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数学答案及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C B C A D C BCD ABD ACD
填空题：
81 7√3
12. 8或 13. 15. 𝑒+1
8 15
7. 由题意知存在点𝑃使得|𝑃𝐴|=|𝑃𝐵|且∠𝐴𝑃𝑂 =30°，此时易知|𝑃𝑂|=2，故而1≤|𝑂𝑀|≤
3，继而有1≤(0−𝑎)2+(0−𝑎+4)2 ≤9，整理得1≤2𝑎2−8𝑎+16≤9，解得2− √2 ≤𝑎 ≤
2
√2
2+
2
8.设曲线𝑦 =𝑙𝑛𝑥和𝑦 =𝑒𝑥−2的切点分别为𝐴(𝑥 ,𝑙𝑛𝑥 )，𝐵(𝑥 ,𝑒𝑥2−2)，𝑦=𝑙𝑛𝑥，𝑦′ = 1 ，𝑘 =
1 1 2
𝑥
1 1 1
，𝑦−𝑙𝑛𝑥 = (𝑥−𝑥 )，𝑦= 𝑥+(𝑙𝑛𝑥 −1) ①
1 1 1
𝑥1 𝑥1 𝑥1
同 理 𝑦 =𝑒𝑥−2，𝑦′ =𝑒𝑥−2，𝑘 =𝑒𝑥2−2，𝑦−𝑒𝑥2−2 =𝑒𝑥2−2(𝑥−𝑥 )，𝑦=𝑒𝑥2−2𝑥+
2
𝑒𝑥2−2(1−𝑥 ) ②
2
1 =𝑒𝑥2−2 =𝑘 ③
由于①②两条直线重合{ 𝑥1
𝑙𝑛𝑥 −1=𝑒𝑥2−2(1−𝑥 )=𝑏④
1 2
③中𝑙𝑛𝑥 =2−𝑥 代入④有1−𝑥 =𝑒𝑥2−2(1−𝑥 )解得𝑥 =1，𝑘 = 1 ，此时公切线方程为
1 2 2 2 2
𝑒
𝑦 = 1 𝑥，另可解得𝑒𝑥2−2 =1，𝑥 =2此时𝑦 =𝑥−1，所以𝑘+𝑏 = 1 或𝑘+𝑏 =0
2
𝑒 𝑒
9. 𝐴错：𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵，即𝑠𝑖𝑛2𝐴=𝑠𝑖𝑛2𝐵，则∆𝐴𝐵𝐶为等腰三角形或直角三角形
𝐵对：𝐴=2𝐵，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛2𝐵，𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵，𝑎=2𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵
3 1
𝐶对：𝐴𝐶 =2𝐵𝐶，𝐴𝐵 =3，则𝐶点轨迹是圆，其半径为| |=2，(𝑆 ) = ×3×2=3
2− 1 ∆𝐴𝐵𝐶 𝑚𝑎𝑥 2
2
1 1
𝐷对：由于角𝐵的平分线段𝐵𝐷 =3，𝑆 +𝑆 =𝑆 ，可知：𝑎𝑐 =3(𝑎+𝑐)， + =
∆𝐴𝐵𝐷 ∆𝐵𝐷𝐶 ∆𝐴𝐵𝐶
𝑎 𝑐
1 1 1 𝑐 𝑎
，𝑎+𝑐 =3(𝑎+𝑐)( + )=3[2+( + )]≥3(2+2)=12
3 𝑎 𝑐 𝑎 𝑐
𝑏2 5
10. 𝐴对：𝑘 𝑘 =− =−
𝑃𝐴1 𝑃𝐴2 𝑎2 9
1
𝐵对：𝑆 = (2𝑐)𝑏=𝑏𝑐 =2√5
∆𝑃𝐹1𝐹2
2
𝐶错：𝑎 =3，𝑏=√5，𝑐 =2，√5>2
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{#{QQABLYYEogigQAJAAQgCAwWgCAOQkhGCCSgOgAAIoAIAyQFABAA=}#}𝐷对：∆𝑃𝑀𝐹 的周长𝑙 =|𝑃𝐹 |+|𝑃𝑀|+|𝑀𝐹 |=2𝑎−|𝑃𝐹 |+|𝑃𝑀|+|𝑀𝐹 |≤2𝑎+|𝑀𝐹 |+
1 1 1 2 1 2
|𝑀𝐹 |=6+√2+√10
1
11. 𝐴对
1 1
𝐵错：𝑉 = 𝑆 ∙𝑑，显然𝑆 = ×2√2×2=2√2，𝑑是点𝑀到平面·𝐵 𝐵𝐷𝐷
