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江苏省如皋中学 2024-2025 学年度第一学期综合练习(一)
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不
同的报名方法种数有（ ）
A． B． C．24 D．12
4．有两箱零件，第一箱内有 件，其中有 件次品；第二箱内有 件，其中有 件次品.
现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取 个零件，则取出的零件是次品的概率
是（ ）
A． B． C． D．
5.已知点 是直线 上的动点，由点 向圆 引切线，切点分别为
且 ，若满足以上条件的点 有且只有一个，则 （ ）
A． B． C．2 D．
6.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正
八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 ，
则正八面体外接球的体积为（ ）
A．B．
C．
D．
7.已知数据 ， ， ，…， ，满足： （ ），若去掉 ， 后组成
一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第35百分位数不变
C．平均数不变 D．方差不变
8. 已知定义在实数集 上的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则 （ ）
A. 0 B. C. 1 D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）.
A．两个随机变量的线性相关性越强，样本相关系数就越接近于1
B．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，
若样本中男生有55人，则该校女生人数是675
C．对于独立性检验， 的观测值越大，推断“零假设 ”成立的把握越大
D．以 拟合一组数据时，经 代换后的线性回归方程为 ，则 ，
10. 已知 ，则下列结论成立的
是（ ）
A． B．C． D．
11. 双纽线，也称伯努利双纽线．如图，双纽线 经过原点，且 上的点满足到点
的距离与到点 的距离之积为1，则（ ）
A．直线 与 只有1个公共点
B．圆 与 有4个公共点
C． 与 轴的交点坐标为
D． 上的点到 轴的距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在二项式 的展开式中，常数项为 .
13. ．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传
递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由
2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
14.已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，过点 的
直线 交 的左支于 两点. （ 为坐标原点），记点 到直线 的距离为 ，
则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某单位准备从8名报名者（其中男性5人，女性3人）中选4人参加4个副主任职位竞
选．
(1)求所选4人中女性人数为2人的概率；
(2)若选出的4名副主任分配到 ， ， ， 这4个科室上任，一个科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一个科室，求 科室任职的是女性的情况下， 科室任职的
是男性的概率．
16. 已知三棱锥 满足 ， 且
．
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值，
17. 科技创新赋能高质量发展，某公司研发新产品投入x（单位：百万）与该产品的收益y
（单位：百万）的5组统计数据如表所示（其中m为后期整理数据时导致数据缺失），
且由该5组数据用最小二乘法得到的回归直线方程为 ．
x 5 6 8 9 12
1 2
y 20 28 m
6 5
(1)求m的值．
(2)若将表中的点 去掉，样本相关系数r是否改变？说明你的理由．
参考公式：相关系数 ．18.已知函数 ．
（1）判断函数 的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线y=f (x)与y=g(x)的所有公切线方程.
19. 已知椭圆 的长轴长为4， ， 为C的左、右焦点，点P（不
在x轴上）在C上运动，且 的最小值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过 的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，记 的内切圆的半径为r，求r的
取值范围.
江苏省如皋中学 2024-2025 学年度第一学期综合练习(一)
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.【答案】C
【详解】因为 ，所以 ，代入 ，可得 ，
所以方程变为 ，可解得 或3，所以 ，故选：C.
2. B
3．【答案】A【详解】不同的报名方法种数有 .故选：A.4．【答案】C
【详解】设事件 表示从第 箱中取一个零件，事件 表示取出的零件是次品，
则
，
即取出的零件是次品的概率为 .故选：C.
5.【答案】D
【详解】连接 ，则 .
又 ，所以四边形 为正方形，
，
于是点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上.
又由满足条件的点 有且只有一个，则圆 与直线 相切，
所以点 到直线 的距离 ，解得 .故选：D.
