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参考答案
高二数学试卷 Ａ（一）
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答案 Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ
【解析】
１．ａ＝（１，－１，－２），ｂ＝（１，２，３），ｃ＝（３，３，ｍ），
由向量ａ，ｂ，ｃ共面，可知存在有序实数对（ｘ，ｙ），使得ｃ＝ｘａ＋ｙｂ，
{ｘ＋ｙ＝３ {ｘ＝１
即（３，３，ｍ）＝ｘ（１，－１，－２）＋ｙ（１，２，３），∴ －ｘ＋２ｙ＝３ ，解得 ｙ＝２，即ｍ＝４．故选Ａ．
－２ｘ＋３ｙ＝ｍ ｍ＝４
２．由ｘ＋（ｍ＋２）ｙ－３－ｍ＝０，得ｘ＋２ｙ－３＋ｍ（ｙ－１）＝０，
令ｙ－１＝０，则ｙ＝１，ｘ＝１，所以直线ｌ恒过定点（１，１），
则圆的方程为（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝（槡２）２，即ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ＝０．故选Ｄ．
３．由题意，圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ＋４ｙ＝０即（ｘ＋１）２＋（ｙ＋２）２＝５，
所以圆心为Ｃ（－１，－２），半径ｒ＝槡５，
｜－１＋２＋１｜
可得圆心到直线ｘ－ｙ＋１＝０的距离ｄ＝ ＝槡２．故选Ａ．
槡１２＋（－１）２
４．由题意直线ｌ：（２ａ＋１）ｘ＋ａｙ＋１＝０，ｌ：（ａ＋２）ｘ＋ａｙ＋２＝０，
１ ２
直线ｌ，ｌ平行或重合的充要条件是（２ａ＋１）ａ＝（ａ＋２）ａ，所以ａ＝０或ａ＝１，
１ ２
将ａ＝１代入直线ｌ，ｌ的方程，得ｌ：３ｘ＋ｙ＋１＝０，ｌ：３ｘ＋ｙ＋２＝０，易知ｌ∥ｌ；
１ ２ １ ２ １ ２
将ａ＝０代入直线ｌ，ｌ的方程，得ｌ：ｘ＋１＝０，ｌ：２ｘ＋２＝０，直线ｌ，ｌ重合，故ａ＝０舍去，
１ ２ １ ２ １ ２
综上所述，“ａ＝１”是“ｌ∥ｌ”的充要条件．故选Ｃ．
１ ２
５．直线ｌ的方程为ｘ－ｙｓｉｎθ＋２＝０，设直线的倾斜角为α，
π
①当ｓｉｎθ＝０时，直线ｌ的方程为ｘ＝－２，α＝ ；
２
参考答案 第 １页 （共１６页）
书书书１
②当ｓｉｎθ≠０时，直线的斜率ｋ＝ｔａｎα＝ ，所以ｔａｎα∈（－∞，－１］∪［１，＋∞），
ｓｉｎθ
π π π ３π
所以α∈［ ， ）∪（ ， ］，
４ ２ ２ ４
π ３π
综上所述，α∈［ ， ］．故选Ｃ．
４ ４
６．如图，由已知可得，ＢＢ⊥底面ＡＢＣ，
１
又ＢＡ，ＢＣ底面ＡＢＣ，所以ＢＢ⊥ＢＣ，ＢＢ⊥ＢＡ，
１ １
又因为ＡＢ⊥ＢＣ，所以ＢＡ，ＢＢ，ＢＣ两两垂直，
１
分别以ＢＡ，ＢＣ，ＢＢ为ｘ，ｙ，ｚ轴建立空间直角坐标系，
１
ａ ａ
设ＢＣ＝ａ（ａ＞０），则Ｂ（０，０，０），Ｃ（０，ａ，０），Ｍ（０， ，槡２ａ），Ｎ（ ，０，槡２ａ），
２ ２
→ ａ → ａ
所以ＣＮ＝（ ，－ａ，槡２ａ），ＢＭ＝（０， ，槡２ａ），
２ ２
设直线ＢＭ与直线ＣＮ所成角为θ，
３
→ → ａ２
→ → ｜ＢＭ·ＣＮ｜ ２ ２槡１３
则ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ?ＢＭ，ＣＮ?｜＝→ → ＝ ＝ ，
｜ＢＭ｜｜ＣＮ｜ ３ 槡１３ １３
ａ· ａ
２ ２
２槡１３
所以直线ＢＭ与直线ＣＮ所成角的余弦值为 ．故选Ｂ．
１３
７．将圆的方程整理为标准方程（ｘ＋２）２＋ｙ２＝４，
设ＡＢ中点为Ｄ，由圆的性质可知△ＡＢＣ为等腰三角形，
１
其中ＣＡ＝ＣＢ，则ＣＤ＝ＣＡ×ｓｉｎ３０°＝２× ＝１，
２
即圆心Ｃ（－２，０）到直线４ｘ－３ｙ＋ａ＝０的距离为ｄ＝１，
｜－８＋０＋ａ｜
据此可得 ＝１，即｜ａ－８｜＝５，解得ａ＝３或ａ＝１３．故选Ｄ．
槡４２＋（－３）２
８．∵方程ｘ２＋ｙ２＋ｍｘ＋ｎｙ＝０表示圆，∴ｍ２＋ｎ２－４×０＞０，即ｍ２＋ｎ２＞０，
圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２＋ｍｘ＋ｎｙ＝０，圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ＝０，
２ １
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线ｌ的方程：（ｍ＋２）ｘ＋（ｎ＋４）ｙ＝０，
若圆Ｃ平分圆Ｃ的周长，则圆Ｃ的圆心在直线ｌ上，
２ １ １
∵圆Ｃ的圆心为（１，２），∴（ｍ＋２）＋２（ｎ＋４）＝０，即ｍ＝－２ｎ－１０，
１
∴ｎ２－ｍ＝ｎ２＋２ｎ＋１０＝（ｎ＋１）２＋９，当ｎ＝－１时，ｎ２－ｍ取最小值９．故选Ｄ．
参考答案 第 ２页 （共１６页）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分。
题号 ９ １０ １１
答案 ＡＤ ＡＣＤ ＡＣＤ
【解析】
９．如图，直线ｌ，ｌ，ｌ的斜率分别为ｋ，ｋ，ｋ，倾斜角分别为α，α，α，则 ｋ＞ｋ＞０，ｋ＜０，
１ ２ ３ １ ２ ３ １ ２ ３ ２ ３ １
故α＞α＞０，且α为钝角，∴α＜α＜α．故选ＡＤ．
２ ３ １ ３ ２ １
→ → → → → →
１０．在平行六面体ＡＢＣＤＡＢＣＤ 中，可得ＡＣ＝ＡＣ＋ＣＣ＝ＡＢ＋ＡＤ＋ＡＡ＝ａ＋ｂ＋ｃ，Ａ正确；
１ １ １ １ １ １ １
在平行六面体ＡＢＣＤＡＢＣＤ 中，Ｍ为ＡＣ与ＢＤ 的交点，所以Ｍ为ＢＤ 的中点，
１ １ １ １ １ １ １ １ １ １
→ → → → １→
可得ＢＭ ＝ＢＢ＋ＢＭ＝ＡＡ＋ ＢＤ
１ １ １ ２ １ １
→ １→ → １ → →
＝ＡＡ＋ ＢＤ＝ＡＡ＋ （ＡＤ－ＡＢ）
１ ２ １ ２
１ １
＝ ｂ－ ａ＋ｃ，Ｂ错误；
２ ２
→ → → π
因为｜ＡＢ｜＝｜ＡＤ｜＝｜ＡＡ｜＝１，且∠ＡＡＤ＝∠ＡＡＢ＝∠ＢＡＤ＝ ，
１ １ １ ３
→ → → → → → → → π １
可得ＡＢ·ＡＤ＝ＡＢ·ＡＡ＝ＡＤ·ＡＡ＝｜ＡＤ｜·｜ＡＡ｜ｃｏｓ ＝ ，
１ １ １ ３ ２
→ １ １ １
ＡＣ２＝ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋２ａ·ｂ＋２ａ·ｃ＋２ｂ·ｃ＝１＋１＋１＋２× ＋２× ＋２× ＝６，
１ ２ ２ ２
→
可得｜ＡＣ｜＝槡６，Ｃ正确；
１
→ → １ １
因为ＡＢ·ＡＣ＝ｂ·（ａ＋ｂ＋ｃ）＝ｂ·ａ＋ｂ２＋ｂ·ｃ＝ ＋１＋ ＝２，
１ ２ ２
→ →
所以ｃｏｓ?
