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景德镇市 2025 届高三第一次质检试题
数学
命题 景德镇一中 江宁 景德镇二中 马小宇 景德镇十六中 余倩
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 （ 为虚数单位），则 在复平面内对应的点在第（ ）象限
A.一 B.二 C.三 D.四
3.已知 ， ，则 的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.过点 且与曲线 相切的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
6.函数 的零点个数是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.函数 的定义域为 ， 是奇函数，当 时 ，则 的解集是
（ ）
A. B. C. D.
8.甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为 ，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分
学科网（北京）股份有限公司布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四
个氢原子分别位于正四面体的顶点 处，碳原子位于正四面体的中心 处.若正四面体 的棱长
为1，则平面 和平面 位于正四面体内部的交线长度为（ ）
A. B. C. D.1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.函数 为偶函数，且最小正周期为4
B.若 ， ，则 往 方向上的投影长为
C. 是抛物线 上一点， ，则 的最小值为1
D.已知两直线 与 ，则“ ”是“ ， 互相平行”的充分不
必要条件
10.在高三一次大型联考中，物理方向共有35万人参加，其中男生有20万人.现为了了解该次考试的数学成
绩，用分层随机抽样的方法从中抽取350人，其中 名男生的数学平均成绩为77分， 名女生的数学平
均成绩为70分.已知35万人的数学成绩 ， 近似为样本均值，则下列正确的是（ ）
参考数据：若 ，则 ，
，
A.
B.总体是35万人
C.样本均值为73.5
D.估计该次联考中物理方向数学成绩低于66分的约有7980人
学科网（北京）股份有限公司11.已知 ， 分别为双曲线 的左、右顶点，离心率为 ， 为双曲线上
位于第一象限内任意一点，设 ， ， 的面积为 ，则下列说法正确的是（
）
A. 的值随着 的增大而减小 B. 是定值
C. D.若 ，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知公比不为1的等比数列 ， 且 ， ， 成等差，则 ________.
13.已知 与 ，若存在实数 的值使得两
圆仅有一条公切线，则 的最小值为________.
14.甲口袋装有1个黑球和2个白球，乙口袋装有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.第一步，
从甲口袋中随机取一个球放入乙口袋；第二步，从乙口袋中随机取一个球放入甲口袋；第三步，从甲口袋
中随机取出一个球并记录颜色.在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率是
________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间和对称中心；
（2）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， 且 ，
求 .
16.（15分）如图四棱锥 ，底面 是边长为1的正方形，平面 平面 ，
， .
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
17.（15分）已知 为坐标原点，椭圆 ， 是 上一点，离心率
.
（1）求 的方程；
（2）斜率为 的直线 交 于 ， 两点， 在以 为直径的圆上，求 的最大值.
18.（17分）已知函数 ，其中 .
（1）已知 ，若 在定义域内单调递增，求 的最小值；
（2）求证：存在常数 使得 ，并求出 的值；
（3）在（2）的条件下，若方程 存在三个根 ， ， ，且 ，
求 的取值范围.
19.（17分）第一组数据 ，其中 ，第二组数据 ，这
个数互不相等， ， 分别为其中最大与第二大的数.先从第二组数据中剔除一个数（剩余数相对位置保
持不变）得到一组新数据，若将该组数据中相邻两数对换位置称为一次对换，经过至少 次对换得到最终
学科网（北京）股份有限公司数据 ，简记 .若用直线 拟合点列 ，相关系数
.
（1）第一组数据 ，第二组数据 ，若剔除10，经过 后得到
拟合最佳；若剔除8，经过 得到 最佳.求 的值；
（2）在一组互不相等的数的排列 中，定义在 的右边比其小的数的个数称为 的逆序数.
已知 ， 的逆序数分别为 ， ，剩余各数按相对顺序从大到小排列.若经过 后将这 个数
从小到大顺序排列，求 的所有可能取值；
（3）若剔除 后经过至少 次对换 后得到拟合效果最佳，相关系数为 .剔除 后经过至少 次
对换 后得到拟合效果最佳，相关系数为 .若 ，求证： 为定值，并求出该定值.
