文档内容
2025 学年第一学期丽水发展共同体期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 已知空间向量 ，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 顶点在坐标原点，焦点坐标为 的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 若直线 被圆 截得的弦长为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 且 ，则
B. 若 且 ，则
C. 若 且 ，则
D. 若 且 ，则5. 如图，在平行六面体 中， ，
，则线段 的长为（ ）
.
A B.
C. D.
6. 已知点 在棱长为1的正方体 的内部且满足 ，则点 到直线
的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 交于两个不同的点 ，且 为线段
的一个三等分点，则 （ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
8. 阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方
程为 .阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是平面 与平面 的交线，则直线 与平面 所成角的正
弦值为（ ）
A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹是抛物线
B. 平面内与两个定点 和 的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
C. 平面内与两个定点 和 的距离之差等于3的点的轨迹是双曲线
D. 平面内与两个定点 和 的距离之比等于2的点的轨迹是圆
的
10. 倾斜角为 直线 与抛物线 相交于不同两点 ，且 ，则
（ ）
A. 的准线方程为
B. 当 时，
C. 存在 ，使 （ 为坐标原点）
D. 对任意的 ，总存在点 ，使 （ 为坐标原点）
11. 已知E，F，G，H分别是正方体 的棱 的中点， ，则（
）
A. 直线 与直线 异面
B. 直线 交于同一点
的
C. 过 三点 平面截正方体所得截面图形的周长为
D. 动点K在侧面 内（含边界），且 ，则动点K的轨迹长度为
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线 经过 ， 两点，则直线 的倾斜角为______．13. 有一个封闭的正三棱柱容器，高为 ，内装水若干（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如
图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点 、 、 、 分别为所在棱的中点，则图1中
水面的高度为_______．
14. 设椭圆 与双曲线 的离心率分别为 ，双曲线的渐近线的斜率的
绝对值小于 ，则 的取值范围是___________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.
15. 已知圆 过 ， 两点，且圆心 在直线 上.
（1）求圆 的方程；
（2）设点 是直线 上的动点， 、 是圆 的两条切线， 、 为切点，求切线
长 的最小值及此时四边形 的面积.
16. 如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC
的
中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小．
17. 已知椭圆 离心率为 ，左、右焦点分别为 ，过右焦点 的直
的
线 与椭圆交于 两点，且 的周长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
18. 如图1是一个由菱形 和两个直角三角形 和 所组成的平面图形，其中
，现将 和 分别沿 折
起，使得点 与点 重合于点 ，连接 ，得到如图2所示的四棱锥 .（1）求证： 平面 ；
（2）若 为棱 上一点，记
（i）若 ，求直线 与平面 所成角的正切值；
（ii）是否存在点 使得直线 与直线 所成角为 ，若存在请求出 的值，若不存在请说明理由.
19. 已知双曲线 的渐近线方程是 ，且过点 .
（1）求 的标准方程；
（2） ， 分别为双曲线的左、右顶点， ， 分别为 的左、右焦点，与 轴不垂直的直线 与双曲
线 的左支相交于 ， 两点，记直线 ， ， ， 的斜率分别为 已知
.
（i）证明直线 过定点，并求出该定点的坐标；
