文档内容
⾦益⾼中⾼⼆ ⽉份阶段性检测
12
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将⾃⼰的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.写在
试卷、草稿纸和答题卡上的⾮答题区域均⽆效.
3．⾮选择题的作答：⽤⿊⾊签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的⾮答题区域均⽆效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡⼀并上交.
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的选项中，只有⼀项是符合
题⽬要求的.
1. 已知直线l过 、 两点，则直线l的倾斜⻆的⼤⼩为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知⽅程 表示椭圆，则实数m的范围是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若双曲线的两渐近线的夹⻆为 ，实轴⻓为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准⽅程为（ ）
A B. 或
C. D. 或
4. 已知公差不为零的等差数列 中， 成等⽐数列，则等差数列 的前8项
和 为（ ）
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A.20 B.30 C.35 D.40
5. 圆 与圆 的公共弦所在的直线被圆
所截得的弦⻓为（ ）
A. B. C.5 D.
6. 如图，已知 是边⻓为 1的⼩正⽅形⽹格上不共线的三个格点，点 P为平⾯ ABC外⼀点，且
， ，若 ，则 （ ）
A. B. C.6 D.
7. 已知圆 和直线 ，若点 在圆 上，
则点 到直线 的距离的最⼤值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知过抛物线 焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点，
为抛物线 上任意⼀点，若 的最⼩值为6，则 （ ）
A.2 B.13
C.6 D.
⼆、多选题：本题共3⼩题，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列命题正确的有（ ）
A. 直线l过定点
B. 若直线l过C点，则
C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切
D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为
10. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇⽅砖在正六边形上画了具有视觉效果的正⽅体图案，如
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司图1，把三⽚这样的达·芬奇⽅砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间⼏何体.若图3中每个
正⽅体的棱⻓为1，则下列结论正确的是（ ）
A
B. 点 到直线 的距离是
C. 平⾯ 与平⾯ 的夹⻆正弦值为
D. 异⾯直线 与 所成⻆的正切值为
11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点 到抛物线 的准线的距离为8
B.
C. 若 的中点的横坐标为3，则
D. 若 ，则
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
13. 已知数列 的通项公式为 ，若 是递减数列，则 的取值范围为
_______.
14. 已知 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的⼀个公共点，且 ，线段 的垂直平
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司分线过 ，若椭圆的离⼼率为 ，双曲线的离⼼率为 ，则 的最⼩值为____________．
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 过点 和 ，直线 ： ．
（1）若直线 关于直线 对称直线为 ，求直线 的⽅程．
（2）已知直线 是过点 的直线，点 到直线 的距离为 ，求直线 的⽅程.
16. 已知直线 与 交点为 ，圆 的圆⼼在 轴上，且过点 和点
.
（1）求 的标准⽅程；
（2）若过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的⼀般⽅程.
17. 已知数列 各项均为正数，其前 项和为 ，且满⾜ ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）已知 ， ，求数列 的前 项和 ．
18. 如图，在四棱锥 中， 平⾯ ，底⾯四边形 满⾜
.
（1）证明：平⾯ 平⾯ ；
（2）若 ，平⾯ 与平⾯ 交线为 ，
①求证 ；
②直线 上是否存在点 ，使得⼆⾯⻆ 的夹⻆余弦值为 ？如存在，求出 ；如不存在，
请说明理由.
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司19. 已知椭圆 （ ）的离⼼率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆E的⽅程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点 作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN
的斜率为 ， ．
①求证： 为定值；
②求 的⾯积S的最⼤值．
第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⾦益⾼中⾼⼆ ⽉份阶段性检测
12
数学试卷
注意事项：
1．答题前，先将⾃⼰的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每⼩题选出答案后，⽤2B铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.写在
试卷、草稿纸和答题卡上的⾮答题区域均⽆效.
3．⾮选择题的作答：⽤⿊⾊签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和
答题卡上的⾮答题区域均⽆效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡⼀并上交.
⼀、单选题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的选项中，只有⼀项是符合
题⽬要求的.
1. 已知直线l过 、 两点，则直线l的倾斜⻆的⼤⼩为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜⻆
【详解】直线 过 、 两点，则直线 的斜率 ，∴直线的倾斜⻆为 ．
故选：A．
2. 已知⽅程 表示椭圆，则实数m的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
第1⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据椭圆的标准⽅程列出不等式组求解即可.
【详解】已知⽅程 表示椭圆，
则 ，则 或 ，
故实数m的范围是 .
故选：A
3. 若双曲线的两渐近线的夹⻆为 ，实轴⻓为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准⽅程为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线的对称性，求出渐近线的倾斜⻆，建⽴⽅程求解即得.
【详解】因两渐近线的夹⻆为 ，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的⼀条渐近线 的倾斜⻆为
或 ，即得 或 ，解得 或 .
