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交大附中高二摸底考数学试卷
2024.09
一､填空题
1. 已知 ，则 __________.
【答案】1
【解析】
【分析】由条件结合指数式与对数式关系求 ，根据换底公式及对数运算法则求结论.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
2. 设复数 满足 ，则 的虚部是_________．
【答案】3；
【解析】
【分析】
把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得出答案.
【详解】由 ,得 , 所以复数z的虚部是3.
故答案为:3.
【点睛】本题考查复数的乘除运算和复数相关的概念，注意复数的虚部是虚数单位的系数，属于基础题.
3. 已知向量 ，若 ，则实数 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】由向量的模与数量积的坐标运算可得关于 的方程，求解可得 .
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 ，得 ，
故 ，且 .
由 ，可得 ，解得 .
当 时，验证知 满足题意.
故答案为：3.
4. 焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 的椭圆的标准方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意确定 可得 ，进而求得标准方程.
【详解】由焦点在 轴上，设椭圆的标准方程为 ，
由焦距为 可得 ，解得 ；
又椭圆点 ，故 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
故答案为： .
5. 幂函数y=f (x)的图像经过点 ，则 的值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据 过点 求出 的解析式，从而得到 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设幂函数 ，将 代入 ，可得： ，
所以 ，所以 .
故答案为：2.
6. 已知 为任意实数，直线 的倾斜角的范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦函数性质求出斜率范围，然后利用正切函数性质求解可得.
【详解】记直线 的倾斜角为 ，则 ，
因 为，所以 ，则 ，
所以 .
故答案为：
7. 不等式 的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】分 和 ，进行分类讨论求不等式解集.
【详解】当 ，即 时，则原不等式转化为 ，
即 ，解得 ，故 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时，则原不等式转化为 ，
即 ，解得 ，故 ，
综上知不等式 的解集为 ，
故答案为： .
8. 已知 ，若 对一切 成立，则 __________.
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】依题意 为函数最小值点，利用导数求解即可.
【详解】由 ，有 ， 在R上单调递增，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
若 对一切 成立，则 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
9. 函数 的对称中心是 ，则 ______.
【答案】0
【解析】
【分析】利用反比例函数的对称中心求解即可.
【详解】 ，故 ，
函数 的对称中心是 ，则
故 则 .
故答案为：0
10. 给出下列命题：
①“ ”是“ ”的充分非必要条件；
②“函数 的最小正周期为 ”是“ ”的充要条件；
③“平面向量 与 的夹角是锐角”的充要条件是“ ”.
其中正确命题的序号是__________（把所有正确命题的序号都写上）
【答案】①
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合二倍角的余弦公式、向量夹角判断各个命
题即得.
【详解】对于①，由 ，得 或 ，因此“ ”是“ ”的充分非必要
条件，①正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于②，函数 ，由其最小正周期为 ，得 ，解得 ，
因此“函数 的最小正周期为 ”是“ ”的必要不充分条件，②错误；
对于③，由平面向量 与 的夹角是锐角，得 ，即 且向量 与 不共线，
因此“平面向量 与 的夹角是锐角” 是“ ”的充分不必要条件，③错误，
所以正确命题的序号是①.
故答案为：①
11. 在正方形 所在平面上有点 ，使得 都是等腰三角形.那么具有这样
性质的点 共有__________个
【答案】9
【解析】
【分析】以正方形的四点顶点为圆心，边长为半径画圆，然后观察求解即可.
【详解】易知两个对角线的交点是一个满足条件的 ；
以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径画圆，
如图所示，
此时四个圆一共有8个交点，易知这8个交点均使 为等腰三角形.
故具有这样性质的点 共有 个.
故答案为：9.
12. 已知 ，若数列 为严格增数列，则实数 的取值范围是__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】对 的值分段讨论，根据严格增数列的概念，求 的取值范围.
【详解】若 ，则 ，所以 ，由指数函数的性质可知，数列 为严格增数列；
若 ，则 ，所以 ，为常数数列；
若 ，则 ，所以 ，由指数函数的性质可知，数列 为严格增数列；
若 ，则 ，所以 ，此时 ，
所以数列 一定不是严格增数列；
若 ，则 ， ，所以 .
由 ，该式在 时恒成立；
由 .
当 时， ，又 ，所以 ，
此时： ，因为 ， ，所以 ，
即 在 时成立.
综上可知， 的取值范围为： .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：当 时，解不等式 ，可先令 ，求出 的取值范围，在
验证所得结果对 取其余非零自然数时仍成立，即可.
二､选择题
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学科网（北京）股份有限公司13. 若 ，且 则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A选项，例如 ， ，故A错；
对于B选项，若 ，则 ，故B错；
对于C选项，若 ，则 ，故C错；
对于D选项，因为 ， ，所以 ， ，因此 ，即D正确.
.
故选：D
14. 在ΔABC中,若 ,且 ,则ΔABC是
A. 等边三角形 B. 等腰三角形,但不是等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形,但不是等腰三角形
【答案】A
【解析】
【详解】 则
即 为等边三角形，故选A
15. 若复数 满足 ，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的模长和两点之间的距离公式把已知等式转化为点 的轨迹方程，再结合椭圆的性质
求出即可；
【详解】设 ，
因为 ，
则 ，
即点 到 和 的距离之和为4，且大于2，
所以点 在以 和 为焦点的椭圆上，且 ，
椭圆方程为 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
16. 已知 ，对关于 的方程 的实数解情况进行讨论，下面的结论中错误的是（
）
A. 至多有三个实根
B. 至少有一个实根
C. 当且仅当 时有实根
D. 存在 ，使原方程有三个实根
【答案】C
【解析】
【分析】讨论 的正负化简方程，当 时，研究方程 的负根，当 时，研究方程
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学科网（北京）股份有限公司的正根，由此可判断AB，取特殊值判断CD.
