2007年陕西高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_陕西

2007 年陕西高考理科数学真题及答案 注意事项： 1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。 2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应 的试卷类型信息点。 3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。 第一部分（共60分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题， 每小题5分，共60分）. 1 1.在复平面内，复数z= 对应的点位于 2i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第在象限 （D）第四象限   2.已知全信U＝（1，2，3， 4，5），集合A＝ xZ x3 2 ,则集合CA等于 u （A）1,2,3,4 （B）2,3,4 (C) 1,5 (D) 5 3.抛物线y=x2的准线方程是 （A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0 5 4.已知sinα= ，则sin4α-cos4α的值为 5 1 3 1 3 （A）- (B)- (C) (D) 5 5 5 5 5.各项均为正数的等比数列a 的前n项和为S，若S=2,S=14,则S 等于 n n n 30 40 （A）80 （B）30 (C)26 (D)16 6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大 圆上，则该正三棱锥的体积是 3 3 3 3 3 （A） (B) (C) (D) 4 3 4 12 a2 y2 7.已知双曲线C：  1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆 c2 b2 的半径是 A. ab B. a2 b2 C.a D.b 8.若函数f(x)的反函数为f1(x),则函数f(x-1)与f1(x1)的图象可能是 第1页 | 共8页9.给出如下三个命题： ①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc; a b ②设a,b∈R，则ab≠0若 ＜1，则 ＞1； b a ③若f(x)=log 2x=x,则f（|x|）是偶函数. 2 其中不正确命题的序号是 A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 10.已知平面α∥平面β，直线mα，直线n β，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为 a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则 A.b≤a≤c B.a≤c≤b C. c≤a≤b D. c≤b≤a 11.f(x)是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b, 若 a＜b，则必有 A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a) 12.设集合S={A，A，A，A}，在S上定义运算为：A A=A,其中k为I+j被4除的余 0 1 2 3 1 b 数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（xx）A=A 的x(x∈S)的个数为 2 0 A.4 B.3 C.2 D.1 第二部分（共90分） 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16 分）.  2x1 1  13.lim   . x1x2  x2 x1 x2y40,  14.已知实数x、y满足条件2x y20,，则z=x+2y的最大值为 .   3x y30, 15.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹 角为 120°，OA与OC的夹角为 30°,且|OA|＝|OB|＝1， |OC|＝2 3，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值 为 . 16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种. （用数字作答） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）. 17.（本小题满分12分） 第2页 | 共8页设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过   点 ,2， 4  （Ⅰ）求实数m的值； （Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合. 18.（本小题满分12分） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被 4 3 2 淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 、 、 ，且各轮问 5 5 5 题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率； （Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注： 本小题结果可用分数表示） 19.(本小题满分12分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中,AD//BC, ABC 90, PA平面v PA4,AD 2,AB 2 3,BC=6. (Ⅰ)求证:BDBD 平面PAC; (Ⅱ)求二面角PBDD的大小. 20.(本小题满分12分) c2 设函数f(x)= ,其中a为实数. x2 axa (Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间. 21. (本小题满分14分) x2 y2 6 已知椭圆C:  1（a＞b＞0）的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. a2 b2 3 (Ⅰ)求椭圆C的方程; 3 (Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 ，求△AOB面积 2 的最大值. 22. (本小题满分12分) 1 已知各项全不为零的数列{a}的前k项和为S,且S＝ a a (kN*),其中a=1. k k k 2 k k1 1 (Ⅰ)求数列{a}的通项公式; k b k n (Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{b}满足 k1  （k=1,2,…，n-1）,b=1. k b a 1 k b1 求b+b+…+b. 1 2 n 第3页 | 共8页参考答案 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题， 每小题5分，共60分）． 1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ｄ 9．Ａ 10．Ａ 11．Ｃ 12．Ｂ 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16 分）． 1 13． 14．8 15．6 16．