三棱锥𝑀−𝑁𝐵𝐷 3 ∆𝐵𝑁𝐷 ∆𝐵𝑁𝐷 2 1 1
√2
的距离
2
𝐷
𝑀 𝐴 1 𝑀
1
𝐶
𝐵 1
1
𝑅
O
𝑂
2
𝐴 𝑑
𝐷
𝐸
𝑀
1
𝐵 𝐶 𝑀
1 𝐸
𝐶对：{
𝑅2 =(2−𝑑)2+1
解得𝑑 = 3 ，𝑅2 =𝑑2+2= 41 ，𝑆 =4𝜋𝑅2 =4𝜋× 41 = 41𝜋
𝑅2 =𝑑2+2 4 16 球 16 4
𝐷对：建系，以𝐴为坐标原点，𝐴⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ,𝐴⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ 分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴正方向，
1
设𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =λ𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗⃗⃗ =λ(−2,2,0)=(−2λ.2λ.0)(0≤λ≤1)，𝐵⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =𝐵⃗⃗⃗⃗𝐵⃗⃗⃗ +𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =(−2λ.2λ.2)
1 1 1 1 1
设直线𝐵𝑁与𝐸𝐹 所成角为𝛼 ，𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ =(−1,0,2)，𝑐𝑜𝑠𝛼 =|𝑐𝑜𝑠 <𝐵⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ ,𝐸⃗⃗⃗⃗𝐹⃗ >|= λ+2 =
2
√2λ +1∙√5
1 3 4 1
，当 − =0，即λ= 时，𝑐𝑜𝑠𝛼取最大值，此时，直线𝐵𝑁与𝐸𝐹所成角最小，
√5√( 3 −− 4)2 + 2 λ+2 3 4
𝑥+2 3 9
𝐵⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ =(− 1 , 1 ,2)，|𝐵⃗⃗⃗⃗𝑁⃗⃗ |=√(− 1 )2+( 1 )2+22 = 3√2
2 2 2 2 2
14. 𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−2=𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑠𝑖𝑛𝑥，其定义域为𝑅，显然𝑔(𝑥)为奇函数，
𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥−2𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥2−2𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥0，当且仅当𝑥 =0时取“=“，所以𝑔(𝑥)为增函数.
不 等 式 𝑓(𝑙𝑛𝑥+𝑥2−𝑎𝑥)+𝑓(𝑒𝑥−2𝑙𝑛𝑥)≥4 可 化 为 𝑓(𝑙𝑛𝑥+𝑥2−𝑎𝑥)−2≥−[𝑓(𝑒𝑥−
2𝑙𝑛𝑥)−2] ， 即 𝑔(𝑙𝑛𝑥+𝑥2−𝑎𝑥)≥𝑔(2𝑙𝑛𝑥−𝑒𝑥)，𝑙𝑛𝑥+𝑥2−𝑎𝑥 ≥2𝑙𝑛𝑥−𝑒𝑥，𝑎 ≤
𝑒𝑥
−
