文档内容
辽宁省实验中学2025-2026学年高二上学期期中阶段测试
数学试卷
一、单选题
1．直线 的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2．若直线 ∥平面α，且l的方向向量为 ，平面α的法向量为 ，则 为（ ）
A．4 B．1 C． D．
3．已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为 的重心，设 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4．阿基米德（公元前287年－公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家.他利用“逼近
法”得到椭圆的面积为圆周率π乘以椭圆的长半轴长和短半轴长，若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y
轴上，且椭圆C的离心率为 ，面积为 ，则椭圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平行六面体 中， ， ， ， ，
，则线段 的长为（ ）A． B． C．3 D．5
6．已知直线 ， 的斜率分别为 ， ，倾斜角分别为 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知三棱锥 ， 平面 ， ， ，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线 与曲线 有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．二、多选题
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．已知向量 ， ，若 ，则 为钝角
B．已知 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是
C．若直线 经过第三象限，则 ，
D．已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若 ，则P，A，B，C
四点共面
10．已知正方体 的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．两条异面直线 和 所成的角为 B．直线 与平面 所成的角等于
C．点C到平面 的距离为 D．四面体 的体积是
11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，且焦距为2c，离心率为e，直线
与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A． 的周长为4a B．若 ，则 的最小值为3c
C．若AB的中点为M，则 D．若 ，则 的取值范围为
三、填空题
12．已知直线 ，当k变化时，点 到直线l的距离的取值范围是 .
13．已知点 关于坐标平面Oxy的对称点为 ，点 关于坐标平面Oxz的对称点为 ，点 关于y轴的对称点为 ，则 .
14．已知实数x，y满足 ，则 的取值范围是 .
四、解答题
15．已知直线 ；直线 ．
(1)若 ，求实数 的值；
(2)若 ，且它们之间的距离为 ，求直线 的斜截式方程．
16．已知两圆 和 .求：
(1) 取何值时，两圆相内切？
(2)当 时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
17．如图，在三棱柱 中，侧棱 垂直于底面ABC， ， ， ，
D，E分别是线段 和 上的点，且 ， ， 为线段 的中点.
(1)求证： ∥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.18．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，短轴的上下端点分别为 ， ，长轴长
为 ， 为等腰直角三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)请求出过点 且与椭圆C相切的直线方程，并表示为一般式；
(3)过左焦点 且与坐标轴不垂直的直线l，与曲线C相交于A，B两点，AB的中点为M，求三角形
面积的取值范围.
19．已知圆方程、椭圆方程都是二元二次方程，但是二元二次方程可以表示多种曲线，甚至可以表示两条
直线，例如“ ”可以写为“ ”即表示直线“ 和
”，请解决如下问题
(1)已知方程 表示两条直线，请写出这两条直线的一般式方程.
(2)已知方程 表示中心在原点，经过“旋转”之后的椭圆，请求出该椭圆的对称轴所在的直
线方程，椭圆的长轴长，短轴长和焦距.
(3)已知旋转变换的规则如下：点 绕原点逆时针旋转 后得到点 ，其中 ，
现有二元二次方程 ，是一个中心在原点，焦点在 轴上的椭圆E逆时针旋转 角
（ ）后所得的方程，请求出椭圆E的标准方程和 的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B A A B D BD ACD
题号 11
答案 ACD
1．A【详解】直线的斜率 ，所以直线的一个方向向量为 ，
故选：A.
2．C
【详解】因为直线 ∥平面α，
所以 ,
得 ,
得 ,
故选：C
3．A
【详解】在正四面体ABCD中，连接 并延长交 于 ，由O为 的重心，得 是 的中点，
而M为棱BD的中点，则
.
故选：A
4．B
【详解】设椭圆 的长短半轴长分别为 ，由椭圆C的离心率为 ，得 ，
则 ，由椭圆 的面积为 ，得 ，则 ，
因此 ，而椭圆 的焦点在y轴上，
所以椭圆 的方程为 .
故选：B5．A
【详解】在平行六面体 中，取 为空间的一个基底，
由 ， ，得 ，
，而 ，
因此 .
故选：A
6．A
【详解】若 ，则 ，
又 ，可得 ，
所以 或 ，
所以 中较大的倾斜角在 内，其斜率为负，
较小的倾斜角在 内，其斜率为正，所以 ，
所以“ ”是“ ”的充分条件，
若 ，不妨取 ，此时 ，
所以 ，
所以“ ”不是“ ”的必要条件.
故选：A.
7．B
【详解】如图：以A为原点，平行与 的直线为 轴，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 ， ， ，
则 ， ，
所以直线 与 所成角 的余弦值 .
故选：B.