210 3 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） f(x)a bm(1sin2x)cos2x，  π  π π 由已知 f   m  1sin  cos 2，得m1． 4  2 2  π （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f(x)1sin2xcos2x1 2sin  2x ，  4  π 当sin  2x  1时， f(x)的最小值为1 2，  4  π  3π  由sin  2x  1，得x值的集合为x xkπ ，kZ．  4  8  18．（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 A(i 1，2，3)，则 i 4 3 2 P(A) ，P(A ) ，P(A ) ， 1 5 2 5 3 5 该选手被淘汰的概率 P P(A  A A  A A A ) P(A)P(A)P(A )P(A)P(A )P(A ) 1 1 2 2 2 3 1 1 2 1 2 3 1 4 2 4 3 3 101        ． 5 5 5 5 5 5 125 1 （Ⅱ）的可能值为1，2，3，P(1) P(A) ， 1 5 4 2 8 P(2) P(A A ) P(A)P(A )   ， 1 2 1 2 5 5 25 4 3 12 P(3) P(AA ) P(A)P(A )   ． 1 2 1 2 5 5 25 的分布列为 第4页 | 共8页 1 2 3 1 8 12 P 5 25 25 1 8 12 57 E1 2 3  ． 5 25 25 25 解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第 i轮的问题”的事件为 A(i 1，2，3)，则 i 4 3 2 P(A) ，P(A ) ，P(A ) ． 1 5 2 5 3 5 该选手被淘汰的概率P1P(AA A )1P(A)P(A )P(A ) 1 2 3 1 2 3 4 3 2 101 1    ． 5 5 5 125 （Ⅱ）同解法一． 19．（本小题满分12分） 解法一：（Ⅰ） PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD．BD⊥PA．  AD 3 BC 又tanABD  ，tanBAC   3． AB 3 AB ∠ABD30，∠BAC 60，∠AEB90，即BD⊥AC． 又PA AC  A．BD⊥平面PAC ．  （Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F ，连接DF． DE⊥平面PAC ，EF 是DF在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，  ∠EFD为二面角APCD的平面角． P 又∠DAC 90 ∠BAC 30， F DE  ADsinDAC 1， A D AE  ABsinABE  3， E B C 又AC 4 3，EC 3 3，PC 8． PA EC 3 3 由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF    ． PC 2 DE 2 3 2 3 在Rt△EFD中，tanEFD  ，∠EFDarctan ． EF 9 9 2 3 二面角APCD的大小为arctan ． 9 解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系， 则A(0，0，0)，B(2 3，0，0)，C(2 3，6，0)，D(0，2，0)，P(0，0，4)， 第5页 | 共8页   AP(0，0，4)，AC (2 3，6，0)，BD(2 3，2，0)，     BD AP0，BD AC 0．BD⊥AP，BD⊥AC，   又PA AC  A，BD⊥平面PAC ． z  P （Ⅱ）设平面PCD的法向量为n(x，y，1)，   则CD n0，PD n0，   A D y   E 又CD(2 3，4，0)，PD(0，2，4)， B C  4 3 x 2 3x4y 0， x ，  解得 3 2y40，  y 2，  4 3  n ，2，1   3      平面PAC 的法向量取为m  BD 2 3，2，0 ， m n 3 93  cos< m，n  ． m n 31 3 93 二面角APCD的大小为arccos ． 31 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ） f(x)的定义域为R，x2 axa0恒成立，a2 4a0， 0a4，即当0a4时 f(x)的定义域为R． x(xa2)ex （Ⅱ） f(x) ，令 f(x)≤0，得x(xa2)≤0． (x2 axa)2 由 f(x)0，得x0或x2a，又 0a4，  0a2时，由 f(x)0得0 x2a； 当a 2时， f(x)≥0；当2a4时，由 f(x)0得2a x0， 即当0a2时， f(x)的单调减区间为(0，2a)； 当2a4时， f(x)的单调减区间为(2a，0)． 第6页 | 共8页21．（本小题满分14分） c 6   ， 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意a 3  a  3， x2 b1，所求椭圆方程为  y2 1． 3 （Ⅱ）设A(x，y )，B(x，y )． 1 1 2 2 （1）当AB⊥x轴时， AB  3． （2）当AB与x轴不垂直时， 设直线AB的方程为y kxm． m 3 3 由已知  ，得m2  (k2 1)． 1k2 2 4 把y kxm代入椭圆方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx3m2 30， 6km 3(m2 1) x x  ，x x  ． 1 2 3k2 1 1 2 3k2 1  36k2m2 12(m2 1)  AB 2 (1k2)(x x )2 (1k2)    2 1 (3k2 1)2 3k2 1  12(k2 1)(3k2 1m2) 3(k2 1)(9k2 1)   (3k2 1)2 (3k2 1)2 12k2 12 12 3 3 (k 0)≤3 4． 9k4 6k2 1 1 236 9k2  6 k2 1 3 当且仅当9k2  ，即k  时等号成立．当k 0时， AB  3， k2 3 综上所述 AB 2． max 1 3 3 当 AB 最大时，△AOB面积取最大值S   AB   ． 2 max 2 2 22．（本小题满分12分） 1 解：（Ⅰ）当k 1，由a S  aa 及a 1，得a 2． 1 1 2 1 2 1 2 第7页 | 共8页1 1 当k≥2时，由a S S  a a  a a ，得a (a a )2a ． k k k1 2 k k1 2 k1 k k k1 k1 k 因为a 0，所以a a 2．从而a 1(m1) 22m1． k k1 k1 2m1  a 2(m1) 22m，mN*．故a k(kN*)． 2m  k b nk nk （Ⅱ）因为a k，所以 k1   ． k b a k1 k k1 b b b (nk1)(nk2) (n1) 所以b  k k1 2 b (1)k1  1 k b  b  b  1  k (k1) 21  k1 k2 1    1 (1)k1 Ck(k 1，2， ，n)．  n n  1 故b b b  b  C1 C2 C3  (1)n1Cn 1 2 3  n n  n n n  n 1  1  1C0 C1 C2  (1)n Cn  ． n  n n n   n n Ｂ卷选择题答案： 1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｂ 5．Ｂ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ 第8页 | 共8页