文档内容
浙东北联盟（ZDB）2025/2026 学年第一学期期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小.
【详解】由于直线 的斜率为 ，即为倾斜角的正切值，
故该直线的倾斜角为 ，
故选：B．
2. 若直线 是圆 的一条对称轴，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【详解】由题可知圆心为 ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即 ，解得．
故选：A．
3. 著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球
在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为
，远日点到太阳的距离约为 ，则该椭圆的焦距约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆里的近日点和远日点列式即可求得结果.
【详解】设椭圆长轴为2a，焦距为2c，易知 ，解得 ，
所以椭圆的焦距约为 ，
故选：B．
4. 若空间向量 ， ，则下列向量可以与 ， 构成空间的一个基底的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量基底的定义直接判断.
【详解】A选项：若空间向量 ， ，
则 ，故 、 、 共面，A选项错误；
B选项：若空间向量 ， ，
则 ，故 、 、 共面，B选项错误；
C选项：若空间向量 ， ， ，设 ，即 ，方程无解，
即不存在实数对 使 ，即 、 、 不共面，可以作为基底，C选项正确；
D选项： 为零向量，与 ， 不能构成空间的一个基底，D选项错误；
故选：C.
5. 设 为坐标原点， 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线 的右支上，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线定义将 用 表示，再根据垂直关系，即可求解.
【详解】
因为 ，所以有 ， ， ，
所以 ，
根据双曲线的定义， ，
设 ，则 ，又因为 ，所以 ，即 ，
，解得 或 （舍去）
所以 ．
故选：A
6. 已知圆 ，过点 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，易知当直线过点 且与 垂直时，弦长最小，结合两点间距离及弦长公式可得解.
【详解】圆 化 为，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，
圆心 到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
此时圆心到直线的距离 ，
此时弦长为 ，
故选：B．
7. 已知椭圆 ， 为 上的一动点，则点 到直线 距离的最大值为
（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意设 ，利用点到直线的距离、辅助角公式及余弦函数的性质求出最大值.
【详解】椭圆 ，即 ，又 为 上的一动点，
设 ，
则点 到直线 距离 ，
又 ，
所以当 时 有最大值 ，
即点 到直线 距离的最大值为 ．
故选： D．
8. 如 图 ， 正 方 形 与 正 方 形 所 在 平 面 互 相 垂 直 ， ，
， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标确定 ，进而可得解.【详解】
建立上图所示坐标系，
则 ， ， ， ，
即 ， ，
则 ， ，
可得 ， ，
则 ，
即 ，
所以当 ，且 时， 取得最小值为 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 已知直线 和直线 ，则下列说法正确的有（ ）
A. 若 表示与 轴平行或重合的直线，则
B. 若 表示与 轴平行或重合的直线，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则【答案】AD
【解析】
【分析】根据直线的一般式，结合直线与直线位置关系列方程，解方程即可.
【详解】A，B选项： 斜率为 时，与 轴平行或重合，则 ，故A选项正确，B选项错误；
C 选项：若 ，且 或 时 ，若 且 或
时， 与 重合，故C选项错误；
D选项：若 ，则 ，D选项正确；
故选：AD.
10. 已知定圆 和定点 ，点 为圆 上动点， 的中垂线交直线 于点 ，则点 的轨迹可能为（
）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
【答案】ABC
【解析】
【分析】分情况讨论当 与点 重合，当 在圆 内，当 在圆 上，当 在圆 外时，点 的轨迹.
【详解】
①若 与 重合，如图1，则点 为 中点，所以点 的轨迹为以 为圆心， 长度为半径的圆；
②若 在圆 内时，由中垂线可知 ，则 ，即动点 到定点 与定点 距离之和为定值，满足椭圆定义，则点 的轨迹为椭圆，
③若 在圆 上，则 的中垂线过点 ，即点 与点 重合；
④ 在圆 外，由中垂线可知 ，则 ，即动点 到定
点 与定点 距离之差的绝对值为定值，满足双曲线的定义，即动点 的轨迹为双曲线；
故选：ABC．
11. 底面为直角梯形的直四棱柱 中， ，
，动点 满足 ．则下列结论正确的是（
）
A. 若 ，则点 在平面 上
B. 若 ，则点 在平面 上
C. 若 ，则点 到直线 的距离为
D. 若 时，直线 与面 所成角的正弦值取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于AB，根据共面向量定理判断，对于CD，利用向量法求出点到线的距离，和线面角的正弦值
即可.
【详解】解：对于A： 时， ，
由共面向量定理知， 共面，
所以 点不在面 上，故A错误；
对 于 B ： ， 所 以 ，
共面，所以，点 在面 上，故B正确；
对于C：以 为原点， 所在直线分别为 轴建系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ，
则 ，
故 ，故C正确；
对于D：根据C选项可知 ，
又
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 的夹角为 ，
则因为 ，则 ，
当 时有最大值 ，当 时有最小值 ，故D正确．
故选：BCD．
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解.
【详解】双曲线 的一条渐近线方程为 ，
则 ，离心率 ，
故答案为： .
13. 设抛物线 被直线 截得的弦 的长为 ，则 ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】联立直线与抛物线，结合弦长公式，化简可得解.
【详解】设 ， ，由 ，得 ，
则 ，
由弦长公式得 ，
即 ，解得 或 （舍），
故答案为： .
14. 已知 为任意实数， 是圆 上任意一点，当 变化时， 到直线
距离的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，再根据直线方程可得直线过定点，即可直圆心到直线距离的取值
范围，结合三角换元即可得解.
