文档内容
数学参考答案A
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项
符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B C C
1.【解析】略.
x2 3
2.【解析】由 +y2=1,可得离心率为 .
4 2
2 1
3.【解析】该函数为单调递增函数,且f(2)=log 2-1<0,f(3)=log 3- = >0,故选C.
3 3 3 3
4.【解析】由题意可知斜率为2,所以直线方程为2x-y-2=0.
5.【解析】由射影的定义可知,选A.
3 2
6.【解析】因l向左平移3个单位,得到直线l',若l与l'的距离为 3,则斜率为± =± .
32- 32 2
7.【解析】PQ 的最大值即为PC +1,因为PC = 2,所以PQ 的最大值为 2+1.
8.【解析】设Pt,2t+4 ,M1,0 ,dP,M =t-1 +2t+4-0 =t-1 +2t+2
3t+1,t≥1,
=t+3,-20,化简得20-4λ>0,解得λ<5,而非
(-∞,5]，选项A错误;点P(1,0)在圆内,代入圆的方程需满足x2+y2+2x-4y+λ<0,将P(1,0)代入
得:12+02+2×1-4×0+λ<0,即1+2+λ<0,解得λ<-3,选项B正确;当λ=3时,圆C的方程为
x2+y2+2x-4y+3=0,配方得(x+1)2+(y-2)2=2,因此圆心为C(-1,2),半径r= 2,判断直线与
圆的位置关系，需计算圆心到直线的距离d,再与半径r比较:直线x+y+1=0,圆心C(-1,2)到直线
|-1+2+1| 2
的距离d= = = 2,因为d=r= 2,所以直线与圆相切,而非相离,选项C错误;当
12+12 2
λ=1时，圆C 的方程为x2+y2+2x-4y+1=0,配方得(x+1)2+(y-2)2=4,即圆心C(-1,2),半径
r=2,圆C 关于直线x+y+1=0对称的圆D，其圆心是C关于该直线的对称点,半径与C 相同,设D
a-1 b+2
的圆心为(a,b)，根据对称点的性质:线段CD的中点 ,
2 2
在直线x+y+1=0上，即
a-1 b+2
+ +1=0，化简得a+b+3=0;直线CD与直线x+y+1=0垂直,斜率之积为-1,直线
2 2
数学参考答案 第1页（共5页）b-2
x+y+1=0的斜率为-1,因此k = =1,即b-2=a+1,化简得a-b+3=0,联立方程
CD a+1
a+b+3=0
,解得a=-3,b=0.因此,圆D的方程为(x+3)2+y2=4,展开得x2+6x+9+y2=4,即
a-b+3=0
x2+y2+6x+5=0.选项D正确.故答案是BD.
11.【解析】以D为原点，分别以DA,DC,DD 为x,y,z轴建立空间直角坐标系,各点坐标:A(2,0,0)，
1
E(1,2,0),F(0,2,1),向量AE=(-1,2,0),EF=(-1,0,1),AE⋅EF=(-1)×(-1)+2×0+0×1=1≠0，
因此EF 与AE不垂直,选项A错误;A (2,0,2),G(2,2,1),向量 A G=(0,2,-1),平面AEF 的法向量:由
1 1
n⋅AE=-x+2y=0
AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),设法向量为n=(x,y,z),则 ,取 y=1,得x=2,z
n⋅AF=-2x+2y+z=0
=2,即n=(2,1,2),计算 A G⋅n=0×2+2×1+(-1)×2=0，故 A G⊥n,又A G不在平面AEF 内，
1 1 1
因此A G∥平面AEF,选项B正确;连接AD ,因EF∥AD ,故截面为梯形AEFD ,AD =2 2，EF=
1 1 1 1 1
3 2 (AD +EF) (2 2+ 2) 3 2
2，梯形的高为 （通过距离公式计算）,面积S= 1 ×高= × =
2 2 2 2
3 2 3 2 9
× = ,选项C正确;平面AEF 过A D的中点（由对称性可知）,因此点A 和点D到平面
2 2 2 1 1
AEF 的距离相等,选项D正确.故答案是BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
π 3 5π
12.【答案】60°(或 )【解析】该直线的斜率为- ,所以倾斜角为150°(或 ).
3 3 6
10
13.【答案】 【解析】建立空间直角坐标系,利用坐标表示向量,计算异面直线CE与C'A所成角
10
的余弦值．根据题意,建立空间直角坐标系,如图所示:设AC=BC
=AA'=2,则C(0,0,0),E(0,2,1),A(2,0,0),C′(0,0,2),所以CE=(0,2,
1),C'A=(2,0,-2),CE⋅C'A=0+0-2=-2,|CE|= 02+22+12=
CE⋅C'A
5,|C'A|= 22+02+(-2)2=2 2,cos= =
|CE||C'A|
-2 10 π
=- ,因为异面直线所成角的范围是(0, ],
5×2 2 10 2
10
所以异面直线CE与C'A所成角的余弦值是 .