学科网（北京）股份有限公司景德镇市 2025 届高三第一次质检试题
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
D D B C A B B A BC AD ABD
A={−2,−1,0}
1．D 【解析】 ， ， ．故选D．
2．D 【解析】 ，∴ 对应的点为 在第四象限．故选D．
3．B 【解析】 ， ．故选B．
4．C 【解析】 ，故选C．
5．A 【解析】 ，点A不在曲线上，由已知可求得切线过点 ，得直线方程为，
，故选A．
6．B 【解析】数形结合 ．故选B．
f (2x+1) f (2x+1)+f (−2x+1)=0 f (x) (1,0)
7．B 【解析】∵ 是奇函数，∴ ，即 关于 点对称．又函数
f (x) R f (1)=0
的定义域为 ，故 ．
{log (2 x−1 −1) ≥0¿¿¿¿
且当 x>1 时 f (x)=log (2x−1 −1) ，令 f (x)≥0 ，即 2 ，解得 x≥2 ．
2
根据对称性可知当x<1时，0≤x<1．
f (x)≥0 [0,1]∪[2,+∞)
综上所述， 的解集是 ．故选B．
8．A 【解析】分别取 的中点 ，
不难发现平面 即平面 ，平面 即平面 ，
∴平面 和平面 位于正四面体内部的交线为线段 ，
学科网（北京）股份有限公司∵正四面体 的棱长为1，不难计算得出 ．故选A．
F
E
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分．
9．BC 【解析】∵ ，显然 是奇函数，故A错误； 往 方向上的投影长为
，故B正确；设 ，其中 ，∴
，即 的最小值为 ，故C正确；∵ 互相平行，∴ ，
解得 或 ，经检验 时两直线重合，∴“ ”为“ 互相平行”的充要条件，故
D错误．故选BC．
10．AD 【解析】由分层随机抽样的特征可知： ，故A正确；总体是35万考生的数学
成绩，故B错误；根据分层随机抽样的均值知样本均值
，故C错误；∵ ， ， ，
∴小于66分的人数约为 人，故D正确．故选AD．
11．ABD 【解析】在 中，由正弦定理可知
学科网（北京）股份有限公司， 显 然 均 为 锐 角 且 随 着 的 增 大 分 别 减 小 与 增 大 ， 即
随着 的增大分别减小与增大，∴ 的值随着 的增大而减小，故A正确；
，
由于 ，∴ ，∴ 为定值，故B正确；
，而 ，
∴ ，故C错误；
， ，
∴ ，∴ ，解得 ，
∴ ，故D正确．故选ABD．
第Ⅱ卷(非选择题共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．
12． 【解析】由题知：∵ 成等差，∴ ，又 是公比不为1的等比数列，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，∴ ， ．故答案为 ．
13． 【解析】 ，∴ ，半径为 ， ，∴
， 半 径 为 ． 若 两 圆 仅 有 一 条 公 切 线 ， 即 两 圆 相 内 切 ， ∴ ． 由 于
，故 ， ，即 的最小值为 ．
1
14．5 【解析】第一次给出黑球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为 ，
第一次给出黑球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为 ，
第一次给出白球且第二次给出黑球且第三次给出黑球的概率为 ，
第一次给出白球且第二次给出白球且第三次给出黑球的概率为 ，
∴在第三步取出的是黑球的条件下，第一步从甲口袋中取的球是黑色的概率 ．
1
故答案为5 ．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．
15．（本小题13分）
( π)
f (x)=sin2x+√3cos2x−√3=2sin 2x+ −√3
解：（1） 3 ，…………………………2分
[ π 7π]
kπ+ ，kπ+ (k∈Z)
该函数的单调递减区间为： 12 12 ……………………………………4分
π (3k−1)π
2x+ =kπ x=
令 3 ，解得 6 ，
((3k−1)π )
,−√3
∴函数f(x)的对称中心坐标为 6 ，其中k∈Z．……………………………6分
学科网（北京）股份有限公司( π) √3 π π 2π
sin 2A+ = 2A+ =
（2）∵f (A)=0，∴ 3 2 ，∴ 3 3 或 3 ，∵A∈(0,π) ，
π
A=
