文档内容
2025～2026 学年度高二上期数学半期检测题
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号、
准考证号填写在答题卡上．
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦拭干净后，再选涂其他答案的标号．答案写在本试卷上无效．
3.回答第Ⅱ卷时，将答案用黑色墨迹中性笔写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师．
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求
的．
1．在平面直角坐标系中，过点(1,2)和点(3,0)的直线的倾斜角为( )
A．45 B．60 C．135 D．150
y2 x2
2．若方程 + =1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
m+1 3−m
A． (0,2) B． (−1,3) C．(0,1)(1,2) D．(1,3)
3．若圆x2 + y2 −2ax−2y−1=0关于直线x+by−2=0对称，则a+b的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4．设随机事件A、B，已知P(A)=0.3，P(B)=0.7，则下面结论正确的是(
)
A．事件A与B一定是对立事件 B．P(AB)=1
C．P(AB)=0.21 D．若事件A、B相互独立，则P ( AB ) 0.1
5．直线l :ax+2y−2=0，直线l :x+(a+1)y−2=0，若l //l ，则两直线的距离为( )
1 2 1 2
3 2 2
A． 5 B． C． D． 55
2 2
6．在空间直角坐标系中，直线l经过点P(2,−1,−2)，且其方向向量v=(1,−2,2)，则点M(1,0,−2)到l的距
离为( )
A．3 B．2 C． 3 D．1
1第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中第14题第1空2分，第2空3分，共15分．
12．甲、乙和丙3位同学随机排成一列，则甲乙相邻的概率是 ．
13．已知动圆C分别与圆(x+1)2 + y2 =1外切和圆(x−1)2 + y2 =25内切，设动圆C的圆心轨迹为，过
点(1,0)的直线垂直于x轴交曲线于A，B两点，则弦长 AB 等于 ．
14．在棱长为3的正方体ABCD−ABC D 中，连接DB ，分别交平面D AC和平面BAC 于H和G两
1 1 1 1 1 1 1 1
点，则线段HG长为 ；再将三棱锥B −BAC 截去后，剩下的七面体内部能容纳最大的球的半径
1 1 1 ．．．．．．．
是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
15．（13分）已知直线l的方程为(m+3)x+(2m−1)y−7m=0(mR)．
(1)证明：直线l过定点P，并求该点P到直线3x+4y−7=0的距离；
(2)当m为何值时，点Q(3，4)到直线l的距离最大？并求出该最大距离．
16．（15分）某线上电商公司对一个小区内年龄处于[20,45]岁的人中随机地抽取x人，进行了主题为“网络
购物”的相关数据的调查，并把达到“经常网购电子产品”标准的人称为“e族”，得到了如图所示各年龄段人
数的频率分布直方图和表中的统计数据．
“e族” 占本组
组数 分组
人数 的频率
第一组 [20,25) 45 0.75
第二组 [25,30) 25 y
第三组 [30,35) 20 0.5
第四组 [35,40) z 0.2
第五组 [40,45] 3 0.1
(1)求x ，y ，z的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这x人年龄的平均值（同一组数据用该区间的中点值代替）；
(3)从年龄段在[25,35)的“e族”中采取分层随机抽样的方法抽取9人进行深度专访，并在这9人中选取2
人作为幸运抽奖者，求选取的2名幸运抽奖者中至少有1人年龄在[30,35)中的概率．
317．（15分）《九章算术》是中国古代数学的经典著作，成书于西汉时期，系统总结了先秦至汉朝的数学成
就，对后世影响深远，在书中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，可以按如下步骤得到：
如图1，E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形
FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB､CG后就得到了一个“刍甍”（如图2）.
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO//平面GCF ；
2
(2)若二面角A−EF−B的大小为 π，求直线AB与平面GCF 所成角的正弦值．
3
18．（17分）已知圆O :x2 + y2 =1，圆O 与圆O 关于直线y=x+2对称，圆O :x2 + y2 =2x+8y+19.
1 2 1 3
(1)求圆O 与圆O 的公共弦所在的直线方程和圆O 的方程；
1 3 2
(2)设P为直线y =4上一点，过点P作圆O 的切线，切点分别为C,D，求PCPD的取值范围；
1
(3)设Q为圆O 的任意一点，过点Q向圆O 引切线，切点为M ，试探究：平面内是否存在一定点
3 1
QM2
N(m,n)，使得 为定值？若存在，请求出定点N 的坐标，并求出定值；若不存在，请说明理由.
QN2
19．（17分）已知圆O 和圆O 的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点O，过圆O 上任意一点S作x
1 2 2
轴的垂线，垂足为H，连接OS，交圆O 于R点，再过点R作y轴的垂线交SH于P点(当S为圆O 与x
1 2
轴的交点时，规定点P与点S重合).
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)求动点P到直线l:x+ y−4=0的距离的最大值；
(3)设轨迹C与y轴的正半轴交点为Q，又A，B为x轴上不同于轨迹C与x轴的交点的两点，
且x +x =4，直线AQ，BQ分别与轨迹C交于点M，N（M，N 异于点Q），又QT ⊥MN，
A B
垂足为T，求OT 的最小值.
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