故选：D.
4. 已知公差不为零的等差数列 中， 成等⽐数列，则等差数列 的前8项
和 为（ ）
A.20 B.30 C.35 D.40
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设等差数列的公差为d，运⽤等⽐数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解⽅程可
得d，进⽽利⽤求和公式得到n=8的结果；
第2⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】由题意设等差数列的公差为d，d≠0，由 可得
⼜ 成等⽐数列，
可得a 2＝a a ，
3 1 6
即有（a +2d）2＝a （a +5d），结合
1 1 1
解得d＝ （0舍去），
则数列{a }的通项公式a ＝2+ （n﹣1）＝ n+ ；
n n
∴a ＝ ，∴
8
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列通项公式及求和公式的应⽤，考查了等⽐数列中项的应⽤，属基础题．
5. 圆 与圆 的公共弦所在的直线被圆
所截得的弦⻓为（ ）
A. B. C.5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】把圆 与圆 的⽅程相减可得圆 与圆 的公共弦所在直线⽅程，再求出圆⼼ 到直线
的距离，由弦⻓公式求得弦⻓．
【详解】圆 的圆⼼ ，半径 ，圆 圆⼼ ，
半径 ，圆 的圆⼼ ，半径 ，
，因此圆 与圆 相交，将两圆⽅程相减得公共弦所在直线⽅程： ，
圆⼼ 到直线 的距离 ，
第3⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因此所求弦⻓为 .
故选：A
6. 如图，已知 是边⻓为 1的⼩正⽅形⽹格上不共线的三个格点，点 P为平⾯ ABC外⼀点，且
， ，若 ，则 （ ）
A. B. C.6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的线性运算⽤ 表示出 ，再⽤模⻓公式计算可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
则
，所以
故选：B.
7. 已知圆 和直线 ，若点 在圆 上，
则点 到直线 的距离的最⼤值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线经过定点 ，且定点在圆外，所圆上的点到直线的最⼤距离为半径加上圆⼼到直线
的最⼤距离可得.
【详解】由圆 得圆⼼ ，直线 的⽅程
，
第4⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司可化为 ，联⽴ ，解得 ，
所以直线 经过定点 ，且 ，所以 在圆C的外部，
当 时，圆⼼ 到直线 的最⼤距离为 ，
因为点 在圆 上，则点 到直线 的距离的最⼤值为 ，
故选：C.
8. 已知过抛物线 的焦点 的动直线交抛物线 于 两点， 为线段 的中点，
为抛物线 上任意⼀点，若 的最⼩值为6，则 （ ）
A.2 B.13
C.6 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利⽤抛物线的定义及焦点弦的性质结合基本不等式计算即可.
【详解】
如图所示，分别过 四点向准线 作垂线，垂⾜分别为 ，
设 横坐标分别为 ，
由抛物线定义及梯形中位线可知则 ，
，
易知 ，则 ，
第5⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司即 的最⼩值为 ，
设 ， ，
联⽴抛物线得 ，
即 ，
由基本不等式可知 ，当且仅当 等号成⽴，故 .
故选：C
⼆、多选题：本题共3⼩题，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬要求.
9. 已知直线 ，圆 ，则下列命题正确的有（ ）
A. 直线l过定点
B. 若直线l过C点，则
C. 存在实数t，使得直线l与圆C相切
D. 若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，根据直线⽅程特点易得；对于B，将点 代⼊ ，计算即得；对于C，
根据圆⼼到直线的距离等于半径列出⽅程，由⽅程的根的情况判断；对于 D，根据直线过圆内的定点
，即可判断当且仅当 时弦⻓ 最短，同时结合图象可判断此时直线 的斜率不存在，从
⽽排除.
【详解】对于A，直线 显然经过点 ，故A正确；
对于B，直线l过点 ，则有 ，则 ，故B正确；
对于C，由圆⼼ 到直线 的距离 ，可得 ，
显然 的值不存在，故C错误；
对于D，由垂径定理，要使弦⻓ 最短，需使圆⼼ 到直线 的距离 最⻓，
第6⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司⽽直线l过定点 ，当且仅当 时， ，此时， ，
但是，此时 轴，直线 斜率不存在，显然不合题意，故D错误.
故选：AB.
10. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇⽅砖在正六边形上画了具有视觉效果的正⽅体图案，如
图1，把三⽚这样的达·芬奇⽅砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间⼏何体.若图3中每个
正⽅体的棱⻓为1，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 点 到直线 的距离是
C. 平⾯ 与平⾯ 的夹⻆正弦值为
D. 异⾯直线 与 所成⻆的正切值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】应⽤向量加减、数乘的⼏何意义⽤ 表示出 判断A，建⽴空间直⻆坐标系并求出
相关点坐标，应⽤向量法求点线距离、⾯⾯、线线⻆判断B，C，D.