Ａ
→
Ｂ，
ＡＣ
→
?＝→
ＡＢ·Ａ
Ｃ
→ １ ＝
２
＝
槡６
，Ｄ正确．故选ＡＣＤ．
１ ｜ＡＢ｜·｜ＡＣ
１
｜ １×槡６ ３
１１．因为圆ｘ２＋ｙ２＝１的圆心Ｏ（０，０），半径ｒ＝１，
对于Ａ，点Ｐ（３，４），可得｜ＰＯ｜＝槡３２＋４２＝５，｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜＝槡｜ＰＯ｜２－ｒ２＝槡２５－１＝２槡６，
１
则四边形ＯＡＰＢ的面积Ｓ＝２Ｓ ＝２× ｜ＰＡ｜×｜ＡＯ｜＝２槡６×１＝２槡６，Ａ正确；
△ＰＡＣ ２
→
对于Ｂ，Ｐ（６，８），可得ＯＰ＝（６，８），设四边形ＯＡＰＢ的外接圆上任意一点Ｑ（ｘ，ｙ），
→ →
可得ＯＱ·ＰＱ＝０，即（ｘ，ｙ）·（ｘ－６，ｙ－８）＝０，即ｘ（ｘ－６）＋ｙ（ｙ－８）＝０，
参考答案 第 ３页 （共１６页）整理可得（ｘ－３）２＋（ｙ－４）２＝２５，Ｂ错误；
对于Ｃ，Ｐ在直线４ｘ＋３ｙ－１２＝０上，
｜０＋０－１２｜ １２
则Ｏ，Ａ，Ｐ，Ｂ所在圆的直径的最小值为圆心Ｏ到直线的距离ｄ＝ ＝ ，Ｃ正确；
槡４２＋３２ ５
→ →
对于Ｄ，设∠ＡＰＯ＝θ，∠ＡＰＢ＝２θ，则当ＰＡ·ＰＢ取得最小值时，
２
即｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜ｃｏｓ２θ＝｜ＰＡ｜２·（１－２ｓｉｎ２θ）＝（｜ＯＰ｜２－１）·（１－ ）＝－２－１＋｜ＯＰ｜２
｜ＯＰ｜２
２ ２
＋ ≥３＋２槡２，当且仅当｜ＯＰ｜２＝ ，即｜ＯＰ｜＝槡２时取等号，Ｄ正确．故选ＡＣＤ．
｜ＯＰ｜２ ｜ＯＰ｜２
三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分。
[ １ ４]
１２．槡２１ １３．８ １４． ，
３ ３
【解析】
１２．ａ，ｂ，ｃ为空间内两两夹角都是１２０°的三个单位向量，
｜ａ＋２ｂ－３ｃ｜２ ＝（ａ＋２ｂ－３ｃ）２＝ａ２＋４ｂ２＋９ｃ２＋４ａ·ｂ－６ａ·ｃ－１２ｂ·ｃ
＝１＋４＋９＋４ｃｏｓ１２０°－６ｃｏｓ１２０°－１２ｃｏｓ１２０°＝１４－２＋３＋６＝２１，
则｜ａ＋２ｂ－３ｃ｜＝槡２１．故答案为槡２１．
１３．∵ａ＞０，ｂ＞０，直线ｌ：（ａ－１）ｘ＋ｙ－１＝０，ｌ：ｘ＋２ｂｙ＋１＝０，且ｌ⊥ｌ，
１ ２ １ ２
∴（ａ－１）×１＋１×２ｂ＝０，即ａ＋２ｂ＝１，
２ １ ２ １ ４ｂ ａ ４ｂ ａ
则 ＋ ＝（ ＋ ）（ａ＋２ｂ）＝２＋ ＋ ＋２≥４＋２槡· ＝４＋４＝８，
ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
２ １
当且仅当ａ＝２ｂ时，等号成立，故 ＋ 的最小值为８．故答案为８．
ａ ｂ
１４．实数ｘ，ｙ满足ｙ＝槡４－ｘ２＋１，可得ｘ２＋（ｙ－１）２＝４（ｙ≥１），
其表示为圆ｘ２＋（ｙ－１）２＝４的上半部分，
设半圆上一动点Ｐ（ｘ，ｙ），
ｙ＋１
表示的几何意义为点Ｐ与点Ａ（－４，－１）连接的直线的斜率，
ｘ＋４
１＋１ １
