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2024级高二第五次定时训练数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A B A A C
题号 9 10 11
答案 AC BC ACD
1．因为点 关于 轴的对称点为 ，所以 ，故C正确.故选：C
2．由 ， ，可得：
，故选：D.
3．抛物线 中， ，点 到准线的距离 ，故点 到点 的距离
与 到该抛物线准线的距离之和为 ，当且
仅当A，P，F三点共线时等号成立.所以距离之和的小值为 .故选：B.
4．由题意， .故选：A.
5．∵ 与 的夹角为钝角，
∴cos＜ ＞＜0,且 与 不共线
∴ ＜0,且（3，﹣2，﹣3）≠ （﹣2，x﹣1，2）
λ
∴﹣6﹣2（x﹣1）﹣6＜0且 ,
即x>-5且x ∴x的取值范围是 ．故选B．
6．解法一：如图所示，把 放在正方体中， 的夹角均为 .建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则 ，所以 ，
设平面 的法向量 ，则
令 ，则 ，所以 ，所以 .
设直线 与平面 所成角为 ，所以 ，故选:A
解法二：可以考虑解法一中的正四面体P-ABC，正四面体的高除以棱长即为答案.
7．以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮
船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，
则 ， （ ），暗礁分布的圆形区域的边界 的方程为 ，
所以轮船沿直线返港时直线 的方程为 ，即 ，
又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险，所以直线 与 相离，
即圆心O到直线 的距离 （ ），解得 .故选：A.
8由题意得， ， ，
所以 ，
又因为双曲线的渐近线的斜率小于 ，得 ，所以 ，即 ，得 ，
故C正确.故选：C.
9．对于AC，由 ，可得M，A，B，C四点共面，即
共面，所以选项A中， 不共面，可以构成基底，选项C中，
不共面，可以构成基底；
对于BD，根据平面向量基本定理，B中，因为 ，得 共面，无法
构成基底，故B错误；选项D中，因为 ，得 共面，无法构成基
底，故D错误.故选:AC.
10．圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 .
对于A选项，圆心C到直线l的距离为 ，所以，直线l与圆C
相离，A错；
对于B选项， 的最小值为 ，B对；
对于C选项，如下图所示：
从Q点向圆C引切线，设切点分别为M、N，连接CM，则 ，则
，当 时， 取得最小值，此时 取得最小值，即 ，C对；
对于D选项，由 得 ，即 ，所以，曲线
表示圆 的上半圆，而直线 表示过点 且
斜率为k的直线，如下图所示：
当直线 与圆 相切，且切点在第二象限时，则 ，
解得 ，
当直线 过点 时，则 ，解得 .
由图可知，当 与曲线 有两个不同的交点时，k的取值范围是
，D错故选：BC.
11．以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ，所以 ，设 ， ，
则 .
对于A，由 ，
则 ，
所以 ，即 ，故A正确；
对于B，由于 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，即 ，
则 ，
要使 平面 ，则 ，
又 ， ，所以 ，即 ，
则 （舍），即 ，
因此 平面 可能成立，故B错误；
对于C，当 时， ，
由B知，平面 的一个法向量为 ，也可为 ，
而 ，所以点 到平面 的距离为 ，故C正确；
对于D，由 ，
由二次函数性质得，
当 时， 取得最大值，
此时 为 的中点，
则平面 的一个法向量为 ，也可为 ，
易得平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以 ，则 ，故D正确.故选：ACD.
12．令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x
轴上，其半焦距 ，由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则
，所以双曲线 的方程为 .故答案为：
13．设 ，因为 ， ， 三点，
所以
，，
因为点P在圆 上运动，
则 ，解得 ，
所以 ，
当 时， 取的最大值88，
当 时， 取的最小值72.