第7⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】对于A， ，
即 ，故A错误；
如图，以 为坐标原点，建⽴空间直⻆坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
， ，
对于B， ， ，设 ，
则点 到直线 的距离 ，故B正确；
对于C， ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，所以 ，
即平⾯ 与平⾯ 的夹⻆余弦值为 ，
所以平⾯ 与平⾯ 的夹⻆正弦值为 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，
所以 ，
第8⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以
所以 ，故D正确．
故选：BCD
11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点 到抛物线 的准线的距离为8
B.
C. 若 中点的横坐标为3，则
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由抛物线⽅程确定焦点坐标，及准线⽅程可判断A，通过斜率存在，或不存在两种情况讨论，结
合焦半径公式可判断B，结合B，及焦半径公式可判断C，通过 确定直线 的斜率为 ，
得到直线 的⽅程为 ，联⽴抛物线⽅程求得 坐标，即可求解.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线 ， ，
所以焦点 到抛物线 的准线的距离为4，A错误；
设
当直线 垂直于 轴，可得 ，
第9⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ,得
当直线 不垂直于 轴，设⽅程为 ，由 ，得 ，
则 ， ，
，B正确；
对于C，由 的中点的横坐标为3，可得： ，
，
⼜ ，
所以 ，C正确；
对于D，
过点 作 ，直线 与 轴分别交 与点 ，
设 ，则 ，
因 ，则 ，得 ，
则 ，则 ，
第10⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故直线 的斜率为 ，直线 的⽅程为 ，
与 联⽴得 ，
解得 ，
所以 ，
可得： ，
所以 ，D正确
故选：BCD
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______.
【答案】7
【解析】
【分析】根据等差数列前n项和的⽚段和性质列式求解即可.
【详解】因为数列 是等差数列，所以 成等差数列，
即 ，即 ，解得 .
故答案为：7
13. 已知数列 的通项公式为 ，若 是递减数列，则 的取值范围为
_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据数列是递减数列，得到对称轴的取值范围，解不等式即可.
【详解】若 是递减数列，
即 ，在 ，且 上单调递减，
，解得 .
第11⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故答案为： .
14. 已知 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的⼀个公共点，且 ，线段 的垂直平
分线过 ，若椭圆的离⼼率为 ，双曲线的离⼼率为 ，则 的最⼩值为____________．
【答案】6
【解析】
【分析】由于线段 的垂直平分线过 ，所以有 ，再根据双曲线和椭圆的定义，求出 的
表达式，然后利⽤基本不等式来求得最⼩值.
【详解】设椭圆对应的参数为 ，双曲线对应的参数为 ，由于线段 的垂直平分线过 ，
所以有 .根据双曲线和椭圆的定义有 ，两式相减得到
，即 .所以 ，即最⼩值为 .
【点睛】本⼩题考查双曲线的定义和⼏何性质，考查椭圆的定义和⼏何性质，是⼀个综合性较强的题⽬.由
于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同 .对于两个曲线的公共交点来说，即满⾜椭
圆的定义，⼜满⾜双曲线的定义，根据定义可列出⽅程.再利⽤基本不等式可求得最⼩值.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 过点 和 ，直线 ： ．
（1）若直线 关于直线 的对称直线为 ，求直线 的⽅程．
（2）已知直线 是过点 的直线，点 到直线 的距离为 ，求直线 的⽅程.
【答案】（1）
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）求得直线 上⼀点关于直线 的对称点，结合 与 的交点求得直线 的⽅程.
（2）根据直线 的斜率是否存在进⾏分类讨论，结合点 到直线 的距离求得直线 的⽅程.
【⼩问1详解】
第12⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司直线 的⽅程为 ，即 ，
取直线 上的⼀点 ，设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 .
由 解得 ，
所以直线 过点 和点 ，
所以直线 的⽅程为 ，即 .
【⼩问2详解】
直线 斜率不存在时，可得 ，
点 与直线 的距离为 ，符合题意.
当直线 斜率存在时，设直线斜率为 ，
故可得直线 的⽅程为 ，
即 ，
因为点 到直线 的距离为 ，
即 ，
解得 ，
故可得直线 的⽅程为 ，即 ，
综上所述，直线 的⽅程为： 或 ．
16. 已知直线 与 的交点为 ，圆 的圆⼼在 轴上，且过点 和点
.
（1）求 的标准⽅程；
第13⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）若过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的⼀般⽅程.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）联⽴⽅程组，求得点 ，设圆 的⽅程为 ，根据点 在圆
上，列出⽅程，求得 和 的值，即可得到圆 的标准⽅程；
（2）由 ，得到圆⼼ 到直线 的距离为 ，分直线 斜率不存在和斜率存在，两种情况讨
论，结合点到直线的距离公式，列出⽅程，即可求解.