8．D
【详解】由 可得 ，
即直线 过定点 ，
由 可得 ，
即 或 ，
作直线 与曲线 的图像，
由圆心 到直线 的距离 可得 或 （舍去），即切线 的斜率 ，同理可得 ，
又 ，所以 ， ,
由图象可知，当 或 时，直线与曲线 有2个交点，
故选：D
9．BD
【详解】对于A，当 时， ， ， ，
此时 ，故A错误；
对于B，向量 在向量 上的投影向量为 ，故B正确；
对于C，令 ，则直线 为 ，且经过第三象限，但此时 ，
故C错误；
对于D，因为 ， ，所以由空间向量共面定理的推论可得 ， ， ，
四点共面，故D正确；
故选：BD
10．ACD
【详解】以点 为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
正方体 的棱长为1，
，，
，
两条异面直线 和 所成的角为 ，故A正确；
平面 的法向量 ， ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，
，故B错误；
， ，
设平面 的法向量 ，
，令 ，则 ，
， 点 到平面 的距离如下，
为 ，故C正确；
而四面体 为正方体 减去4个角剩余的部分，
即
，故D正确．
故选：ACD．
11．ACD
【详解】对于A，因点 是椭圆上的两点，则 ，
而 的周长为 ，故A正确；
对于B，因 ，则 ，由 消去 ，
整理得 ，因直线 恒过点 ，则 ，
设 ，则有 ，
则 ，
设 ，则 ，且 ，于是 ，
因 ，易得 ，则有 ，故B错误；
对于C，同B项，设 ，则 ，则 ，即得
，又 ，两式相减，可得 ，整理得 ，故有 ，即C正
确；
对于D，依题意， ，
则 ，则 （*），
由 可得 ，代入（*），可得 ，解得 ，
因 ，则 ，化简得 ，
因 ，则 ，即得 ，解得 ，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为直线 ，所以直线 过定点 ，
所以当直线 与直线 垂直时， 到直线l的距离最大，
此时 ，
又因为当直线 过点 时， ，所以 .
故答案为： .13．
【详解】点 关于平面Oxy的对称点 ，点 关于平面Oxz的对称点 ，
点 关于y轴的对称点 ，所以 .
故答案为：
14．
【详解】如图，设直线 方程为 ，设 为圆上任意一点，
则 ，由图可知圆在直线的上方，且在第一象限，所以 .
而 ，所以 .
所以要求 的取值范围，只需求 的范围即可.
由图可知，过原点与圆相切的一条直线为 ，设另一条切线为 ，
那么 的范围在 与 之间，
则 ，化简得 ，解得 或 .
可以得到 ，联立直线 与圆的方程得 ，
解得 ，所以 .
计算 ，此时 ；
计算 ，此时 .所以 ，解得 .
故答案为： .
15．(1)
(2) 或
【详解】（1） ， ， 直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，解得 ．
（2） ， ，解得 ，
直线 的方程 ，即 ，
又 直线 ，
两平行直线间距离 ，解得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，斜截式方程为 ；
当 时，直线 的方程为 ，斜截式方程为 ．
16．(1) ；
(2)公共弦所在直线方程为 ，公共弦长为 .【详解】（1）设圆 ： ，可化为 ，
则圆心 ，半径 ，
设圆 ： ，可化为 ，
则圆心 ， ，
由于圆心距 ， ，
则要使得两圆内切，需 ，即 ，解得 .
（2）当 时， 圆 ： ，
两圆的方程相减，可得 ，即 ，
则两圆的公共弦方程为 .
则圆心 到公共弦的距离为 ，
由弦长公式，可得弦长为 .17．(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）设 的中点为 ，连接 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
连接 ，因为 且 ，
所以 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ， 又 平面 ，
所以 平面 ；
（2）依题意，以 为原点，分别以 的方向为 轴，建系如图，得 ， ， ， ， ， ， ， ， ．
所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则平面 的一个法向量为 ，
于是 ．
所以， 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3）设平面 的法向量为 ，
，
则 ，取 ，
由（2）知，平面 的一个法向量为 ，
则 ，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．18．(1)
(2) 和
(3)
【详解】（1）根据题意， ，
又 为等腰直角三角形，所以 ，
根据 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）过点 的直线斜率不存在时为 ，
此时直线与椭圆 显然相切，
当斜率存在时，设直线为 ，
联立方程组 ，
得 ，
得 ，
解得 ，则直线方程为 ,
所以过点 且与椭圆C相切的直线方程为 和 ；（3）由（1）可知 ，
设过左焦点 且与坐标轴不垂直的直线l： ，
，
联立方程组 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
又 ，则 ，且 ，
则点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
设 ，则 ，
若 ，即 时， ，
若 ，则 ，
解得 ，
又当 时， ，令 ，解得 ，即 或 ，
因为 ，所以当 时面积 ，
因此函数在 的定义域上可以取到值 ，其值域为 ，
所以 面积的取值范围为 .
19．(1) 和 ；
(2)对称轴方程 ，长轴长 ，短轴长 ，焦距 ；
(3) ， .
【详解】（1）方程 ，
则 或 ，
所以这两条直线的一般式方程为 和 .
（2）在椭圆 上任取点 ，则点 关于直线 对称点分别为显然 ，
即点 都在椭圆 上，因此该椭圆对称轴方程为 ；
由 ，得椭圆 顶点 ，
由 ，得椭圆 顶点 ，
因此该椭圆的长轴长 ，短轴长 ，
.
（3）依题意，原椭圆方程为
，
整理得
，
而原椭圆方程是标准方程，无 项，因此 ，
即 ，则 ，由 ，得 ，
解得 ，于是 ，椭圆 的方程为 ，