【详解】对于方程 ，
当 时，原方程可化为 ，
当 时，原方程可化为 ，
若 ，则 ，方程 的判别式 ，
所以方程 有两个不等实根，设其根为 ， ，
则 ，故 ，因为 ，所以 为增根，舍去，
此时，方程 至多有 个根，至少有 个实根，
若 ，方程 的判别式 ，
所以方程 有两个不等实根，设其根为 ， ，
则 ，故 ，因为 ，所以 为增根，舍去，
此时，方程 至多有 个根，至少有 个实根，
若 ， ，方程 的根为 ，
若 ， ，方程 的根为 ， ， ，
所以方程 至多有 个根，至少有 个实根，A正确，B正确；
取 ，方程 可化为 ，
当 时， 可化为 ，
所以 ，即 为方程 的根，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司取 ， ，则方程 可化为 ，
当 时，可得 ，所以 或 ，
当 时，可得 ，所以 ，
故存在 ，使原方程有三个实根.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于讨论 的正负，结合判别式，根与系数关系确定对应方程的根
的个数.
三､解答题
17. 已知 且 .
（1）求 的值；
（2）求 的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将 化为 求解；
（2）将 化为 求解.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ，所以 .
18. 已知 ，集合 ，
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1） 或
（2） ，或 ，或 ，或
【解析】
【分析】（1）先求出集合 ，然后由 得 ，再根据集合的包含关系求解；
（2）由 得 ，再根据集合的包含关系求解．
【小问1详解】
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .于是 或 .
① ，则 ；② ，则 所以 或 .
.
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，对于 ：
① 时， ；
② 或 .
当 时， ，
当 时， .
③ ，则集合 有两个元素 ，
所以 ，同（1）的②.
所以 ，或 ，或 ，或 .
19. 如图，在平面直角坐标系中，方程为 的圆 的内接四边形 的对角线
和 互相垂直，且 分别在 轴负半轴和正半轴上， 分别在 轴负半轴和正半轴上.
（1）试用平面解析几何的方法证明： ；
（2）设四边形 的一条边 的中点为 ，试用平面解析几何的方法证明： .
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）设出点 的坐标，借助韦达定理计算推理即得.
（2）由（1）中信息，利用斜率坐标公式及垂直关系的判定推理即得.
【小问1详解】
圆 ： ，则 ，
设 ，则 ，且 为方程 的两根，
于是 ，即有 ，
设 ，则 ，且 为方程 的两根，
于是 ，即有 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）知， ，则直线 的斜率 ，而直线 的斜率
又 ，则 ，因此 ，
所以 .
20. 已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，且 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
（3）记 ，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出所有符合条件的正整数
；若不存在，请说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ， 或
（2） 时， ； 时，
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由已知条件结合等差等比数列的性质，求出首项和公差公比，可得数列通项；
（2）利用错位相减法求和；
（3）利用放缩求 的取值范围，判断结论是否成立.
【小问1详解】
设等差数列{a }的公差为 ，等比数列{b }的公比为 ，
n n
由 ，得 ，则 ，
由 ，得 ，解得 ，则 ，
所以 或 ，
综上，数列{a }的通项公式为 ，数列{b }的通项公式为 或 .
n n
【小问2详解】
时， ，
所以 ，
于是 ，
两式相减得：
，
因此 ；
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学科网（北京）股份有限公司时， ，
所以 ，
于是 ，
两式相减得：
，
因此 .
【小问3详解】
时， ，所以 无意义，固只能 ，
，
所以 ，而 ，所以 ，
所以对于任意的正整数 ，有 ，所以 ，
因此不存在正整数 ，使得 .
21. 对定义在区间 上的函数 ，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意的 都
有 ，则称函数为区间 上的“ 函数”.
（1）判断：函数 与 是否是 上 的“ 函数”，其中 ， ；
（2）对于（1）中的函数 ，若不等式 对一切的 恒成立，求实数 的取
值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（3）若函数 是区间 上的“ 函数”，求实数 和 的值.
【答案】（1）不是 （2）
（3） 或
【解析】
【分析】（1）利用定义及绝对值函数，二次函数的性质判定即可；
（2）先求 的最小值，结合绝对值的几何意义解不等式即可；
（3）由二次根式的意义先得 ，由“ 函数”的定义平方变形结合待定系数法分类讨论即可.
【小问1详解】
易知x∈[0,2]时， ，则y=g(x)是R上的“ 函数”，
由二次函数的单调性知： 不是R上的“ 函数”；
【小问2详解】
因为不等式 对一切的x∈R恒成立，
所以 ，
{2x−2,x>2
可知g(x)=|x|+|x−2|= 2,0≤x≤2 ，显然 ，
2−2x,x<0
所以 ，解得 ，
实数 的取值范围是 .
【小问3详解】
由解析式易知： 恒成立，且 恒成立，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司而由“ 函数”定义知，存在闭区间 和常数 ，
使得对任意的 ，都有 ，
所以 ，得 ，
所以 ，
因此 ，显然有 ，
若 ，则 ，不符合题意，舍去；
若 ，则 或 ；
此时函数为 是R上的“ 函数”，
所以 或 .
【附加题】
22. 已知实数 且 ，数列 满足： ， ，
试判断数列 的单调性.
【答案】严格增数列
【解析】
【分析】先将条件等式化简为 ，再计算 ，构造新数列 ，
取倒数得出其通项公式，从而得出 ，再作差分解因式化简计算判定符号即可.
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，则 .
于是有 .
则
，显然 式为正实数，
则在 时， ，故 ，数列{a }是严格增数列.
n
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学科网（北京）股份有限公司第20页/共20页
学科网（北京）股份有限公司
