精品解析：吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷（原卷版）_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年10月试卷

东北师大附中高三年级（数学）科试卷
2024—2025 学年上学期第一次摸底考试
出题人：高三备课组 审题人：高三备课组
考试时长：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题 5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的
   
A x 2x1 3 B  xN x24x0
1. 已知集合 ， ，则
AB 
（ ）
A. B.
C
00,,21,2 
D.
01,,22 
.
1 sincos
2. 已知tan ，则 （ ）
2 sin3cos
2 1 1 1
A. B.  C. D. 
3 7 2 2
 5π 5π
3. 已知角的终边经过点sin ,cos ，则tan（ ）
 6 6 
3 3
A.  3 B. 3 C.  D.
3 3
3
4. 若函数 f  x alnx x既有极大值也有极小值，则实数a的取值范围为（ ）
x
     
A. 0,2 3 B. ,2 3  2 3,
   
C. ,2 3 D. 2 3,
5. 已知函数 f  x  是定义在R上的奇函数，当x0时， f  x 
3ex 1
，则下列说法正确的是（ ）
ex 1
 
A. 函数 f x 有两个零点
ex 3
B. 当x 0时， f  x 
ex 1
C. f

x
0的解集是 ,ln3 
D. mR，x R，使得 f

x
m
0 0
第1页/共4页
学科网（北京）股份有限公司6. 定义在R上的函数 f  x  的导函数为 f x  ，若 f  1 0， f x  f  x  ，则不等式 f  x 0的解集
为（ ）
A.  0, B. 1, C. 0,1 D.  0,1    1,
7. 已知3m 4，4m a4，2m b2，则下列说法正确的是（ ）
A. a b B. ab
C a b D. a  b
.
1
8. 若关于x不等式lnax xb恒成立，则当 ae时，eb1lna的最小值为（ ）
e
1
A. 1 B. e1 C.1 D. e
e
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题 6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 若ba 0，则下列不等式成立的是（ ）
ab 1 1
A. a ab  b B. 
2 a b
log alog b ab
C 2 2 log D. 2ba  ba 2
. 2 2 2
π  2
10. 已知sin    ，则下列说法正确的是（ ）
3  3
 π 5  π 1
A. cos    B. cos2  
 6 3  3 9
C. cos    5π   2 D. 若 0,π  ，cos 2 3 5
 6  3 6
11. 定义在R上的偶函数 f  x  ，满足 f x=f 2x，当x1,0  时， f  x x1，则下列说法正
确的是（ ）
A. f

1
0
2027 1
B. f   
 2  2
C. 函数 y f  x  x1 3的所有零点之和为5
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学科网（北京）股份有限公司   1 
D. f e0.11  f ln 
 1.1
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm，则此扇形的面积为________cm2.
13. 已知函数 f(x)


3x2 1,x0
， f  f 3  0，则实数a的值为______.
ln(x2 ax3),x0
14. 对于函数 f

x

，若在定义域内存在实数x满足 f
x f 
x

，则称函数 f

x

为“局部奇函数”.若
函数 f x 49x m7x12在定义域R上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为________.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列  a  满足：a 1，a a 2  nN* ，数列  b  为单调递增等比数列，b 2，且b ，
n 1 n1 n n 2 1
b ，b 1成等差数列.
2 3
（1）求数列  a  ，  b  的通项公式；
n n
（2）设c a log b ，求数列  c  的前n项和T .
n n 2 n n n
16. 已知函数 f xe2x ex x.
（1）求曲线y  f  x  在点  0, f  0  处的切线方程；
（2）当x1,0 
时，求函数 f

x

的最大值与最小值.
17. 师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水
果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本30x
 34
3x2  ,0 x2,

 3
（单位：元）满足如下关系：W

x

，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且
32x

x,2 x5.
 x1
 
供不应求.水果树单株获得的利润为 f x （单位：元）.
 
（1）求 f x 的函数关系式；
（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
18. 已知函数 f  x  x  ex a  alnx，aR.
（1）当a e时，求函数 f  x  的单调区间与极值；
第3页/共4页
学科网（北京）股份有限公司（2）若函数 f  x  有2个不同的零点x，x ，满足x ex 2 2xex 1，求a的取值范围.
1 2 2 1
19. 对于数列  x  ，若M 0，对任意的nN*，有 x M ，则称数列  x  是有界的.当正整数n无限
n n n
大时，若x n 无限接近于常数a，则称常数a是数列  x n  的极限，或称数列  x n  收敛于a，记为 n l  im  x n a .
单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.
（1）证明：对任意的x1，nN*， 1x n 1nx恒成立；
n n1
（2）已知数列  a
n
 ，  b
n
 的通项公式为：a
n
 
 
1 1
n

 
，b
n
 
 
1 1
n

 
，nN*.
（i）判断数列  a  ，  b  的单调性与有界性，并证明；
n n
（ii）事实上，常数e lim a
n
 lim b
n
，以e为底的对数称为自然对数，记为lnx.证明：对任意的nN*，
n n
n 1 n 1
 ln  n1  恒成立.
k1 k
k1 k1
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