所以 取的最大值与最小值之和为 .故答案为：160
14．如图，以 点为坐标原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空
间直角坐标系，则 ， ，
．
设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则
，
点 到平面 的距离 ．
又 ，且 平面 平面 ， 平面 ，
故直线 到平面 的距离即点 到平面 的距离.故答案为： ．15．（1）由 ，得
，……………………（2分）
所以 ，即 ，……………………（4分）
又 ，
所以向量 为一组邻边的平行四边形的面积为
.……………………（6分）
（2）设 ，则
因为 且 ，
所以 ，即 ……………………（7分）
，即 ……………………（8分）
……………………（9分）
联立 ，解得
解得 或 ．
所以 或 .……………………（13分）
16．（1）由 解得
∴直线l 与l 的交点为（﹣2，﹣2），……………………（2分）
1 2
据题意反射光线应过（﹣2，﹣2）关于x轴的对称点（﹣2，2）和点P，则 ，……………………（5分）
所以反射光线所在直线方程为：2x+5y﹣6＝0．……………………（7分）
（2）设直线为l与l 的交点A（x，y），与l 交点B（x，y），
1 1 1 2 2 2
则有 ，……………………（9分）
于是有 ，即B（6﹣x，﹣y），……………………（10分）
1 1
分别代入直线方程，
所以
解得 ，……………………（13分）
．……………………（14分）
所以直线l的方程为：22x+y﹣66＝0．……………………（15分）
17．（1）设椭圆的焦距为 ，
由题意可得 ，……………………（2分）
解得 ，……………………（5分）
所以椭圆的标准方程为 .……………………（6分）
（2）设平行于直线 的直线 的方程为： ，由 消去 ，得 ，……………………（9分）
由
解得： 或 . ……………………（12分）
所以当 时，直线 ： 与椭圆的交点到直线 的距离最远，
直线 与直线 间的距离为 ，
所以在椭圆 上存在点到直线 的距离最大，最大距离为 .……………（15分）
18．（1）证明：因为四边形 为正方形，
所以 ，…………………（1分）
又因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，
所以 平面 ，……………………（3分）
又 平面 ，
所以 .……………………（4分）
（2）
因为四边形 为正方形，所以 ，由（1）知 ， ，
所以以点B为坐标原点，分别以 为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则 ， ， , , , ,……………………（6分）因为正方形 ， 的边长都是2，所以 ，
又 ，
所以 ， ，
所以
……………………（10分）
所以当 时， ……………………（11分）
（3）因为 取最小时， ，所以 ， ，
所以 ， ， ,
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，取 ，所以 ，
所以平面 的法向量为 ，……………………（13分）
设平面 的法向量为 ，
所以 ，即 ，取 ，所以 ，
所以平面 的法向量为 ，……………………（15分）
设平面 与平面 夹角为 ，
所以 .即平面 与平面 夹角的余弦值为 .……………………（17分）
19．（1）在平面 内过点 作 垂直于 的延长线于点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，故 为直线 与平面 所成角．………………（2分）
因为 ， ，则 ， ，
所以 与 全等， ，
故在直角三角形 中， ，
所以直线 与平面 所成角大小为 ．……………………（4分）
（2）由（1）可知 平面 ，以点 为原点，
， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ， ， ， ， ，……………………（5分）
显然 为平面 的一个法向量，……………………（6分）
设平面 的法向量 ，
因为 ， ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ， ．……………………（8分）
所以 ，……………………（9分）设二面角 为 ，
则 ．
二面角 的正弦值为 ． ……………………（11分）
（3）方法一：设 ， 分别是 和 的外接圆圆心．
过 作面 的垂线，过 作面 的垂线，两条垂线的交点 即为外接球球心．
设 外接圆的半径为 ，则 ，得 ，…………………（13分）
同理 外接圆的半径 ．过 作 于 ，
则 为 的中点， ，
则球的半径 ，……………………（16分）
所以三棱锥 外接球表面积 ．……………………（17分）
方法二：由（1）可知 平面 ，以点 为原点，
， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ， ， ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，设 ，外接球半径为 ，则 可得 ，
解得 ，……………………（15分）
，
所以外接球表面积 ……………………（17分）