∴ 6 ．…………………………………………………………………………………………8分
√3
⃗AB⋅ ⃗BC= ⃗AB⋅(⃗AC− ⃗AB)= bc−c2
∵ 2 ，…………………………………………………9分
{√3 3
且 3， ，∴
bc −c 2 =− ¿¿¿¿
，解得：
{b
=
1
¿¿¿¿…………………11分
⃗AB⋅ ⃗BC=− 2 2
2 c=√3b
a= √b2 +c2 −2bccosA=1
由余弦定理可知， ．…………………………………………13分
16．（本小题15分）
解：（1）取 中点 ，连接 ，∵ ，故 ．
∵ ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴ ．…………………………………………………………4分
又∵ ，∴ 平面 ．………………………………………………………6分
（2）由上可知 ，又 ，
∴ 平面 ．…………………………………………………………………………7分
如图以 为坐标原点， 为 轴建立空间直角坐标系．……………………8分
∴ ，……………………………………9分
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，
解得 ．………………………………………………………………………………11分
同理，平面 的法向量 ，……………………………………………………13分
∴平面 与平面 夹角余弦值 …………………………14分
学科网（北京）股份有限公司∵二面角 为钝角，∴二面角 的余弦值为 ．…………………15分
17．（本小题15分）
解析：（1）由题意 ，解得 ，
∴椭圆 的方程为 ．………………………………………………………………5分
（2）设直线 为 ，设 ，设 中点为 ，
联立 ，
根据韦达定理可知 ，
其中 ．………………………………………………8分
∴ ， ．
学科网（北京）股份有限公司∴ ，………………………10分
∴ ，…………………………………………12分
令 ，∴ ，等号当且仅当
，即 时取到，满足 ………………………………………14分
∴ ，即 的最大值为 ．……………………………………………………15分
18．（本小题17分）
a 2
f' (x)= +2+ ≥0
解：（1）依题意可知当x>0时， x x2 恒成立，…………………………1分
2 2
a+2x+ ≥0 2x+
即 x ，而 x 的最小值为4，故a+4≥0，………………………………3分
a≥−4 a −4
解得 ，即 的最小值为 ．……………………………………………………………4分
(m) ( b) ( (m) 2m bx) b+2m( m)
f (x)+f = alnx+2x+ + aln + + =alnm+ x+
（2） x x x x m m x ，
……………………………………………………………………………………………………6分
ln
{a m a
= ¿¿¿¿
∵alnm+
b+2m(
x+
m)
=a，∴ ，解得
{m=e¿¿¿¿．
m x
(e)
f (x)+f =a
即当b=−2e时， x ．…………………………………………………………9分
a 2e a
g(x)=f (x)− =alnx+2x− −
（3）构造函数 2 x 2，则方程2f (x)−a=0存在三个根即函数函数g(x)
(e) (e)
f (x)+f =a g(x)+g =0
存在三个零点．∵ x ，∴ x ．………………10分
学科网（北京）股份有限公司x=√e g(√e)=0 √e g(x)
令 ，得 ，于是 为 的一个零点．…………………………………11分
e
( )
g(x )+g =0
若 g(x) 存在零点x ，且x >√e，由 3 x 可知，则 g(x) 必存在相应的零点 x ，且
3 3 3 1
e
x = <√e
1 x ．∴g(x)必在(√e,+∞)上存在唯一零点x ．……………………………13分
3 3
a 2e ( e)
g'(x)= +2+ ≥0 a+2 x+ ≥0
若 x x2 恒成立，即 x 成立，解得a≥−4√e，此时g(x)在(√e,+∞)上单
调递增，无零点；………………………………………………………………14分
g'(√e)=
a
+4<0 g'' (x)=
(−ax)−4e
>0
若a<−4√e，则 √e ，且 x3 ，∴g' (x)在(√e,+∞)上单调递增，故
g' (x) (√e,+∞) x x∈(√e,x ) g' (x)<0 g(x) x∈(x ,+∞)