6.【答案】B
【详解】如图正八面体，连接 和 交于点 ，
因为 ， ，
所以 ， ，又 和 为平面 内相交直线，
所以 平面 ，所以 为正八面体的中心，
设正八面体的外接球的半径为 ，因为正八面体的
√3
表面积为8× AB2=12√3，所以正八面体的棱长为 ，
4
所以EB=EC=BC=√6,OB=OC=√3,EO=√EB2−OB2=√3，
4 4
则R=√3,V = πR3= π×3√3=4√3π．故选：B．
3 3
7.已知数据 ， ， ，…， ，满足： （ ），若去掉 ， 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ）
A．中位数不变 B．第35百分位数不变
C．平均数不变 D．方差不变
【答案】D
【详解】原来的中位数与现在的中位数均为 ，故中位数不变，故
A选项正确；原数据中， ，第35百分位数是第4个数据 ，
去掉 ， 后， ，第35百分位数是新数据中的第3个 ，
第35百分位数不变，B选项正确；
原来的平均数为 ，
去 ， 掉后的平均数为 ，平均数不变，故C选项正确；
原来的方差为 ，
去掉后 ， 的方差为 ，
方差变小，故D选项错误.故选：D.
8. 【答案】D
【详解】因为 ，令 ，则 ，
则 ，再令 ，代入上式可得 ，
所以 ，故选：D.
9. 【答案】BD
10. 【答案】AD
【详解】设 ，原式为 ,令 ， ,A正确；
令 ，则 ，
同乘 得 ，
， ，故B错误
令 ，则 ，故C错误
两边同时求导得： ，
再令 ， ,故D正确.故选：AD.
11. 【答案】ACD
【详解】设曲线 上的动点 ，则 ，
化简得 ，令 ，解得 或 ，
因此双纽线 与 轴的交点坐标为 ， ，C正确；
由 ，解得 ，因此直线 与 只有1个公共点，A正确；
由 ，解得 或 ，因此圆 与 有2个公共点，
B错误；
由 ，得 ，则 ，
令 ，则 ，
因此 ，当且仅当 时取等号，即 上的点到 轴的距离的最大值为 ，D正
确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在二项式 的展开式中，常数项为 . 180
13. 【答案】10
【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、
乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有： 种；
安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有： 种，
由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为： 种.
故答案为：10
14.【答案】
【详解】令双曲线 的半焦距为 ，由离心率为2，得 ，
取 的中点 ，连接 ，由 ，得 ，则 ，
连接 ，由 为 的中点，得 ， ， ，
因此 ，即 ，整理得 ，
而 ，所以 .
故答案为：15. 【详解】（1） ，
（2）设 “ 科室任职的是女性”， “ 科室任职的是男性”，
则 ， ，
所以 ．
16. 解 , ,
,即： ,
取 中 点 ， 连 接 ， 则 ， 且
平面 ,
平面 ,
平面
【小问2详解】
解法一：由（1）知， 平面 平面 平面
作 ，垂足为
平面 平面 ，且 平面
平面
中
记点 到平面 的距离为 与平面 所成角为 ，则由 得：
因此，
解法二：如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系
由（1）可知
中，
设 的法向量
由 得： 取
记 与平面 所成角为 ．则 .
17.参考公式：相关系数 ．
【详解】（1）由题意可知， ，
，所以样本中心为 ，将点 代入 ，可得 ，
解得 ．
（2）由（1）可得，样本中心为 ，所以 ， ．
由相关系公式知， ，将点 去掉后，样本相关系数r不变
18.已知函数 ．
（1）判断函数 的零点个数，并说明理由；
（2）求曲线y=f (x)与y=g(x)的所有公切线方程.
解：函数 的定义域为： ，
， 在单调递增
又 ， 存在唯一零点，在 之间．
【小问2详解】 ，
以 上的点 为切点的切线方程为
以 上的点 为切点的切线方程为：
令则 ，得 ，即 ．
设 ，函数 ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增， ，
的解为 ，又 ．
和 存在唯一一条公切线为 ．
19. 【详解】（1）由题意得 ，设 ， 的长分别为m，n， ，
则在 中，由余弦定理可得
当且仅当 时取等号，从而 ，得 ，∴ ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设 ， ，
由题意，根据椭圆的定义可得 的周长为 ，
，所以 ，
设l的方程为 ，联立椭圆方程 ，
整理可得 ，易知
且 ， ，，
所以 ，令 ，则 ，
，令函数 ，则 在 上单
调递增，则 ，所以 ，即 ，故r的取值范围为 .