当点Ｐ为（２，１）时，则直线ＡＰ的斜率取最小值，为 ＝ ，
２＋４ ３
当直线ＡＰ和半圆相切时，直线ＡＰ的斜率取最大值，
设直线ＡＰ的方程为ｙ＋１＝ｋ（ｘ＋４），即ｋｘ－ｙ＋４ｋ－１＝０，
参考答案 第 ４页 （共１６页）｜４ｋ－２｜ ４ ４
所以 ＝２，解得ｋ＝ 或ｋ＝０（舍去），则直线ＡＰ的斜率的最大值为 ；
槡ｋ２＋１ ３ ３
ｙ＋１ [ １ ４] [ １ ４]
综上， 的取值范围为 ， ．故答案为 ， ．
ｘ＋４ ３ ３ ３ ３
四、解答题：本题共５小题，共７７分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
１５．（本小题满分１３分）
解：（１）根据点Ｂ在直线ＢＭ：２ｘ－ｙ－５＝０上，
设Ｂ（ｍ，２ｍ－５），
２ｍ－５－１ －１
可得ＢＣ的斜率ｋ＝ ＝ ＝－２，
ｍ－５ ｋ
ＡＨ
解得ｍ＝４，
所以点Ｂ的坐标为（４，３）；
（２）根据点Ａ在直线ＡＨ：ｘ－２ｙ－５＝０上，
ｎ＋１
设Ａ（２ｎ＋５，ｎ），可得ＡＣ中点Ｍ的坐标为（ｎ＋５， ），
２
由Ｍ在直线ＢＭ上，
ｎ＋１
得２（ｎ＋５）－ －５＝０，解得ｎ＝－３，
２
所以Ａ点的坐标为（－１，－３），
ｙ＋３ ｘ＋１
因此，直线ＡＢ的方程为 ＝ ，
３＋３ ４＋１
即６ｘ－５ｙ－９＝０．
１６．（本小题满分１５分）
解：（１）设与直线ｌ的距离为槡５的直线方程为ｘ＋２ｙ＋Ｃ＝０，
｜Ｃ＋２｜
可得 ＝槡５，解得Ｃ＝３或Ｃ＝－７，
槡１＋４
所求直线的方程为ｘ＋２ｙ＋３＝０或ｘ＋２ｙ－７＝０；
（２）圆Ｃ：（ｘ＋２）２＋（ｙ＋１）２＝１的圆心为Ｃ（－２，－１），半径ｒ＝１，
设圆Ｃ关于直线ｌ的对称圆方程为（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２＝１，
则该圆的圆心Ｃ（ａ，ｂ）与点Ｃ关于ｌ对称，
１
－１－ｂ １ ２
{ ×（－ ）＝－１ {ａ＝
－２－ａ ２ ５
可得 ，解得 ，
－２＋ａ －１＋ｂ １９
＋２× －２＝０ ｂ＝
２ ２ ５
２ １９
所以圆Ｃ关于直线ｌ的对称圆方程为（ｘ－ ）２＋（ｙ－ ）２＝１．
５ ５
参考答案 第 ５页 （共１６页）１７．（本小题满分１５分）
→ １ → →
解：（１）连接ＯＤ，∵点Ｄ为ＢＣ的中点，∴ＯＤ＝ （ＯＢ＋ＯＣ），
２
→ →
∵２ＡＥ＝ＥＤ，
→ ２→ １→ ２→ １ １ → → ２→ １→ １→ ２ １ １
∴ＯＥ＝ ＯＡ＋ ＯＤ＝ ＯＡ＋ · （ＯＢ＋ＯＣ）＝ ＯＡ＋ ＯＢ＋ ＯＣ＝ ａ＋ ｂ＋ ｃ；
３ ３ ３ ３ ２ ３ ６ ６ ３ ６ ６
→ → →
（２）∵ＡＢ＝ＯＢ－ＯＡ，
→ → ２→ １→ １→ → →
由（１）得ＯＥ·ＡＢ＝（ ＯＡ＋ ＯＢ＋ ＯＣ）·（ＯＢ－ＯＡ）
３ ６ ６
１→ → １→ １→ → ２→ １→ →
＝ ＯＡ·ＯＢ＋ ＯＢ２＋ ＯＣ·ＯＢ－ ＯＡ２－ ＯＣ·ＯＡ
２ ６ ６ ３ ６
１ １ １ １ １ ２ １ １
＝ ×２×２× ＋ ×２２＋ ×２×２× － ×２２－ ×２×２× ＝－１．
