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2025-2026 学年第一学期月质量检测卷
高二数学
一．选择题（共 8 小题）
1．已知向量 ＝（﹣1，2，1）， ＝（3，x，1），且 ⊥ ，那么| |等于（ ）
A． B．2 C． D．5
2．已知向量 ＝（﹣1，2，1）， ＝（3，x，y），且 ∥ ，那么实数 x+y 等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
3．若{ ， ， }构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． + ， ， ﹣ B． ， + ， ﹣ C． + ， ﹣ ， D． + ， + + ，
4．如图，在正三棱锥 P﹣ABC 中，点 G 为△ABC 的重心，点 M 是线段 PG 上的
一点，且 PM＝3MG，记 ，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
5．已知 ， ， ，若 P，A，B，C 四点共面，则
＝（ ） λ
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
6．下列命题中正确的是（ ）
A．点 M（3，2，1）关于平面 yOz 对称的点的坐标是（﹣3，2，﹣1）
B．若直线 l 的方向向量为 ＝（1，﹣1，2），平面 的法向量为 ，则 l⊥
α α
C．若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 120°，则直线 l 与平面 所成的角为 30°
D．已知 O 为空间任意一点，A，α B，C，P 四点共面，且任意三点不共线，若α ，
则
7．已知两点 A（﹣3，2），B（2，1），过点 P（0，﹣1）的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l
的斜率的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C． D．
8．已知直线 l 的方程为 xsin + y﹣1＝0， R，则直线 l 的倾斜角范围是（ ）
A． α α∈B．
第 1页C． D．
二．多选题（共 3 小题）
（多选）9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 l：mx+y+2﹣m＝0 恒过定点（1，﹣2）
B．如果 AB＜0，BC＜0，那么直线 Ax+By+C＝0 不经过第四象限
C．已知直线 l 过点 P（2，3），且在 x，y 轴上截距相等，则直线 l 的方程为 x+y﹣5＝0
D．若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则
该直线 l 的斜率为
（多选）10．下列四个结论正确的是（ ）
A．任意向量 ， ，若 ，则 或 或
B．若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
C．空间中任意向量 都满足
D．若 ， ，则
（多选）11．如图，正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为 a，E 是棱 CD 上的
1 1 1 1
动点，且 ．则下列结论正确的是（ ）
A．EB ⊥AD
1 1
B．点 E 到直线 A B 的距离为
1 1
C．直线 AE 与 B D 所成角的范围为
1 1
D．二面角 E﹣A B ﹣A 的大小为
1 1
三．填空题（共 3 小题）
12． 已 知 空 间 向 量 ， 则 向 量 在 向 量 上 的 投 影 向 量 的
坐 标
是 ．
13．已知直线 l ：ax+2y+8＝0 与 l ：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0 平行，则实数 a 的值为 ．
1 2
14．已知 a＞0，b＞0，直线 l ：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l ：x+2by+1＝0，且 l ⊥l ，则 的最小值
1 2 1 2
为 ．
四．解答题（共 5 小题）
15．已知△ABC 的三个顶点分别为 A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求：
（1）AC 边上的中线所在直线的方程；
（3）AC 边上的高所在直线的方程．
第 2页16．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A B C D 中，E 为线段 DD 的