【详解】由已知圆 ，则圆心 ， ，
，令 ，解得 ，
则直线 过定点 ，且直线不为 ，
即圆心到直线的距离的最大值为 ，
所以圆上的点到直线的距离的最大值 ，
令 ，则 ，
当 时， 取得最大值为 .
所以点 到直线距离的取值范围为 ，
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平行六面体 中，所有棱长均为 1，底面 为正方形，
，记 ．
（1）求证： ；
（2）求 和 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用 表示出向量 ，求其数量积可证；
（2）用 表示出目标向量，求出其模长和数量积，代入向量夹角公式可得.
【小问1详解】
证明：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 .
【小问2详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
.
又 ，
所以 .
16. 已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点 作圆的切线，求切线方程．
【答案】（1） ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）设圆心 ，通过半径求得 ，进而可求解：
（2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可.
【小问1详解】
由题意设圆心 ，因为 ，即 ，
解得 ，即 ，半径 ，
所以圆 的标准方程为 ；
【小问2详解】
当切线的斜率不存在时，则切线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，符合条件；
当切线的斜率存在时，设过 的切线方程为 ，
即 ，
则圆心 到切线的距离 ，解得 ，
此时切线的方程为： ，即 ，
综上所述：过 的切线方程为 或 ．
17. 已知正方体 的棱长为4，E，F分别为 的中点，G在线段 上，且
（1）求证∶ 面 ;
（2）求平面EBF 与平面EBG夹角的余弦值；
（3）求点D到平面EBF的距离．【答案】（1）证明见解析；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明 ，再结合正方体的性质得出 平面 ，
利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算点面距离即可.
【小问1详解】
（1）法一、在正方形 中，
由条件易知 ，所以 ，
则 ，
故 ，即 ，
在正方体中，易知 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ；
法二、如图以D为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，设 是平面 的法向量，
则 ，令 ，则 ，
所以 是平面 的一个法向量，
易知 ，则 也是平面 的一个法向量，∴ 平面 ；
【小问2详解】
同上法二建立的空间直角坐标系，
所以 ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面EBF 与平面EBG的夹角的余弦值为 ；
【小问3详解】
因为 ，所以 ，
又 是平面 的一个法向量，
则D到平面 的距离为 .所以点D到平面EBF的距离为 .
18. 已知椭圆 过 ，直线 交椭圆 于 ， 两点，且 为线段 中点，设
直线 和直线 （ 为坐标原点）的斜率分别为 和 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）当直线 和直线 的斜率分别为 和 都存在时，证明： 为定值；
（3）若 关于 的对称点 在椭圆 上，证明： 的面积为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，列方程组求解即可；
（2）设 ， ，利用点差法可证得 为定值；
（3）当斜率不存在时， ，当斜率存在时，设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，
结合根与系数的关系、三角形面积公式证明.
【小问1详解】
设椭圆 的标准方程为： 过；
【小问2详解】
设 ，则 ， ，
则 ，
两式作差可得 ，
所以 ；
【小问3详解】
①当直线 斜率 不存在时，则直线 的方程为 ，
根据对称性，取直线 的方程为 ，
则 ，解得 ，即 ，
此时 ；
②当直线 斜率 不存在时，直线 的方程为 ，
同理可得 ；
③当直线 斜率 存在时，设直线 的方程为 ，，
因为
所以 ，
在椭圆上，
所以 ，即 ，
设 到直线 的距离为 ，则 ，
，
所以 .
19. 设抛物线 的焦点为 ，且焦点到准线的距离为 ．过点 的直线 交抛物线 于 、
两点．
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）直线 上有一动点 ，其横坐标为 ．
（i）若 且直线 经过 的内心，求直线 的方程；（ii）是否存在点 ，使得对任意直线 都满足 经过 的内心且同时满足 、 同时与 相
切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i） 的方程为 ；（ii）存在，证明见解析
【解析】
的
【分析】（1）求出 值，即可得出抛物线 的方程；
（2）（i）设点 、 ，设直线 的方程为 ，将该直线方程与抛物线方程联立，
列出韦达定理，分析可知 与 共线，结合平面向量的坐标运算以及韦达定理可求出 的值，
即可得出直线 的方程；
（ii）先求角 平分线 的 的坐标，由 与 共线结合平面向量的坐标运算与韦达
定理求出点 的坐标，然后利用导数求出抛物线在点 、 的切线方程，将两切线方程联立，求出两切
线的交点 的坐标，说明点 、 重合，即可得出结论.
【小问1详解】
因为抛物线 的焦点到准线的距离为 ，则 ，
故抛物线 的方程为 .
【小问2详解】
（i）易知点 、 ，设点 、 ，
若直线 的斜率不存在，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
所以直线 的斜率存在，联立 可得 ，，由韦达定理可得 ， ，
由题意可知 平分 ，所以 与 共线，且 ，
其中 ， ，故 ，
同理可得 ，
所以 ，
因为 与 共线，所以 ，
整理可得 ，
即 ，解得 ，
故直线 的方程为 ；
（ii）存在满足题设条件的点 ，证明如下：
先求角 平分线 的 的坐标，易知点 ，则 ，
因为 与 共线，所以 ，所以 ，
即点 ，
的
再求两切线 交点 的坐标，
对函数 求导得 ，故切线 的方程为 ，
即 ，同理可知切线 的方程为 ，
联立 可得 ，即点 ，故点 与 重合，
故存在满足题设条件的点 .
