甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期开学阶段检测数学+答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年09月试卷_0914甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期开学阶段检测

兰州一中 2024-2025-1 学期阶段检测试题 高二数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟. 答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题) 一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每个小题绐岀的四个选项中, 只有一项符合题目要求.） 2 1．已知复数z满足 i,则z的共轭复数z 对应的点位于（ ） 1z A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知等差数列a 的前n项和为S ,且点a ,a 在直线xy20上,则S （ ） n n 2000 20 2019 A．2019 B．2020 C．4038 D．4040 3．如图,l,A,B,C,且Cl,直线 l=M, 过 A,B,C 三点的平面记作 ,则与的交线必 通 过 ∩ （ ） A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M  π  π 4．若函数 f(x)2sin2 x  3sin2x 1,则下列结论不正确的是（ ）  4  6  π 5π π A．函数 f(x)在区间   ,  上单调递增 B．函数 f(x)的最小正周期为  12 12 2 π 2π  C．函数 f(x)图象关于x 对称 D．函数 f(x)的图象关于点 ,0对称 12  3  5．已知一组正数x,x ,x ,x 的方差为S2  1 x2x2x2x216  ,则数据x 3,x 3, 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 x 3,x 3的平均数为（ ） 3 4 A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知甲袋中有标号分别为1,2,3,4的四个小球,乙袋中有标号分别为2,3,4,5的四个小球, 这些球除标号外完全相同,第一次从甲袋中取出一个小球,第二次从乙袋中取出一个小球,事 件A表示“第一次取出的小球标号为3”,事件B表示“第二次取出的小球标号为偶数”,事件C 表示“两次取出的小球标号之和为7”,事件D表示“两次取出的小球标号之和为偶数”,则（ ） A．A与C相互独立 B．A与B是互斥事件 兰州一中高二年级开学考试数学试卷 第 1 页 共 4 页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}C．C与D是对立事件 D．B与D相互独立 7．在侧棱长为2 3的正三棱锥SABC 中,ASBBSCCSA40,过A作截面AEF, 则截面的最小周长为（ ） A．2 2 B．6 C．4 D．10       1 8．已知e,e 是单位向量,且e,e 的夹角为,若 e te  (tR),则的取值范围为（ ） 1 2 1 2 1 2 2 π 2π π π π 5π  π A．  3 , 3   B．  4 , 2   C． 6 , 6  D．   0, 6   二、多项选择题：（本大题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.） 9．设m,n是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题错误的是（ ） A．若//,m//,则m// B．若m//n,m,则n平行于内的无数条直线 C．若m,mn,则n// D．若,m,则m// 10．下列说法正确的有（ ） A．在VABC中,若sin2Asin2B,则ab a bc B．在VABC中,  sinA sinBsinC C．若a2b2 c2,则VABC一定是钝角三角形 D．若a8,c10,B60,则符合条件的VABC有两个 11．在边长为4的正方形ABCD中,如图1所 示,E,F ,M 分别为BC,CD,BE 的中点,分别沿 AE,AF 及EF 所在直线把△AEB,△AFD和 △EFC折起,使B,C,D三点重合于点P,得到三棱 锥PAEF ,如图2所示,则下列结论中正确的是 （ ） A．PAEF B．三棱锥PAEF 外接球的表面积为18 4 C．三棱锥M  AEF 的体积为 3 D．过点M 的平面截三棱锥PAEF的外接球所得截面的面积的最小值为π 兰州一中高二年级开学考试数学试卷 第 2 页 共 4 页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12．已知数列a 的前n项和S n23n1,则它的通项公式a  ． n n n 2 3π 13．已知圆台的侧面积与轴截面的面积之比为 ,若上、下底面 3 的半径分别为1和2,则母线长为 ． 14．如图,在△ABC中,AB8,BC10,AC6,DB⊥平面ABC,且 AE//FC//BD,BD＝3,FC＝4,AE＝5.则此几何体的体积为 ． 四、解答题（本大题共5小题,共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）15．在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,S为ABC的面积,且 3 S  (a2b2c2)． 4 （I）求角A的大小； （II）若a2 7,bc,D为BC的中点,且AD 3,求sinC的值． 16．（15分）黄山原名“黟山”,因峰岩青黑,遥望苍黛而名, 后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹,故改名为“黄山”．黄山雄踞 风景秀丽的安徽南部,是我国最著名的山岳风景区之一．为 更好地提升旅游品质,黄山风景区的工作人员随机选择100 名游客对景区进行满意度评分（满分100分）,根据评分, 制成如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图,求x的值； (2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）； (3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60),[60,70)的两组中共抽取6 人,再从这6人中随机抽取2人进行个别交流,求选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内 各1人的概率． 兰州一中高二年级开学考试数学试卷 第 3 页 共 4 页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}17．