𝑥
𝑙𝑛𝑥
+𝑥
𝑥
𝑒𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑥(𝑥−1) 1−𝑙𝑛𝑥 𝑒𝑥(𝑥−1) 𝑙𝑛𝑥 𝑥2−1
设ℎ(𝑥)= − +𝑥，ℎ′(𝑥)= − +1= + + ，
𝑥 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2
当𝑥 >1时，ℎ(𝑥)>0，当0<𝑥 <1时，ℎ′(𝑥)<0
所以ℎ(𝑥)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，𝑥 =1时ℎ(𝑥)取极小值，即最小值为ℎ(1)=
高三数学答案 第 2 页 共 6 页
{#{QQABLYYEogigQAJAAQgCAwWgCAOQkhGCCSgOgAAIoAIAyQFABAA=}#}𝑒+1，所以𝑎的最大值为𝑒+1
15. 解（1）𝑓(𝑥)=4𝑐𝑜𝑠𝑥( √3 𝑠𝑖𝑛𝑥+ 1 𝑐𝑜𝑠𝑥)−1=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥+(2𝑐𝑜𝑠2𝑥−1)=√3𝑠𝑖𝑛2𝑥+
2 2
𝜋
𝑐𝑜𝑠2𝑥 =2sin (2𝑥+ ) 4分
6
𝜋 𝜋 𝜋 13𝜋 𝜋 5𝜋 𝜋
𝑓(𝐵)=2sin(2𝐵+ )=1，0<𝐵 <𝜋， <2𝐵+ < ，2𝐵+ = ，∴𝐵 =
6 6 6 6 6 6 3
6分
𝑎 𝑐 𝑏 𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴 2sin(120°−𝑐) √3
（2）法一：由正弦定理，得 = = ，𝑎 = = = +1，𝑏=
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑡𝑎𝑛𝐶
𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵 √3 √3 √3
= ，𝑎+𝑏+𝑐 = + +3，由于∆𝐴𝐵𝐶为锐角三角形，
𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶 𝑡𝑎𝑛𝐶 𝑠𝑖𝑛𝐶
𝜋
0<𝑐 <
{ 2 ∴ 𝜋 <𝑐 < 𝜋 8分
0< 2𝜋 −𝑐 < 𝜋 6 2
3 2
则
√3
+
√3
+3在(
𝜋
,
𝜋
)单调递减，
√3
∈(0,3)，
√3
∈(√3,2√3) 12分
𝑡𝑎𝑛𝑐 𝑠𝑖𝑛𝑐 6 2 𝑡𝑎𝑛𝑐 𝑠𝑖𝑛𝑐
𝑎+𝑏+𝑐 ∈(3+√3,6+2√3) 13分
法二：由于∆𝐴𝐵𝐶为锐角三角形， 8分
𝑐 𝑐
√3 √3 2𝑡𝑎𝑛 2𝑡𝑎𝑛
可知𝑎+𝑏+𝑐 = + +3，根据万能置换公式，𝑡𝑎𝑛𝑐 = 2 ， sinc= 2
𝑡𝑎𝑛𝑐 𝑠𝑖𝑛𝑐 1−𝑡𝑎𝑛2𝑐 1+𝑡𝑎𝑛2𝑐
2 2
√3
𝑎+𝑏+𝑐 = +3 10分
𝑐
𝑡𝑎𝑛
2
𝜋 𝜋 𝜋 𝑐 𝜋 𝑐 1
<𝑐 < ， < < ，2−√3< 𝑡𝑎𝑛 <1，1< <2+√3 12分
6 2 12 2 4 2 𝑡𝑎𝑛 𝑐
2
所以𝑎+𝑏+𝑐 ∈(3+√3,6+2√3) 13分
16. 证明：（1）连接𝐴𝐶，显然𝐴𝐶和𝐵𝐷相交于点𝐹，在∆𝑆𝐴𝐶中，𝐸,𝐹分别为𝑆𝐶,𝐴𝐶的中点，所
以𝐸𝐹∥𝑆𝐴，𝑆𝐴 ⊂平面𝑆𝐴𝐵，𝐸𝐹⊄平面𝑆𝐴𝐵，则𝐸𝐹 ∥平面𝑆𝐴𝐵 4分
（2）法一：取𝐴𝐵中点𝑂，则𝑆𝑂 ⊥𝐴𝐵，又𝑆𝐶 ⊥𝐴𝐵，则𝐴𝐵 ⊥平面𝑆𝑂𝐶，𝐴𝐵 ⊥𝑂𝐶，则∆𝐴𝐵𝐶
为正三角形.