1 1 1 1 1
中点，F 为线段 BB 的中点．
1
（1）求点 A 到直线 B E 的距离；
1 1
（2）求点 A 到平面 AB E 的距离．
1 1
17．如图，在直三棱柱 ABC﹣A B C 中，∠ACB 为直角，侧面 ACC A 为正方形，AC＝BC＝2，D，E
1 1 1 1 1
分别为 AB，AC 的中点．
1
（1）求证：DE∥平面 BB C C；
1 1
（2）求直线 AC 与平面 B DE 所成角的正弦值．
1
第 3页18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 上，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面 PAD⊥平面
ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA＝PD＝2， ， ．
（1）求证：平面 MQB⊥平面 PAD；
（2）若二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 300，求 的值．
19．如下图，在△ABC 中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D 是 AC 中点，E、F 分别是 BA、BC 边上的动点，且
EF∥AC；将△BEF 沿 EF 折起，将点 B 折至点 P 的位置，得到四棱锥；
（1）求证：EF⊥PC；
（2）若 BE＝2AE，二面角 P﹣EF﹣C 是直二面角，求二面角 P﹣CE﹣F 的正切值；
（3）当 PD⊥AE 时，求直线 PE 与平面 ABC 所成角的正弦值的取值范围．
第 4页参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C A C C A B
二．多选题（共 3 小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AB ABD
一．选择题（共 8 小题）
1．已知向量 ＝（﹣1，2，1）， ＝（3，x，1），且 ⊥ ，那么| |等于（ ）
A． B．2 C． D．5
【解答】解：因为 ＝（﹣1，2，1）， ＝（3，x，1），且 ⊥ ，
所以﹣1×3+2x+1×1＝0，即 x＝1，所以 ＝（3，1，1），所以 ，
故选：C．
2．已知向量 ＝（﹣1，2，1）， ＝（3，x，y），且 ∥ ，那么实数 x+y 等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【解答】解：∵ ＝（﹣1，2，1）， ＝（3，x，y），且 ∥ ，∴ ，
解得 x＝﹣6，y＝﹣3，∴实数 x+y＝﹣6﹣3＝﹣9．故选：D．
3．若{ ， ， }构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． + ， ， ﹣ B． ， + ， ﹣ C． + ， ﹣ ， D． + ， + + ，
【解答】解：由共面向量的充要条件可得：
对于 A 选项， ＝ （ + ）+ （ ﹣ ），所以 + ， ， ﹣ 三个向量共面；
对于 B 选项，同理： ， + ， ﹣ 三个向量共面；
对于 D 选项， ＝ ，所以三个向量共面；故选：C．
第 5页4．如图，在正三棱锥 P﹣ABC 中，点 G 为△ABC 的重心，点 M 是线段 PG 上的一点，且 PM＝3MG，记
，则 ＝（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，连接 AG 并延长交 BC 于点 D，连接 PD．
因 G 为△ABC 的重心， ，
故 ＝ ，
又 PM＝3MG，
故 ＝ ．
故选：A．
5．已知 ， ， ，若 P，A，B，C 四点共面，则
λ
＝（ ）
A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【解答】解：因为 P，A，B，C 四点共面，所以 ， ， 共面，
不妨设 ，
第 6页所以 ，解得 ．故选：C．
6．下列命题中正确的是（ ）
A．点 M（3，2，1）关于平面 yOz 对称的点的坐标是（﹣3，2，﹣1）
B．若直线 l 的方向向量为 ＝（1，﹣1，2），平面 的法向量为 ，则 l⊥
α α
C．若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角为 120°，则直线 l 与平面 所成的角为 30°
D．已知 O 为空间任意一点，A，α B，C，P 四点共面，且任意三点不共线，若α ，
则
【解答】解：点 M（3，2，1）关于平面 yoz 对称的点的坐标为（﹣3，2，1），故 A 错误；