在 上存在零点 0，当 0 时， ， 单调递减，当 0 时，
g' (x)>0 g(x)
， 单调递增．……………………………………………15分
e
x + g(x
3
)=0
，即
a>4−4e
．
(4−4e,−4√e)
综上所述，a的取值范围是 ．…………………………………………………17分
19．（本小题17分）
(8,2,5,−1,4) (8,5,4,2,−1) k =3
解：（1）第一次将 对换得到 ，∴ 1 ．…………………………2分
(10,2,5,−1,4) (−1,2,4,5,10) k =7
第二次将 对换得到 ，∴ 2 ．
k +k =10
故 1 2 ．…………………………………………………………………………………4分
（2）∵
a
1的逆序数分别为
n−1
，∴
a
1必为这 n 个数中的最大数．
a a
3的逆序数分别为
n−3
，则 3可能是这n个数中第二大或者第三大的数．………………5分
若
a
3是第二大的数，先将
a
1对换到末位需要
n−1
次对换，再将
a
3对换到倒数第二位需要
学科网（北京）股份有限公司n−3 n−3,n−2,⋯,1,0
次对换，而后将其余各数对换到相应位置分别需要 次对换，则
n2 −n−2
k=
2 ；…………………………………………………………………………………6分
若
a
3是第三大的数，则
a
2只能是第二大的数，同理
a
1需要对换
n−1
次，
a
2需要对换
n−2
次，
n2 −n
k=
a
3
需要对换n−3次，…，∴ 2 ．……………………………………………………8分
n2 −n−2 n2 −n
k= k=
综上所述， 2 或 2 ．……………………………………………………9分
a j
的一个排列， ，不妨假设 ，则
(a b +a b +⋯+a b +⋯+a b ⋯+a b )−(a b +a b +⋯+a b +⋯+a b ⋯+a b )
1 k 2 k i k j k n k 1 k 2 k i k j k n k
1 2 i j n 1 2 j i n
=(a−a )(b −b )
i j k i k j ，于是
(a b +a b +⋯+a b +⋯+a b ⋯+a b )¿(a b +a b +⋯+a b +⋯+a b ⋯+a b )
1 k 1 2 k 2 i k i j k j n k n 1 k 1 2 k 2 i k j j k i n k n 成 立 的
n n n
∑a b <∑a b ¿∑a b
充要条件为k >k ，于是经过若干次对换后得： i n+1−i i k i i．
i j i=1 i=1 i i=1
……………………………………………………………………………………………………12分
(y ,y ,⋯,y ) (y' ,y' ,⋯,y' ) y' 0,r <0 r →1,r →−1
得拟合效果最佳，则 ．∵ 1 2 ，不妨假设 1 2 ，则 1 2 ．
学科网（北京）股份有限公司……………………………………………………………………………………………………13分
设 (z 3 ,⋯,z n ,z n+1 ) 的所有逆序数之和为 q ，反之，正序数之和为 p ，由于这 n−1 个数互不相
p+q=C2
等，则 n−1．
n
∑ x y
∵剔除z 后要使得拟合效果最佳且r →1，即 i i尽可能大，则应将(z ,z ,⋯,z ,z )按
1 1 i=1 2 3 n n+1
从小到大的顺序排列．
(z ,⋯,z ,z )
将 3 n n+1 中的数按大数优先对换的原则，则将该组数按从小到大的顺序排列共需 q 次
z n−1 m =n−1+q
对换，再将 2排最前面有 次对换，故 1 ．………………………………14分
n
∑x y
∵剔除z 后要使得拟合效果最佳且r →−1，即 i i尽可能小，则应将(z ,z ,⋯,z ,z )按从大到小
2 2 i=1 1 3 n n+1
的顺序排列．
(z ,⋯,z ,z ) z
而 3 n n+1 中的数按小数优先对换的原则，则将该组数按从大到小的顺序排列共需要 p 次对换， 1
m =p
位置不变，故 2 ．……………………………………………………15分
n2 −n
m +m =n−1+p+q=n−1+C2 =
∴ 1 2 n−1 2 ．…………………………………………16分
n2 −n
m +m =
若r <0,r >0，同理可得 1 2 2 ．
1 2
n2 −n
m +m =
综上所述， 1 2 2 为定值．………………………………………………………17分
学科网（北京）股份有限公司