２ ２ ６ ６ ２ ３ ６ ２
１８．（本小题满分１７分）
解：（１）由题可知，ＡＣ，ＣＤ，ＣＢ两两垂直，翻折前，
１
因为ＤＥ经过△ＡＢＣ的重心，且ＤＥ∥ＢＣ，所以ＡＤ＝２ＣＤ，
２
所以ＣＤ＝１，ＡＤ＝２，ＤＥ＝ ＢＣ＝２，翻折后ＡＤ＝２，
３ １
由勾股定理得ＡＣ＝槡ＡＤ２－ＣＤ２＝槡２２－１２＝槡３，
１ １
以Ｃ为原点，直线ＣＤ，ＣＢ，ＣＡ分别为ｘ，ｙ，ｚ轴，
１
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Ｃ（０，０，０），Ａ（０，０，槡３），Ｄ（１，０，０），
１
１ 槡３
Ｍ（ ，０， ），Ｂ（０，３，０），Ｅ（１，２，０），
２ ２
→ １ 槡３ → １ 槡３ →
可得ＣＭ＝（ ，０， ），ＭＢ＝（－ ，３，－ ），ＢＥ＝（１，－１，０），
２ ２ ２ ２
设平面ＢＭＣ的法向量为ｍ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
１ １ １
１ 槡３
→ ｘ＋ ｚ＝０
{ｍ⊥ＣＭ
２１ ２１
则 ，则 ，
→
ｍ⊥ＭＢ
－
１
ｘ＋３ｙ－
槡３
ｚ＝０
２１ １ ２１
令ｚ＝１，则ｘ＝－槡３，ｙ＝０，可得ｍ＝（－槡３，０，１），
１ １ １
参考答案 第 ６页 （共１６页）设平面ＢＭＥ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
２ ２ ２
{ｎ⊥
Ｍ
→
Ｂ
{
－
１
ｘ＋３ｙ－
槡３
ｚ＝０
２２ ２ ２２
则 ，则 ，
→
ｎ⊥ＢＥ
ｘ－ｙ＝０
２ ２
５槡３ ５槡３
令ｘ＝１，则ｙ＝１，ｚ＝ ，可得ｎ＝（１，１， ），
２ ２ ２ ３ ３
２槡３
ｍ·ｎ ３ 槡３１
可得ｃｏｓ?ｍ，ｎ?＝ ＝ ＝ ，
｜ｍ｜·｜ｎ｜ 槡３１ ３１
２×
槡３
槡３１
所以平面ＣＭＢ与平面ＭＥＢ夹角的余弦值为 ；
３１
→ → →
（２）由（１）可知ＢＡ＝（０，－３，槡３），ＢＥ＝（１，－１，０），ＡＤ＝（１，０，－槡３），
１ １
→
{ｐ⊥ＢＡ
１
{ －３ｙ
３
＋槡３ｚ
３
＝０
设平面ＡＢＥ的法向量为ｐ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 ，则 ，
１ ３ ３ ３ →
ｐ⊥ＢＥ ｘ－ｙ＝０
３ ３
令ｘ＝１，则ｙ＝１，ｚ＝槡３，可得ｐ＝（１，１，槡３），
３ ３ ３
→ → →
且ＢＭ＝ＢＡ＋λＡＤ＝（０，－３，槡３）＋λ（１，０，－槡３）＝（λ，－３，槡３－槡３λ），
１ １
因为直线ＢＭ与平面ＡＢＥ所成角为θ，
１
→
→ ｜ｐ·ＢＭ｜ ２λ
则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ?ｐ，ＢＭ?｜＝ → ＝
｜ｐ｜·｜ＢＭ｜ 槡５×槡４λ２－６λ＋１２
２ ２ ４槡６５
＝ ＝ ≤ ，
１２ ６ １ １ １３ ６５
槡５
槡 λ２
－
λ
＋４ 槡５槡１２（
λ
－
４
）２＋
４
４槡６５
