文档内容
高二考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章 ，选择性必修第一册第一章
。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.十三棱锥的顶点的个数为
A.13 B.14 C.20 D.26
2.已知空间向量 ， .若 ，则
A.12 B.10 C.-10 D.-12
3.已知 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是
A. ， ， B. ， ，
C. ， ， D. ， ，
4.在空间直角坐标系中，已知 ， ， 为整数，则 的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.6
5.某三棱锥的体积为 ，表面积为 ，则该三棱锥的内切球的直径为
A. B. C. D.
6.已知空间向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 与 的夹角为
A. B. C. D.
7.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为 .若正四棱锥
的侧面与底面所成角的正切值为 ，则四棱锥 在顶点 处的曲率为
A. B. C. D.
8.在三棱锥 中， 为 的重心， ， ， ， ，
，若 交平面 于点 ，且 ，则 的最小值为
A.1 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知几何体 为长方体，则
A. 在 方向上的投影向量为
B. 在 方向上的投影向量为
C. 在 方向上的投影向量为
D. 在 方向上的投影向量为
10.在空间直角坐标系 中， ， ， ， ，则
A.点 在平面 内 B.四面体 为正四面体C.点 到直线 的距离为 D.点 到平面 的距离为
11.如图，现有一个底面直径为 ，高为 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为 ，
忽略容器的厚度，则
A.此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为
B.容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为
C.当容器内液体的高度增加 时，需要增加的液体的体积为
D.当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，容器内液体的高度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12若空间向量 ， 若 则 _____.
13.已知 ， ， ， 四点都在球 的球面上，且 ， ， 三点所在平面经过球心， ，
，则点 到平面 的距离的最大值为_____，球 的表面积为__________.
14.在直四棱柱 中，底面 为菱形， ， ， 为棱 的中
点， ， 分别为直线 ， 上的动点，则线段 的长度的最小值为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在正四棱锥 中， 为底面中心， ， ， 分别为 ， ， 的中点，点 在棱
上，且 .（1）证明： 平面 .
（2）证明：平面 平面 .
16.（15分）
在正四棱台 中， .
（1）若 ，四棱台 的体积为 ，求该四棱台的高；
（2）若 ，求 的值.
17.（15分）
如图，在四棱锥 中， 底面 ， 平面 ， .
（1）证明：平面 平面 .
（2）若 ， ，且异面直线 与 所成角的正切值为 ，求平面 与平面
所成二面角的正弦值.
18.（17分）如图，在正方体 中， ， .
（1）当 取得最小值时，求 与 的值.
（2）设 与平面 所成的角为 .
①若 ，求 的值；
②证明：存在常数 ，使得 为定值，并求该定值.
19.（17分）
空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空
间向量 ， ，则 叉乘 的运算公式为
（1）证明： .
（2）设 ， ， 是平面 内不共线的三个不同的点.
①证明： 是平面 的一个法向量.
②说明 的几何意义（即说明 的长度与方向的几何意义）.高二考试数学试卷参考答案
1.B 十三棱锥的顶点的个数为 .
2.A 依题意得 ，解得 ， ， .
3.C ，A错误. ，B错误.易得 ， ，
三个向量不共面，C正确. ，D错误.
4.C ，当 时， 为增
函数，所以 ，因为 为整数，所以 的最小值为 .
5.B 设该三棱锥的体积为 ，表面积为 ，该三棱锥的内切球的半径为 ，
则 ，所以 ，故该三棱锥的内切球的直径为 .
6.D 设 与 的夹角为 ，由 ，得 ，两边同时平方得 ，所以1
，解得 ，又 ，所以 .
7.D 如图，连接 , ，设 ，连接 ，则 平面 .取 的中点 ，连接
， ，则 为侧面与底面所成的角.
设 ，则 ，
在 中， ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以正四棱锥 的每个侧面均为正三角形，所以顶点 的每个面角均为 ，故正四棱锥 在顶点 处的曲率为 .
8.A 因为
，所以
.
因为 ， ， ，所以 .
因为 ， ， ， 四点共面，所以 ，即 .
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的
最小值为1.
9.AC 在长方体 中，因为 平面 ，所以 ，所以A正确，B错误.
因为 ， ，所以C正确，D错误.
10.ABD 因为 ，所以 为线段 的中点，所以点 在平面 内，A正确.
因为 ，所以四面体 为正四面体，B正确.
因为点 到直线 的距离为 ，且 为线段 的中点，所以点 到直线 的距离为
，C错误.设平面 的法向量为 ，则 令 ，得 ，
因为 ，所以点 到平面 的距离为 ，D正确.
11.BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为 ，A错误.
设容器内液体倒去一半后液体的高度为 ，则 ，解得 ，B正确.
因为 ， ，所以当容器内液体的高度增加 时，需要增加的液体的体积为
，C正确.
当容器内沉入一个棱长为 的正方体铁块时，设容器内液体的高度为 ，体积
，则 ， ，D正
确.
12. -2 依题意得 ，解得 .
13.4； 设球 的半径为 ，由正弦定理得 ，则 ，则点 到平面 的
距离的最大值为4，球 的表面积为 .
14. 连接 ， ，设 ，以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的
正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， ，
， ， .设与 ， 都垂直的向量为 ，
则 ，即
令 ，得 ，
则线段 的长度的最小值为 .
15.证明：（1）连接 ，则 为 的中点.
因为 为棱 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为点 在棱 上，且 ，所以 ，
由题意易得 ，则 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ， 平面 ， ，所以平面 平面 .16.解：（1）设该正四棱台的高为 ，则 ，
解得 .
（2）在正四棱台 中，底面 与底面 均为正方形，且对应边互相平行，
所以 ， ，
过 作 ，垂足为 （图略），易得 ，所以 ，
所以.
故 .
17.（1）证明： 底面 ， .
， ， 平面 .
平面 ，平面 平面 ， ，
平面 .
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）解： ， 直线 与直线 所成的角为 .底面 ， ， ，即 .
设 为2个单位长度，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
.
设平面 的法向量为 ，则
取 ，则 ， ，得 .
易知平面 的一个法向量为 ，
则 .
故平面 与平面 所成二面角的正弦值为 .
18.（1）解：以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ， .
， ，
，
所以 ，
当 时， 取得最小值，此时 .因为 ，
所以 .
（2）①解： ，设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，又 ，所以 .
②证明：由①知 ，
则 ， ，
所以 ，
所以存在常数 ，使得 为定值，
且该定值为2.19.（1）证明：因为 ，
所以
，
所以 .
（2）①证明：设 ， ，
则 ，
所以 ，
，
所以 ， ，所以 是平面 的一个法向量.
②解：设 ， ，则 ，
.
，
，
所以 ，所以 . ，
所以 的几何意义为 等于以 ， 为邻边所作的平行四边形的面积，
且 的方向与平面 垂直.