∠𝑆𝑂𝐶就是二面角𝑆−𝐴𝐵−𝐶的平面角，𝑆𝑂 =𝑂𝐶 =√3，𝑆𝐶 =3，∠𝑆𝑂𝐶 =120°，由𝐴𝐵 ⊥
3
平面𝑆𝑂𝐶，过点𝑆作𝑆𝐻 ⊥𝑂𝐶，垂足为𝐻，显然𝑆𝐻 =𝑆𝑂∙𝑠𝑖𝑛60°= 7分
2
𝑉 = 1 𝑆𝐻∙𝑆 = 1 × 3 × √3 ×22 = √3 9分
三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶 3 ∆𝐴𝐵𝐶 3 2 4 2
𝑆⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ∙𝑛⃗
法二：可建系用空间向量方法求出点𝑆到平面𝐴𝐵𝐶𝐷的距离，即此三棱锥的高𝑑 =| |，其中
|𝑛⃗ |
𝑆⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ =(−1, √3 ,− 3 )，𝑛⃗ =(0,0,1)，𝑑 = 3 7分
2 2 2
𝑉 = 1 𝑆𝐻∙𝑆 = 1 × 3 × √3 ×22 = √3 9分
三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶 3 ∆𝐴𝐵𝐶 3 2 4 2
（3）过𝑂点作出平面𝐴𝐵𝐶𝐷的垂线𝑂𝑀，以𝑂为坐标原点，𝑂⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ ,𝑂⃗⃗⃗⃗𝐶⃗ ,𝑂⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗ 的方向分别为𝑥轴, 𝑦轴,
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{#{QQABLYYEogigQAJAAQgCAwWgCAOQkhGCCSgOgAAIoAIAyQFABAA=}#}𝑧轴的正方向建立空间直角坐标系 10分
𝐵(1,0,0)，𝐴(−1,0,0)，𝐶(0,√3,0)，𝐷(−2,√3,0)，𝑆(0,− √3 , 3 ) ， 则 𝐸(0, √3 , 3 )，𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =
2 2 4 4
(−3√3,0)，𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ (−1, √3 , 3 ).
4 4
设平面𝐵𝐷𝐸的一个法向量为𝑛⃗⃗⃗⃗ =(𝑥 ,𝑦 ,𝑧 )，由𝑛⃗⃗⃗⃗ ∙𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =0，𝑛⃗⃗⃗⃗ ∙𝐵⃗⃗⃗⃗𝐸⃗ =0有
1 1 1 1 1 1
−3𝑥 1 +√3𝑦 1 =0 𝑥 1 =3𝑧 1
{ ，解得{
−𝑥 1 + √3 𝑦 1 + 3 𝑧 1 =0 𝑦 1 =3√3𝑧 1
4 4
令𝑧 =1，则可得𝑛⃗⃗⃗⃗ =(3,3√3,1) 13分
1 1
𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ =(−1,√3,0)
直线𝐴𝐷于平面𝐵𝐷𝐸所成角的正弦值𝑠𝑖𝑛𝜃 =|𝑐𝑜𝑠 <𝐴⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ,𝑛⃗ >|=| 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ∙𝑛⃗ |= 6 = 3√37
|𝐴⃗⃗⃗⃗⃗𝐷⃗ ||𝑛⃗ | 2×√37 37
15分
17. 解（1）法一：因为𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎，当𝑎 ≤0时，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎 >0恒成立，所以𝑓(𝑥)=
𝑒𝑥−𝑎𝑥−1在𝑅上为增函数，因为𝑓(0)=0，所以𝑓(−1)<0，所以𝑎 ≤0时不成立 2分
当𝑎 >0时，由𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎 >0得𝑥 >𝑙𝑛𝑎，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎 <0得𝑥 <𝑙𝑛𝑎，所以𝑓(𝑥)=
𝑒𝑥−𝑎𝑥−1在(−∞,𝑙𝑛𝑎)上为减函数，在(𝑙𝑛𝑎,+∞)上为增函数 4分
所以𝑓(𝑥)的最小值点为𝑙𝑛𝑎，因为𝑓(0)=0，且恒有𝑓(𝑥)≥0，所以𝑙𝑛𝑎 =0， 6分
𝑎 =1 8分
法二：由于𝑓(𝑥)在𝑥 =𝑙𝑛𝑎处取得极小值，且为最小值.