（15分）已知数列a 满足a 2,a 8,且2a a a nN ,n2 . n 1 3 n n1 n1  (1)求数列a 的通项公式； n (2)对于mN ,将数列a 中落在区间  3m,32m 内的项的个数记为b ,求数列  b  的通  n m m 项公式. 18．（17分）如图,在三棱柱ABCABC 中,面ABBA 为正方 1 1 1 1 1 形,面AACC为菱形,CAA 60,平面AACC平面 1 1 1 1 1 ABBA. 1 1 (1)求证：AC 平面CAB ； 1 1 1 (2)求二面角CBB A的余弦值. 1 19．（17分）已知数列{a }具有性质A： a ,a (i≤ j), 都a ,使得a  aa . n i j k k i j (1)分别判断以下两个数列是否满足性质A,并说明理由； （ⅰ）有穷数列{a }：a  2n 1(n 1,2,3)； n n （ⅱ）无穷数列{b }：b  2n1 (n  1,2,3,) ； n n (2)若有穷数列{a }满足性质A,且各项互不相等,求项数n的最大值. n 兰州一中高二年级开学考试数学试卷 第 4 页 共 4 页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}兰州一中 2024-2025-1 学期入学测试 高二数学 答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9．ACD 10．BC 11．ACD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)  3,n1 12． 13．2 14．96 2n2,n2 四、解答题（本大题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 2 21 15．（I）A ；（II） ． 3 14 1 3 【详解】（I）由已知得 bcsinA (a2b2c2) ， 2 4 b2c2a2 ∴sinA 3 . 2bc 即sinA 3cosA. ∴tanA 3. 2 又∵A(0,)，A ， 3 （II）由cosADBcosADC 得： ，又∵D为BC的中点，∴BDDC  7，AD 3， AD2BD2AB2 AD2DC2AC2  2ADBD 2ADDC ∴AB2AC2 20，即b2 c2 20. b2c228 2 1 又∵ cos  ， 2bc 3 2 ∴bc8. 又∵bc，∴b4，c2， ∴ 3 . 2 csinA 2 21 sinC   a 2 7 14 16．(1)x0.03 (2)83.33 答案第1页，共4页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}8 (3) 15 【详解】（1）由图知：10(0.0050.010.015x0.04)1，可得x0.03. （2）由10(0.0050.010.015)0.30.410(0.0050.010.0150.03)0.6， 所以40%分位数在区间[80,90)内，令其为m， 10 则0.30.03(m80)0.4，解得m80 83.33. 3 所以满意度评分的40%分位数为83.33. （3）因为评分在[50,60)，[60,70)的频率分别为0.05,0.1， 0.05 则在[50,60)中抽取 62人，设为a,b； 0.050.1 0.1 在[60,70)中抽取 64人，设为C,D,E,F ； 0.050.1 从这6人中随机抽取2人，则有： a,b,a,C,a,D,a,E,a,F,b,C,b,D,b,E,b,F， C,D,C,E,C,F,D,E,D,F,E,F， 共有15个基本事件， 设选取的2人评分分别在[50,60)和[60,70)内各1人为事件A， 则有a,C,a,D,a,E,a,F,b,C,b,D,b,E,b,F，共有8个基本事件， 8 所以PA . 15 17．(1)a 3n1 n (2)b 32m13m1 m 【详解】（1）当n2时，a a a a ,a 为等差数列，设公差为d. n1 n n n1 n a a 62d,d 3,a 23n13n1. 3 1 n 1 1 （2）由（1）得3m 3n132m，3m1 n32m1 ， 3 3 n3m11，3m12，3m13，…，32m1， b 32m13m1. m 18．【详解】（1）由菱形AACC可得AC  AC， 1 1 1 1 答案第2页，共4页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}平面AACC 平面ABBA ，平面AACC平面ABB A  AA ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 又正方形ABBA 中AB  AA， 1 1 1 1 1 AB 平面AACC，又AC 平面AACC， AB AC ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB AC A，AB,AC 平面CAB ， AC 平面CAB . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）过C作CH AA 于H，则CH 平面ABBA. 1 1 1 过H作HK BB于K，连接CK ， 1 因BB 平面ABBA，则CH  BB ， 1 1 1 1 又CH,HK 平面CHK，CH HK H ，故BB 平面CHK， 1 又CK 平面CHK，所以BB CK， 1 故CKH为二面角CBB A的平面角， 1 在Rt△CHK中，设AC a，AA  ABa，CAA 60， 1 1 a 2 7 3a 7a cosCKH   CH  ，HK  ABa，CK  CH2HK2  ， 7a 7 . 2 2 2 2 7 即二面角CBB A的余弦值为 . 1 7 19．【详解】（1）（ⅰ）有穷数列{a }：a 2n1(n1,2,3)，则a 1,a 3,a 5， n n 1 2 3 例如取i2, j3，不存在a ，使得a a a 15， k k 2 3 所以有穷数列{a }不满足性质A； n （ⅱ）无穷数列{b }：b  2n1 (n1,2,3,)， n n 对任意i j,i, jN*，则aa 2i12j1 2ij2 2 ij11， i j 答案第3页，共4页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}可知i j1N*，则存在ki j1，使得a aa ， k i j 所以无穷数列{b }满足性质A. n （2）因为有穷数列{a }各项互不相等， n 若bR满足题意，可知b2是数列a 中的项， n 取b2 b，解得b0或b1，即0,1可能符合题意， 若b1，则12 1，即1也可能符合题意， 对于有穷数列{a }:1,0,1，检验可知有穷数列{a }满足性质A， n n 假设有穷数列{a }还有其他项a a1,0,1，满足性质A， n 4 取i j4，则存在k ，使得a a2 a2 1,0,1,a ； 1 k1 4 取i4, jk ，则存在k ，使得a a a a31,0,1,a,a2 ； 1 2 k2 4 k1 ； 依此类推，可得到a an1， kn 此时数列{a }不是有穷数列，与题干相矛盾， n 即假设不成立，可知数列{a }不存在其他项，所以项数n的最大值为3. n 答案第4页，共4页 {#{QQABDYIAggiIAJIAARgCQwVKCEOQkBCACYgGgEAIsAAAwRFABAA=}#}