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六盘水市 2023—2024 学年度高二年级学业质量监测试题卷
数 学
（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试题卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．4
3．记等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．13 B．45 C．65 D．130
4．甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 87 91 90 89 99
乙 89 90 91 88 92
下列结论正确的是（ ）
A．甲的极差小于乙的极差 B．乙的平均数大于甲的平均数
C．乙的成绩比甲的成绩更稳定 D．甲的中位数小于乙的中位数
5．已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．6．关于 的方程 对应的曲线不可能是（ ）
A． B． C． D．
7．已知线段 的长度为4，动点 与点 的距离是它与点 的距离的 倍，则 面积的最大
值为（ ）
A． B．8 C． D．
8．如图，从一个半径为 的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一
个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在区间 上有且仅有一个零点D．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象
10．已知函数 ，则（ ）
A． 与 互为反函数
B．若 是函数 的极值点，则
C．若 ，则
D．点 在曲线 上，点 在曲线 上，则
11．圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 处发出的光线，经过双曲
线在点 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 ，且双曲线在点 处的切线平分 ．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 过点 ，其左、右焦点分别为 ．若从 发出的光
线经双曲线右支上一点 反射的光线为 ，点 处的切线交 轴于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为
B．过点 且垂直于 的直线平分
C．若 ，则
D．若 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量 ，若 ，则 ______．13．现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地
方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有______种．
14．已知函数 的定义域为 ，且 ．若 ，则
______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
记 的内角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ．
（1）求 的值；
（2）若点 满足 ，求 的长度．
16．（本小题满分15分）
某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，
得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中
治愈30名．
（1）请补全如下列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法
好；
疗法 疗效 合计
未治愈 治愈
甲
乙
合计
（2）从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽
取3人，求这3人中未治愈人数 的分布列及期望；
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17．（本小题满分15分）
已知长方体 中， ．（1）在长方体中，过点 作与平面 平行的平面 ，并说明理由；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）在数列 中， 是曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标．
证明：数列 是等比数列，并求数列 的前 项和 ．
19．（本小题满分17分）
定义：若椭圆 上的两个点 满足 ，则称
为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， 为椭圆 的“共轭点对”，已知 ，且点 在直线 上．
（1）求直线 的方程；
（2）已知 是椭圆 上的两点， 为坐标原点，且 ．
i）求证：线段 被直线 平分；
ii）若点 在第二象限，直线 与 相交于点 ，点 为 的中点，求 面积的最大值．六盘水市 2024 届高二年级期末监测
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B B C C A D A B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
选项 AD ACD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．－2 13．30 14．2024
第7题提示：
以 的中点为坐标原点建立直角坐标系，设 ，
由 得圆 ，半径 ，
所以 ．
第8题提示：
设所得正三角形的高为 ，则 ，解得 ，
从而正三角形的边长为6，折叠的正四面体的棱长为 ，高为 ，
于是外接球的半径 ，其外接球的表面积为 ．
第12题提示：
选项Ａ，双曲线的方程为 ；选项Ｂ，由 的对顶角等于 可得选项Ｂ正确；记 ，
选项Ｃ，由 得 ；
选项Ｄ，由 得 ，
对 两边平方，可得 ，从而 ，所以 ，
于是 ，即
从而 ，解得 ．
第14题提示：
几何法：由 得 的图象关于直线 对称；
由 得 的图象关于点 对称；
再根据 可作出 的一个图象如下，从而 ．
代数法：由 得 ；
结合 得 ；
于是 ，从而 ；于是 ，所以函数 是周期为4的周期函数．
由 得 ，所以 ；
由 得 ，所以 ；
由 得 ，从而 ；
从而 ，所以 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
解：（1）由 得 ．
从而 ，
将 代入得 ．
（2）方法1：
将 代入得 ，解得 ．
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ．
方法2：
将 代入得 ，解得 ．
因为 ，所以 ，
两边平方得 ，所以 ．
16．（本小题满分15分）
解：（1）列联表如下：
疗效
疗法 合计
未治愈 治愈
甲 10 45 55
乙 15 30 45
合计 25 75 100
零假设为 ：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为两
种疗法效果没有差异．
（2）抽样比为 ，未治愈人数为2人，治愈人数为4人
随机变量 的所有可能取值为 ．
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
从而 ，所以随机变量 的期望为1．
17．（本小题满分15分）解：（1）如图，所作平面 为平面 ．
理由如下：
因为 平面 平面 ，
所以平面 平面 ．
（言之有理即可，不需严格证明．若所作平面在长方体之外，则作图不得分）
（2）方法1：以点 为坐标原点建系如图，则 ， ．
，
设平面 的法向量为 ，则
，即
令 ，则 ，所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ．
方法2：设点 到平面 的距离为 ，
依题 ，
因为 ，所以 ，从而 ，解得 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ．
18．（本小题满分17分）
解：（1） ，
，切点为
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2） ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，
令 得 ，
于是 （为常数），
所以 是首项为1，公比为 的等比数列．
由 得 ，
于是 ，所以 ．
19．（本小题满分17分）
解：（1）依题，点 在直线 上．
即所求直线 的方程为： ．（2）i）方法1：
设 ，则 ，
两式相减得 ，
整理得 ，
即 ，所以线段 的中点在直线 上．
所以线段 被直线 平分．
方法2：
设 ，
由 ，
由韦达定理得 ，于是 ，
从而 ，所以线段 的中点在直线 上．
ii）由i）可知 为 的中点，而 为 的中点，所以 ．
显然 ，设 ，
由 ，
由 ，
由韦达定理得 ．
点 到直线 的距离 ，
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
所以 ，所以 的最大值为 ．