10
5
14.【答案】 【解析】设FB
3 2
=m,则FA
2
=2m,所以
FB
1
=2a-m,FA
1
=2a-2m,因为AF ⋅BF =0,所以(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2,所以
1 1
得a=3m,又在△AFF
1 2
c 5
中,16m2+4m2=4c2,得c= 5m,所以e= = .
a 3
数学参考答案 第2页（共5页）四、解答题:共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】(1)因为h(x)= f(x)+g(x)=ln(a+x)+ln(a-x),
且h(0)=lna+lna=2lna=ln4,所以a=2,2分
所以h(x)=ln(2+x)+ln(2-x),
2+x>0,
所以要使函数h(x)有意义,则需
2-x>0,
即-20,即ln(4-x2)>0,即4-x2>1,11分
得x∈(- 3, 3),所以x的取值范围为(- 3, 3). 13分
16.证明：(1)取AB的重点G,连接CG,FG,则因为F是EB的中点,
1
所以FG⎳AE,且FG= AE,2分
2
1
因为EA和DC都垂直平面ABC,所以EA⎳DC,CD= AE, 3分
2
所以CD⎳FG,且CD=FG,所以CDFG为平行四边形, 4分
所以DF⎳CG,
因为△ABC为等边三角形,所以CG⊥AB,
因为AE⊥平面ABC,所以AE⊥CG,
所以CG⊥平面ABE,所以DF⊥平面ABE, 6分
所以平面CDF⊥平面ABE； 7分
(2)连接AD,设该几何体的体积为V,则V=V +V ,9分
D-ABC D-ABE
1 2 3
S = 3,S =4,所以V = ×S ×CD= , 12分
△ABC △ABE D-ABC 3 △ABC 3
1 4 3
V = ×S ×CG= ,14分
D-ABE 3 △ABE 3
所以V=V +V =2 3. 15分
D-ABC D-ABE
17.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,1分
由圆C过点A(-1,0),B(1,2),
所以1-D+F=0,1+4+D+2E+F=0, 3分
E D
因为圆心C在直线y=-2x上,所以- =-2-
2 2
, 4分
所以D=2,E=-4,F=1,
圆C的标准方程(x+1)2+(y-2)2=4; 6分
(2)由于A(-1,0),B(1,2),可得AB =2 2,7分
数学参考答案 第3页（共5页）因为△ABD的面积为2,所以点D到直线AB的距离为 2, 9分
直线AB方程为y=x+1
-1-2+1
因为点C到直线AB的距离为,所以
= 2,
2
所以直线CD与AB平行,所以直线CD方程为y=x+3, 11分
y=x+3,
联立方程
(x+1)2+(y-2)2=4;
解得x=-1+ 2,y=2+ 2,或者x=-1- 2,y=2- 2,14分
所以D(-1+ 2,2+ 2),或者D(-1- 2,2- 2).15分
18.【解析】（1）证明：取FC 中点M，连结GM、MH，
因为G、H 为EC、FB的中点，
1 1
所以GM⋕ EF，MH⋕ BC，
2 2
又因为EF∥BO，所以GM∥BO，
∴平面GHM⎳平面ABC，
∵GH⊂平面GHM
∴GH∥平面ABC；8分
（2）因为AB=BC，所以BO⊥AC，
又因为OO⊥平面ABC，
所以以O为原点，OA为x轴，OB为 y轴，OO 为z轴，建立空间直角坐标系，
如图,则A(2 3,0,0)，C(-2 3,0,0)，B(0,2 3,0)，O(0,0,3)，F(0, 3,3)，
FC=(-2 3,- 3,-3)，CB=(2 3,2 3,0)，
由题意可知面ABC 的法向量为OO=(0,0,3)，
设n=(x ,y ,z )为平面FCB的法向量，
0 0 0
则 n ⋅F C =0 ，即 -2 3x 0 - 3y 0 -3z 0 =0 ，
n⋅CB=0 2 3x 0 +2 3y 0 =0
3
取x =1，则n=(1,-1,- )，
0 3
OO⋅n 7
所以 cos= =- ．
7
|OO|⋅|n|
因为由图易知二面角F-BC-A的平面角是锐角，
7
所以二面角F-BC-A的余弦值为 ． 17分
7
数学参考答案 第4页（共5页）x2 y2
19.【解析】(1)已知椭圆C: + =1a＞b＞0
a2 b2
3
过点P(2,1),且离心率e= ,
2
c2 a2-b2 3
则e2= = = ，
a2 a2 4
所以a2=4b2．
x2 y2
又椭圆C: + =1(a>b>0)过点P(2,1)，
a2 b2
4 1
所以 + =1，
a2 b2
所以a2=8，b2=2，
x2 y2
故所求椭圆方程为 + =1．8分
8 2
（2）设点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
x2
+
y2
=1
8 2
联立 ，
y=1 x+m
2
消去 y得x2+2mx+2m2-4=0，
所以x +x =-2m，x x =2m2-4，
1 2 1 2
又直线l与椭圆C 相交，
所以Δ=4m2-4(2m2-4)=16-4m2>0，
解得-2