由 • ＝6﹣4﹣2＝0，可得 ⊥ ，即有 l∥ ，或 l ，故 B 错误；
若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角α为 120°⊂，α则直线 l 与平面 所成的角为 120°﹣90°＝30°，
故 C 正确； α α
O 为空间任意一点，A，B，C，P 四点共面，且任意三点不共线，若 ，
则 m﹣ +1＝1，解得 m＝ ，故 D 错误．
故选：C．
7．已知两点 A（﹣3，2），B（2，1），过点 P（0，﹣1）的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l
的斜率的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C． D．
【解答】解：如图所示，
直线 PB 逆时针旋转到 PA 的位置才能保证过点 P（0，﹣1）的直线与线段 AB 有交点，
从 PB 转到 PF 过程中，倾斜角变大到 ，斜率变大到正无穷，
此时斜率 ，所以此时 k [1，+∞）；
∈
第 7页从 PF 旋转到 PA 过程中，倾斜角从 开始变大，斜率从负无穷开始变大，
此时斜率 ，所以此时 k （﹣∞，﹣1]，
∈
综上可得直线 l 的斜率的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．
故选：A．
8．已知直线 l 的方程为 xsin + y﹣1＝0， R，则直线 l 的倾斜角范围是（ ）
A． α α∈B．
C． D．
【解答】解：由直线 l 的方程为 xsin + y﹣1＝0， R，化为 y＝﹣ xsin + ，
α α∈ α
由﹣1≤sin ≤1，设直线 l 的倾斜角为 ，则 tan ＝﹣ sin [﹣ ， ]，且 0≤ ＜ ，
α φ φ α∈ φ π
所以 0≤ ≤ 或 ≤ ＜ ；即直线 l 的倾斜角范围是[0， ]∪[ ， ）．
φ φ π π
故选：B．
二．多选题（共 3 小题）
（多选）9．下列说法正确的是（ ）
A．直线 l：mx+y+2﹣m＝0 恒过定点（1，﹣2）
B．如果 AB＜0，BC＜0，那么直线 Ax+By+C＝0 不经过第四象限
C．已知直线 l 过点 P（2，3），且在 x，y 轴上截距相等，则直线 l 的方程为 x+y﹣5＝0
D．若直线 l 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则
该直线 l 的斜率为
【解答】解：对于选项 A，由 l：m（x﹣1）+y+2＝0，可得 m（x﹣1）＝﹣y﹣2，
令 得， ，
所以直线恒过（1，﹣2），故 A 正确；
对于选项 B，由 AB＜0，BC＜0，则 ，
而直线可化为 ，所以直线不经过第四象限，故 B 正确；
对于选项 C，若直线过原点时，直线 l 为 ，即 l：3x﹣2y＝0，故 C 错误；
对于选项 D，令原直线为 ax+by+c＝0，根据平移有 a（x+3）+b（y﹣2）+c＝0，
所以 ax+by+3a﹣2b+c＝0 与 ax+by+c＝0 为同一直线，
第 8页所以 3a﹣2b+c＝c，即﹣ ＝﹣ ，故 D 正确．
故选：ABD．
（多选）10．下列四个结论正确的是（ ）
A．任意向量 ， ，若 ，则 或 或
B．若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面
C．空间中任意向量 都满足
D．若 ， ，则
【解答】解：对 A：因为 ，因为 ，
则 或 或 ，
即 或 或 ，故 A 正确；
对 B：若对空间中任意一点 O，有 ，则 P，A，B，C 四点共面 ， 故 B 正
确；
对 C：因为两个向量的数量积是实数， • ， • 为实数，
故 是与 共线的向量， 是与 共线的向量，
与 不一定共线，
所以 不一定成立，故 C 错误；
对 D：当 ≠ 时，对任意向量 ， ， 都成立，当 ＝0 时， ∥ 不一定成立，故 D 错
误．
故选：AB．
（ 多 选 ） 11． 如 图 ， 正 方 体 ABCD﹣ A B C D 的 棱 长 为 a， E 是 棱 CD 上 的 动 点 ，
1 1 1 1
且
．则下列结论正确的是（ ）
第 9页A．EB ⊥AD
1 1
B．点 E 到直线 A B 的距离为
1 1
C．直线 AE 与 B D 所成角的范围为
1 1
D．二面角 E﹣A B ﹣A 的大小为
1 1
【解答】解：如图建立空间直角坐标系，
则 A（a，0，0），E（0，m，0），0≤m≤a，B （a，a，a），D （0，0，a），A （a，0，a），
1 1 1
对于 A： ，
因为 ，所以 ，即 EB ⊥AD ，故 A 正确；
1 1
