 的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 在区间 上的最大值与最小值之差的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果随机变量 ，且 ，那么 ________.
13.如图，在半径为2、圆心角为60°的扇形的弧 上任取一点A，作扇形的内接平行四边形 ，使
点B在 上，点C在 上，则该平行四边形面积的最大值为________.
14.已知函数 ，若 ， ，则正整数a的最小值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数 .
（1）若 ，求 的极值；
（2）若函数 的图象关于点 对称，求 的值.
16.（15分）
在 中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求B；
（2）若四边形 内接于圆O， ， ，求 面积的最大值
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17.（15分）
银行储蓄卡的密码由6位数字组成.小明是一位数学爱好者，记得自己随机用了 的前6
个数字（1，1，3，4，5，9）设置个人银行储蓄卡密码.
（1）求密码中两个1不相邻的概率；
（2）若密码的前三位出现1的次数为X，求X的分布列和数学期望.
18.（17分）
在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ，平面 平面 ，
， .
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成角的正弦值；
（3）若线段 上存在一点E，使得截面 将四棱锥 分成体积之比为5：7的上下两部分，
求点P到截面 的距离.
19.（17分）
已知函数 及其导函数 的定义域都为 ，设直线 ： 是曲线 的任意一条切
线，切点横坐标为，若 ，当且仅当 时“=”成立，则称函数 满足“性质P”.
（1）判断 是否满足“性质P”，并说明理由：
（2）若 是单调增函数，证明： 满足“性质P”：
（3）若函数 满足“性质P”，求实数a的取值范围。
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