【⼩问1详解】
解：联⽴⽅程组 ，解得 ，即 ，
因为圆 的圆⼼在 轴上，可设圆 的⽅程为 ，
⼜因为圆 过点 和点 ，则 ，
即 ，解得 ，所以 ，
故圆 的标准⽅程为 .
【⼩问2详解】
解：因为 ，则圆⼼ 到直线 的距离为 ，
当 斜率不存在时，直线 的⼀般⽅程为 ，此时 ，符合题意；
当 存在斜率时，设 的⽅程为 ，即 ，
则 ，解得 ，所以 ⼀般⽅程为 ，
综上所述，直线 的⼀般⽅程为 或 .
17. 已知数列 各项均 正数，其前 项和为 ，且满⾜ ．
（1）求数列 的通项公式；
第14⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）已知 ， ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 与 之间的关系分析可知数列 是以1为⾸项，2为公差的等差数列，结合等差数
列通项公式运算求解；
（2）整理可得 ，利⽤累加法结合等⽐数列求和公式可得 ，再根据分组求和法结
合等⽐数列求和公式运算求解.
【⼩问1详解】
因为 ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，
两式相减得： ，整理可得 ，
且 ，则 ，可得 ，即 ，
可知数列 是以1为⾸项，2为公差的等差数列，
所以 .
【⼩问2详解】
由题意可知 ，即 ，
当 ，可得 ， ， ， ，
累加可得 ，
可得 ，
第15⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司且 符合上式，则 ， ，
所以 .
18. 如图，在四棱锥 中， 平⾯ ，底⾯四边形 满⾜
.
（1）证明：平⾯ 平⾯ ；
（2）若 ，平⾯ 与平⾯ 交线为 ，
①求证 ；
②直线 上是否存在点 ，使得⼆⾯⻆ 的夹⻆余弦值为 ？如存在，求出 ；如不存在，
请说明理由.
【答案】（1）证明⻅解析
（2）①证明⻅解析；②存在，
【解析】
【分析】（1）先分析底⾯四边形⾥的⼏何关系，得出 ，再根据线⾯ 平⾯ 推得线线
，则可证 平⾯ ，最终证平⾯ 平⾯ ；
（2）①先由 证明 平⾯ ，再根据线⾯平⾏的性质，得出交线 ，结合
，得出 ；
②建⽴空间直⻆坐标系，设出点M坐标，求出平⾯ 的法向量，利⽤⼆⾯⻆的向量公式建⽴⽅程，化
简求解即可.
【⼩问1详解】
由勾股定理计算得 ，所以 ，
故三⻆形 为等腰直⻆三⻆形，可得 .
第16⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 平⾯ 平⾯ ，所以 .
⼜因为 平⾯ ，所以 平⾯ .
⼜因为 平⾯ ，所以平⾯ 平⾯ .
【⼩问2详解】
①因为 ，⽽ 平⾯ ，所以 平⾯ ，
⾯ 与平⾯ 交线为 ，所以 ，
⽽ ，所以 .
②依题意，建⽴空间直⻆坐标系 ，
可得 ，
设平⾯ 的⼀个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
因为点 在 上，所以设点 ，设平⾯ 的⼀个法向量为 ，
则 ，可得 ，
即 ，取 ，则 .
因为 ，，
所以 ，解得 ，故 .
第17⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司19. 已知椭圆 （ ）的离⼼率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆E的⽅程；
（2）设椭圆E的右焦点为F，过点 作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN
的斜率为 ， ．
①求证： 为定值；
②求 的⾯积S的最⼤值．
【答案】（1）
（2）①证明⻅解析；②
【解析】
【分析】（1）由 ，点 在椭圆上，解⽅程可得 ；
（2）①设直线 的⽅程为 ．代⼊椭圆⽅程得 ．设
， ，利⽤斜率计算公式、⼀元⼆次⽅程的根与系数的关系即可证明；
②由判别式 解得 范围，利⽤弦⻓公式、三⻆形⾯积计算公式、⼆次函数的单调性即可得出．
【⼩问1详解】
由题意知： ， ， ，
∴椭圆的⽅程为 ，把点 代⼊⽅程得： ，
， ， ，所以椭圆 的⽅程为 ．
【⼩问2详解】
①由（1）可得右焦点 ，易知直线 的斜率存在，
设 的⽅程为 ．
第18⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司代⼊椭圆⽅程得 ．
设 ， ，
则 ， .
，
为定值．
② ．
由判别式 ，解得 ．
， ，
点 到直线 ： ，即 的距离为 ，
则 ，
．
令 ，（ ），
则 ，
所以当 ，即 时， 有最⼤值为 ．
第19⻚/共19⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