𝑓(𝑥)最小值为𝑓(𝑙𝑛𝑎)=𝑎−𝑎𝑙𝑛𝑎−1，
设𝑔(𝑎)= 𝑎−𝑎𝑙𝑛𝑎−1，𝑔(𝑎)≥0 6分
𝑔′(𝑎)=1−𝑙𝑛𝑎−1=−𝑙𝑛𝑎 =0，得𝑎 =1
∴𝑔(𝑎)在区间(0,1)单调递增，在区间(1,+∞)单调递减.
∴𝑔(𝑎)在𝑎 =1处取得极大值𝑔(1)=0 7分
因此(𝑎)≥0的解为𝑎 =1
∴𝑎 =1 8分
（2）证明：设𝑔(𝑚)=𝑓(𝑚+𝑛)−𝑓(𝑚)−𝑓(𝑛)，所以𝑔′(𝑚)=𝑓′(𝑚+𝑛)−𝑓′(𝑚)，因为
𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1在𝑅上为增函数，且𝑚+𝑛 >𝑚，所以𝑔′(𝑚)>0，𝑔(𝑚)在(0,+∞)为增函数
11分
所以𝑔(𝑚)>𝑔(0)
又因为𝑔(0)=𝑓(𝑛)−𝑓(0)−𝑓(𝑛)=𝑓(0)=0，所以g(m)>0 14分
所以𝑓(𝑚+𝑛)>𝑓(𝑚)+𝑓(𝑛) 15分
18. 解（1）{
𝑐 =2
∴{
𝑐 =2
，𝑏2 =𝑎2−𝑐2 =12，椭圆𝐶的标准方程为
𝑥2
+
𝑦2
=1
4𝑎=16 𝑎 =4 16 12
4分
（2）（Ⅰ）当𝐴𝐵的斜率为0时，显然𝑘 =𝑘 =0，𝑘 +𝑘 =0 5分
1 2 1 2
高三数学答案 第 4 页 共 6 页
{#{QQABLYYEogigQAJAAQgCAwWgCAOQkhGCCSgOgAAIoAIAyQFABAA=}#}当𝐴𝐵的斜率不为0时，设𝐴𝐵方程为：𝑥 =𝑚𝑦−8
𝑥 =𝑚𝑦−8
{ 𝑥2 + 𝑦2 =1 得(3𝑚2+4)𝑦2−48𝑚𝑦+144=0，设𝐴(𝑥 1 ,𝑦 1 )，𝐵(𝑥 2 ,𝑦 2 )，故有𝑦 1 +𝑦 2 =
16 12
48𝑚 144
，𝑦 𝑦 = 8分
3𝑚2+4 1 2 3𝑚2+4
所 以 𝑘 +𝑘 =
𝑦1
+
𝑦2
=
𝑦1
+
𝑦2
=
𝑦1 (𝑚𝑦2−6)+𝑦2(𝑚𝑦1−6)
， 因 为 𝑦 (𝑚𝑦 −6)+
1 2 1 2
𝑥1+2 𝑥2+2 𝑚𝑦1−6 𝑚𝑦2−6 (𝑚𝑦1−6)(𝑚𝑦2−6)
𝑦 (𝑚𝑦 −6)=2𝑚𝑦 𝑦 −6(𝑦 +𝑦 )=0，综上所述，𝑘 +𝑘 =0为定值 11分
2 1 1 2 1 2 1 2
1 72√𝑚2−4 72 72
（ Ⅱ ） 𝑆 =𝑆 = |𝑃𝐹||𝑦 −𝑦 |= = ≤ =3√3
∆𝐴𝐵𝐹 ∆𝑃𝐵𝐹−𝑆∆𝑃𝐴𝐹 2 1 2 3(𝑚2−4)+16 3√𝑚2−4+ 16 2√48
√𝑚2−4
15分
当且仅当3√𝑚2−4=
16
即𝑚 =±
2√21
时取“=”号（此时适合∆>0） 17分
√𝑚2−4 3
所以∆𝐴𝐵𝐹的面积的最大值为3√3
√3 𝜋
19. 解：（1）法一：函数𝑦 = 𝑥不是“ 旋转函数”. 1分