对于 B：由正方体的结构特征知，CD∥A B 且四边形 CDA B 为矩形，
1 1 1 1
所以 E 到 A B 的距离为 ，故 B 正确．
1 1
对于 C： ，设直线 AE 与 B D 所成角为 ，
1 1
θ
则 ，
显然在 m [0，a]中，cos 随 m 的变大而变小，
当 m＝a 时∈，cos 最小等θ于 0，此时 最大为 ；
θ θ
当 m＝0 时，cos 最大等于 ，此时 最小为 ，
θ θ
所以 ，即直线 AE 与 B D 所成角的范围为 ，故 C 不正确；
1 1
第 10页对于 D：二面角 E﹣A B ﹣A，即二面角 D﹣A B ﹣A，
1 1 1 1
AA ⊥A B ，DA ⊥A B ，DA 平面 EA B ，AA 平面 AA B ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以∠DA
1
A 即为二面角 E﹣⊂A
1
B
1
﹣A 的平面角，⊂
在正方形 ADD A 中 ，则二面角 E﹣A B ﹣A 的大小为 ，故 D 正确．
1 1 1 1
故选：ABD．
三．填空题（共 3 小题）
12．已知空间向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是
．
【解答】解： ， ，
∴向量 在向量 上的投影向量的坐标是： ．
故答案为： ．
13．已知直线 l ：ax+2y+8＝0 与 l ：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0 平行，则实数 a 的值为 ﹣1 或 2 ．
1 2
【解答】解：直线 l ：ax+2y+8＝0 与 l ：x+（a﹣1）y+a2﹣1＝0 平行，
1 2
故 a（a﹣1）﹣2＝0，整理得 a2﹣a﹣2＝0，解得 a＝﹣1 或 2；
当 a＝2 或﹣1 时，两直线都不重合，故 a＝﹣1 或 2．
故答案为：﹣1 或 2．
14．已知 a＞0，b＞0，直线 l ：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l ：x+2by+1＝0，且 l ⊥l ，则 的最小值为
1 2 1 2
8 ．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，直线 l ：（a﹣1）x+y﹣1＝0，l ：x+2by+1＝0，且 l ⊥l ，
1 2 1 2
∴（a﹣1）×1+1×2b＝0，即 a+2b＝1．
则 ＝ + ＝2+ + +2≥4+2 ＝4+4＝8，当且仅当 a＝2b 时，等号成立，
故 的最小值为 8，故答案为：8．
四．解答题（共 5 小题）
15．已知△ABC 的三个顶点分别为 A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0），求：
（1）AC 边上的中线所在直线的方程；
（2）AC 边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）解法 1：设 AC 的中点为 D（x，y），由中点坐标公式可得 D（﹣4，2），
第 11页由两点式得 BD 所在直线方程为 ，即 2x﹣y+10＝0．
解法 2：设 AC 的中点为 D（x，y），由中点坐标公式可得 D（﹣4，2），则 ，
所以 BD 所在直线方程为 y﹣6＝2（x+2），即 2x﹣y+10＝0；
（2）因为 ，B（﹣2，6），
所以 AC 边上的高所在直线方程为 y﹣6＝﹣2（x+2），即 2x+y﹣2＝0．
16．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A B C D 中，E 为线段 DD 的中点，F 为线段 BB 的中点．
1 1 1 1 1 1
（1）求点 A 到直线 B E 的距离；
1 1
（2）求点 A 到平面 AB E 的距离．
1 1
【解答】（1）以 D 为原点，以 DA，DC，DD 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标
1
系，
所以
所以 ＝（0，1，0）， ，
＝ ，所以 ，
所以点 A 到直线 B E 的距离为 ，
1 1
第 12页（2）设平面 AB E 的一个法向量为 ，
1
，
由 ，令 z＝2，得 ，设点 A 到平面 AB E 的距离为 d，
1 1
则 ，即点 A 到平面 AB E 的距离为 ．
1 1
17．如图，在直三棱柱 ABC﹣A B C 中，∠ACB 为直角，侧面 ACC A 为正方形，AC＝BC＝2，D，E
1 1 1 1 1
分别为 AB，AC 的中点．
1
（1）求证：DE∥平面 BB C C；
1 1
（2）求直线 AC 与平面 B DE 所成角的正弦值．