当且仅当λ＝４时等号成立，所以ｓｉｎθ的最大值为 ．
６５
１９．（本小题满分１７分）
１ １
解：（１）当ｂ＝０，ｒ＝槡５，ｍ＝－ ，ｎ＝２时，圆Ｍ：ｘ２＋ｙ２＝５，直线ＣＤ：ｘ＝－ ｙ，
２ ２
ｘ２＋ｙ２＝５
{
{ｘ＝－１ {ｘ＝１
联立 ，解得 或 ，故Ｃ（－１，２），Ｄ（１，－２）；
１
ｘ＝－ ｙ ｙ＝２ ｙ＝－２
２
参考答案 第 ７页 （共１６页）{ｘ２＋ｙ２＝５ {ｘ＝－２ {ｘ＝２
直线ＥＦ：ｘ＝２ｙ，联立 ，解得 或 ，故Ｅ（２，１），Ｆ（－２，－１）．
ｘ＝２ｙ ｙ＝－１ ｙ＝１
ｙ＋１ ｘ＋２ ５ ５
所以直线ＣＦ： ＝ ，令ｙ＝０，得ｘ＝－ ，即Ｐ（－ ，０）；
２＋１ －１＋２ ３ ３
ｙ－１ ｘ－２ ５ ５ ５
直线ＥＤ： ＝ ，令ｙ＝０，得ｘ＝ ，即Ｑ（ ，０）．所以｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜＝ ；
－２－１ １－２ ３ ３ ３
{ｘ２＋（ｙ－ｂ）２＝ｒ２
（２）①证明：由题意知ｂ２＜ｒ２．联立 ，
ｘ＝ｍｙ
整理得（ｍ２＋１）ｙ２－２ｂｙ＋ｂ２－ｒ２＝０，则ｙ，ｙ是该方程的两个解，
１ ２
２ｂ ｂ２－ｒ２ ｙ＋ｙ ２ｂ
由韦达定理得ｙ＋ｙ＝ ，ｙｙ＝ ，所以 １ ２＝ ，
１ ２ ｍ２＋１ １２ ｍ２＋１ ｙｙ ｂ２－ｒ２
１２
ｙ＋ｙ ２ｂ
同理可得 ３ ４＝ ，
ｙｙ ｂ２－ｒ２
３４
ｙ＋ｙ ｙ＋ｙ
所以 １ ２＝３ ４；
ｙｙ ｙｙ
１２ ３４
②猜测｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜，证明如下：
ｙ－０ ｙ－０ ｘｙ－ｘｙ
设点Ｐ（ｐ，０），Ｑ（ｑ，０）．因为Ｃ，Ｐ，Ｆ三点共线，所以 ４ ＝１ ｐ＝４１ １４，
ｘ－ｐ ｘ－ｐ ｙ－ｙ
４ １ １ ４
又因为点Ｃ在直线ｘ＝ｍｙ上，所以ｘ＝ｍｙ；
１ １
ｎｙｙ－ｍｙｙ ｙｙ（ｎ－ｍ）
点Ｆ在直线ｘ＝ｎｙ上，所以ｘ＝ｎｙ，所以ｐ＝ ４１ １４＝１４ ；
４ ４ ｙ－ｙ ｙ－ｙ
１ ４ １ ４
ｙｙ（ｎ－ｍ）
同理因为Ｅ，Ｑ，Ｄ三点共线，可得ｑ＝２３ ．
ｙ－ｙ
２ ３
由①可知，
ｙ＋ｙ ｙ＋ｙ １ １ １ １ １ １ １ １
１ ２＝３ ４ ＋ ＝ ＋ － ＝ －
ｙｙ ｙｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ ｙ
１２ ３４ １ ２ ３ ４ １ ４ ３ ２
ｙ－ｙ ｙ－ｙ ｙｙ ｙｙ
４ １＝２ ３ １４ ＋ ２３ ＝０，
ｙｙ ｙｙ ｙ－ｙ ｙ－ｙ
１４ ２３ ４ １ ２ ３
ｙｙ（ｎ－ｍ） ｙｙ（ｎ－ｍ） ｙｙ ｙｙ
所以ｐ＋ｑ＝１４ ＋２３ ＝（ｎ－ｍ）（ １４ ＋ ２３ ）＝０，
ｙ－ｙ ｙ－ｙ ｙ－ｙ ｙ－ｙ
１ ４ ２ ３ １ ４ ２ ３
即ｐ＝－ｑ，所以｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜成立．
参考答案 第 ８页 （共１６页）
