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大联考湖南师大附中 2025 届高三月考试卷（一）
数学
命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1. 已知 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合 ，再求交集．
【详解】集合 ，
则 ，
故选：D．
2. 若复数 满足 （ 是虚数单位），则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的除法运算计算可得 ，再由模长公式即可得出结果.
【详解】依题意 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：C
3. 已知平面向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.
【详解】 ，
所以向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A
4. 记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A. 21 B. 19 C. 12 D. 42
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.
【详解】 是等差数列， ，即 ，所以
故公差 ， ，
故选：A
5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，
全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数 平均分/满分）为0.49，
标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若 ，记
，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司A. 136人 B. 272人 C. 328人 D. 820人
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩 ，再根据所给条件求出
，即可求出 ，即可估计人数．
【详解】由题得 ，
，
，
，
该校及格人数为 （人），
故选：B．
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即
可．
【详解】由已知可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得
，
，
，
，
故选：D．
7. 已知 是双曲线 的左､右焦点，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条
渐近线交于 两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长 ，再根据不等式 整理可得
，即可求得双曲线的离心率的取值范围.
【详解】设以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线 交于 两点，
则 到渐近线 的距离 ，所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以双曲线的离心率的取值范围是 .
故选：B
8. 已知函数 若关于 的方程 有且仅有两个实数根，则实数 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用换元法设 ，则方程等价为 ，根据指数函数和对数函数图象和性质求出
，利用数形结合进行求解即可．
【详解】令 ，则 ．
①当 时，若 ；若 ，由 ，得 ．
所以由 可得 或 ．
如图所示，满足 的 有无数个，方程 只有一个解，不满足题意；
②当 时，若 ，则 ；若 ，由 ，得 ．
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学科网（北京）股份有限公司所以由 可得 ，当 时，由 ，可得 ，
因为关于 的方程 有且仅有两个实数根，则方程 在 ]上有且仅有一个实数根，
若 且 ，故 ；
若 且 ，不满足题意．
综上所述，实数 的取值范围是 ，
故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 如图，在正方体 中， 分别为棱 的中点，点
是面 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面 B. 平面 被正方体截得的截面是等腰梯形
C. 平面 D. 平面 平面
【答案】BD
【解析】
【分析】可得过 三点的平面为一个正六边形，判断A；分别连接 和 ，截面 是
等腰梯形，判断B；分别取 的中点 ，易证 显然不平行平面 ，可判断C；
平面 ，可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A：如图经过 三点的平面为一个正六边形 ，点 在平面外，
四点不共面， 选项A错误；
对于B：分别连接 和 ，则平面 即平面 ，截面 是等腰梯形， 选项B正确；
对于C：分别取 的中点 ，则平面 即为平面 ，
由正六边形 ，可知 ，所以 不平行于 ，
又 平面 ，所以 ，所以 平面 ，
所以 不平行于平面 ，故选项 错误；
对于D：因为 是等腰三角形， ，
， ，
是 的中点，易证 ，由正方体可得 平面 ，
平面 ，又 平面 ， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 故选项D正确．
故选：BD．
10. 已知函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移 个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间 上单调递增
D. 若 在区间 上与 有且只有6个交点，则
【答案】BD
【解析】
【分析】代入即可验证A，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解 B，利用整体法即可
判断C，由 求解所以根，即可求解D.
【详解】对于A，由 ，故A错误；
对于B， 的图象向右平移 个单位长度后得：
，为奇函数，故B正确；
对于C，当 时，则 ，由余弦函数单调性知， 在区间 上
单调递减，故C错误；
对于D，由 ，得 ，解得 或 ，
在区间 上与 有且只有6个交点，
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学科网（北京）股份有限公司其横坐标从小到大依次为： ，
而第7个交点的横坐标为 ，
，故D正确.
故选：BD
11. 已知定义在 上的偶函数 和奇函数 满足 ，则（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 是以8为周期的周期函数
C.
D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得 ，即可判断A正确；
利用对称中心表达式进行化简计算可得B正确，可判断 也是以8为周期的周期函数，即C正确；根
据周期性以及 计算可得 ，可得D错误.
【详解】由题意 ，且 ，
即 ①，
用 替换 中的 ，得 ②，
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学科网（北京）股份有限公司由①+②得 ，
所以 的图象关于点(2,1)对称，且 ，故A正确；
由 ，可得 ，
所以 ，
所以 是以8为周期的周期函数，故B正确；
由①知 ，则 ，
故 ，因此 也是以8为周期的周期函数，
所以 ，C正确；
又因为 ，所以 ，
令 ，则有 ，
令 ，则有 …，
令 ，则有 ，
所以
所以 ，故D错误.
故选：ABC
【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推
得第三个性质特征，再进行相关计算.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中 的系数为______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据题意，由条件可得展开式中 的系数为 ，化简即可得到结果．
【详解】在 的展开式中，
由 ，
得 的系数为 .
故答案为： ．
13. 已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数奇偶性并求导可得 ，因此可得 ，可构造函数
并求得其单调性即可得 在 上大于零，在 上小于零，即可得出结论.
【详解】因为 为奇函数，定义域为 ，
所以 ，两边同时求导可得 ，即 且 ，
又因为当 时， ，所以 .
构造函数 ，则 ，
所以当 时， 在 上单调递增，
又因为 ，所以 在 上大于零，在 上小于零，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 在 上大于零，在 上小于零，
因为 为奇函数，所以 在 上小于零，在 上大于零，
综上所述， 的解集为 .