1
【解答】解：（1）证明：连接 BC ，
1
在△ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE∥BC ，
1 1 1
又 DE 平面 BB C C，BC 平面 BB C C，所以 DE∥平面 BB C C．
1 1 1 1 1 1 1
（2）建⊄立空间直角坐标系 ⊂C﹣ABC
1
，
则 C（0，0，0），A（2，0，0），B （0，2，2），D（1，1，0）．E（1，0，1），
1
第 13页因此 ， ．
设平面 B DE 的法向量为 ，则 ， ，
1
所以 ，即
令 z＝1，则 x＝3，y＝1，所以 ，
设直线 AC 与平面 B DE 所成角为 ．
1
θ
所以 ．
18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 上，底面 ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面 PAD⊥平面
ABCD，Q 为 AD 的中点，M 是棱 PC 上的点，PA＝PD＝2， ， ．
（1）求证：平面 MQB⊥平面 PAD；
（2）若二面角 M﹣BQ﹣C 大小为 300，求 的值．
【解答】解：（1）证明：∵AD∥BC， ，Q 为 AD 的中点，
∴四边形 BCDQ 为平行四边形，∴CD∥BQ，
又∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，即 QB⊥AD．
又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，BQ 平面 ABCD，
∴BQ⊥平面 PAD，∵BQ 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD． ⊂
（2）∵PA＝PD，Q 为 A⊂D 的中点，∴PQ⊥AD，
∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，PQ 平面 PAD，∴PQ⊥平面 ABCD．
如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系， ⊂
第 14页易知平面 BQC 的法向量为 ，
又 ， ，
∴设 ， [0， 1]，
λ∈
，
又 ，设平面 MBQ 的法向量为 ，取 ，
∵二面角 M﹣BQ﹣C 为 30°，
∴ ，解得 ，即 ，∴ ．
19．如下图，在△ABC 中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，D 是 AC 中点，E、F 分别是 BA、BC 边上的动点，且
EF∥AC；将△BEF 沿 EF 折起，将点 B 折至点 P 的位置，得到四棱锥；
（1）求证：EF⊥PC；
（2）若 BE＝2AE，二面角 P﹣EF﹣C 是直二面角，求二面角 P﹣CE﹣F 的正切值；
（3）当 PD⊥AE 时，求直线 PE 与平面 ABC 所成角的正弦值的取值范围．
【解答】解：（1）因为 AC⊥BC，AC∥EF，
所以 EF⊥BC，即 EF⊥FC，EF⊥PF，PF∩FC＝F，PF，FC 平面 PFC，
EF⊥平面 PFC，PC 平面 PFC，所以 EF⊥PC． ⊂
（2）因为二面角 P﹣⊂EF﹣C 是直二面角，
所以平面 PEF⊥平面 EFC，平面 PEF∩平面 EFC＝EF，PF⊥EF，PF 平面 PEF，PF⊥平面 EFC，
⊂
第 15页以 FE，FC，FP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设平面 CEF 法向量为 ，
，
设平面 PCE 法向量为 ，则 ，即 ，
令 z＝1，得 y＝2，x＝1，所以 ，
设二面角 P﹣CE﹣F 为 ， ，
θ
， ；
（3）分别以 ， 方向分别为 x，y 轴的正方向，过 F 作 BC 的垂线为 z 轴，
设 P（0，m，n），F（0，t，0），D（﹣1，0，0），A（﹣2，0，0），E（t﹣2，t，0），显然 n＞0，
， ， ，得出 m＝﹣1，
则 P（0，﹣1，n）， ，根据翻折后勾股定理得 n2+（t+1）2＝（2﹣t）2，
化简得 n2＝3﹣6t，因为构成直角三角形，则 2﹣t＞t+1，且 t＞0，解得 ，
设平面 ABC 的法向量为 ，设直线 PE 与平面所成角为 ，
β
第 16页＝ ，
则 ＝ ，
令 ，令 1﹣2t＝a，则 ，且 a （0，1），
∈
，
根据对勾函数 在（0，1）上单调递减，且恒大于 0，
则函数 在（0，1）单调递增，则 ，即 ，
则 ，即正弦值的取值范围是 ．
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