3 3
√3 𝜋
因为𝑦 = 𝑥绕原点逆时针旋转 后与𝑦轴重合，即为𝑥 =0 2分
3 3
当𝑥 =0时，有无数个𝑦与之对应，与函数的概念矛盾. 4分
√3 𝜋 √3 √3
法二：𝑦= 𝑥如果是“ 旋转函数”，即𝑦 = 𝑥和𝑦 = 𝑥+𝑏(𝑏∈𝑅)最多一个交点 2分
3 3 3 3
显然，当𝑏 =0时，两条直线重合 3分
√3 𝜋
矛盾，所以：𝑦 = 𝑥不是“ 旋转函数”. 4分
3 3
（2）由题意可知𝑔(𝑥)=ln(𝑥+1)+ 3 𝑥3，𝑥 ∈[0,+∞)，与函数𝑦=𝑥+𝑏(𝑏∈𝑅)的图象最多
4
𝜋
1个交点才能是“ 旋转函数”. 5分
4
设ℎ(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑥 =ln(𝑥+1)+ 3 𝑥3−𝑥(𝑥 ≥0)，
4
ℎ′(𝑥)= 1 + 9 𝑥2−1= 𝑥(3𝑥+4)(3𝑥−1) (𝑥 ≥0).
𝑥+1 4 4(𝑥+1)
由ℎ′(𝑥)>0得𝑥 > 1 ，由ℎ′(𝑥)<0得0<𝑥 < 1 ，即ℎ(𝑥)在(0, 1 )单调递减，在( 1 ,+∞)单调递增.
3 3 3 3
7分
1 1
其中ℎ(0)=0，ℎ( )<ℎ(0)=0，ℎ(1)=𝑙𝑛2− >0，
3 4
当𝑏 ≤0时，𝑦 =ℎ(𝑥)和𝑦 =𝑏有两个交点 10分
𝜋
所以𝑔(𝑥)不是“ 旋转函数” 11分
4
𝜋
（3）由题意，𝑓(𝑥)=ln(2𝑥+1)(𝑥 >0)与𝑦 =𝑘𝑥+𝑏最多一个交点，其中𝑘 =tan( −
2
𝜃)，b∈R，即𝐹(𝑥)=ln(2𝑥+1)−𝑘𝑥(𝑥 >0)与𝑦=𝑏(b∈R)图象最多一个交点 12分
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{#{QQABLYYEogigQAJAAQgCAwWgCAOQkhGCCSgOgAAIoAIAyQFABAA=}#}𝐹(𝑥)=ln(2𝑥+1)−𝑘𝑥在(0,+∞)上单调函数 14分
2 2 2
𝐹′(𝑥)= −𝑘，𝑥 >0， ∈(0,2)，𝐹′(𝑥)= −𝑘 ≤0在(0,+∞)上恒成立，
2𝑥+1 2𝑥+1 2𝑥+1
2
𝑘 ≥ ，即𝑘 ≥2 15分
2𝑥+1
𝜋 1 1
tan ( −𝜃)≥2，𝑡𝑎𝑛𝜃 ≤ ，即𝑡𝑎𝑛𝜃的最大值为 17分
2 2 2
说明：由于𝑘 >0，𝐹′(𝑥)= 2 −𝑘 ≥0在(0,+∞)上恒成立，即𝑘 ≤ 2 不可能.
2𝑥+1 2𝑥+1
如果没有说明，可扣1分
高三数学答案 第 6 页 共 6 页
{#{QQABLYYEogigQAJAAQgCAwWgCAOQkhGCCSgOgAAIoAIAyQFABAA=}#}