故答案为：
14. 已知点 为扇形 的弧 上任意一点，且 ，若 ，则
的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示 ，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即
可.
【详解】方法一：设圆 的半径为1，由已知可设 为 轴的正半轴， 为坐标原点，过O点作x轴垂
线为y轴建立直角坐标系，
其中 ，其中 ，
由 ，
即 ，整理得 ，
解得 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
方法二：设 ，如图，当 位于点 或点 时， 三点共线，所以 ；
当点 运动到 的中点时， ，所以
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求角 ；
（2）若角 的平分线 交 于点 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到 ，再利用三角形的内角及
正弦函数的性质即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）利用正弦定理得出 ，再由余弦定理求出 ， ，再根据三角形的面积建立等式求解．
【小问1详解】
由 ，
根据正弦定理可得 ，
则 ，
所以 ，整理得 ，
因为 均为三角形内角，所以 ，
因此 ，所以 ．
【小问2详解】
因为 是角 的平分线， ，
所以在 和 中，由正弦定理可得， ，
因此 ，即 ，所以 ，
又由余弦定理可得 ，即 ，
解得 ，所以 ．
又 ，即 ，
即 ，所以 ．
16. 已知 为函数 的极值点．
（1）求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 ，若对 ，使得 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据极值点求出 的值；
（2）先由（1）求出 的最小值，由题意可得是求 的最小值，小于等于 的最小值，对
求导，判断由最小值时的 的范围，再求出最小值与 最小值的关系式，进而求出 的范围．
【小问1详解】
，
由 ，得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 为函数 的极小值点，
所以 ．
【小问2详解】
由（1）知 ．
函数 的导函数
①若 ，对 ，使得 ，
即 ，符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司②若 ，取 ，对 ，有 ，不符合题意．
③若 ，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在(1,+∞)上单调递增，所以 ，
若对 ，使得 ，只需 ，
即 ，解得 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
17. 已知四棱锥 中，平面 底面
为 的中点， 为棱 上异于 的点．
（1）证明： ；
（2）试确定点 的位置，使 与平面 所成角的余弦值为 ．
【答案】（1）证明见解析
（2） 位于棱 靠近 的三等分点
【解析】
【分析】（1）连接 交 于点 ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；
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学科网（北京）股份有限公司（2）取 的中点 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立，利用线面角公
式代入即可求解．
【
小问1详解】
如图，连接 交 于点 ．
因为 为 的中点， ，所以 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
如图，取 的中点 ，以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
则 ，
设 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
则 ，
设平面 的法向量为 ，则
即 取 ，
设 与平面 所成的角为 ，
由 ，得 ．
所以 ，
整理得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故当 位于棱 靠近 的三等分点时， 与平面 所成角的余弦值为 ．
18. 在平面直角坐标系 中，抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长，点 在抛物线 上，圆 （其中 ）.
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 为圆 上的动点，求线段 长度的最小值；
（2）设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于点
.证明：直线 经过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程 ，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，
即可由二次函数的性质求解，
（ 2 ） 根 据 两 点 坐 标 可 得 直 线 的 直 线 方 程 ， 由 直 线 与 圆 相 切 可 得 是 方 程
的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.
【小问1详解】
由题意得椭圆的方程： ，所以短半轴
所以 ，所以抛物线 的方程是 .
设点 ，则 ，
所以当 时，线段 长度取最小值 .
【小问2详解】
是抛物线 上位于第一象限的点，
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学科网（北京）股份有限公司.
，且
设 ，则：
直线 ，即 ，即 .
直线 ，即 .
由直线 与圆相切得 ，即 .
同理，由直线 与圆相切得 .
所以 是方程 的两个解，
.
代入方程 得 ，
解得
直线 恒过定点 .
【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有
关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为 ,则直线过定点 ;
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学科网（北京）股份有限公司若直线方程为 ( 为定值),则直线过定点
19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并
在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况．
日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
1. 2.4
销售量 千张 1.98 2.2 2.36 259 2.68 2.76 2.7 0.4
9 3
经计算可得： .
（1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程 结果中的数值用分数
表示 ；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 ，并且A套餐可以用一张优惠
券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为 ，求 ；
（3）记（2）中所得概率 的值构成数列 .
①求 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，
，（ 是一个确定的实数），则称数列 收敛于 .根据数列收敛的定义证明数列 收敛．
参考公式： .
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）①最大值为 ，最小值为 ；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 的值，进而得到y关于t的回归方程；
（2）由题意可知 ，其中 ，构造等比数列，再利用等比数列的
通项公式求解；
（3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；
②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．
【小问1详解】
解：剔除第10天的数据，可得 ，
，
则 ，
所以 ，
可得 ，所以 .
【小问2详解】
解：由题意知 ，其中 ，
所以 ，又由 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 是首项为1的常数列，所以
所以 ，又因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 ，所以 .
【小问3详解】
解：①当 为偶数时， 单调递减，
最大值为 ；
当 为奇数时， 单调递增，最小值为 ，
综上可得，数列 的最大值为 ，最小值为 .
②证明：对任意 总存在正整数 ， 其中 表示取整函数 ，
当 时， ，
所以数列 收敛.
【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读
理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，
逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：
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学科网（北京）股份有限公司3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分
法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.
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学科网（北京）股份有限公司
