文档内容
2025-2026-1 望城一中高二年级期中考试数学试卷
望城一中数学组
2025.11.3
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡
上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条
形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 为虚数单位，若 为纯虚数，则 （ ）
A. B. 20
C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，然后利用纯虚数的概念求得 ，进而由 求解即可.
【详解】 ，
且 为纯虚数， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．
故选：B．
2. 如图所示，下列频率分布直方图，根据所给图做出以下判断，正确的是（ ）
A. 平均数=中位数=众数 B. 众数<中位数<平均数
C. 平均数<众数<中位数 D. 平均数<中位数<众数
【答案】B
【解析】
【分析】利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断
即可.
【详解】众数是最高矩形底边中点对应的数值，位于左边第二个矩形底边中点，
所有矩形的面积之和为 ，显然前两个矩形的面积之和小于 ，
即众数＜中位数；
又频率分布直方图呈现右拖尾形态，使得平均数受极端值影响会被拉向右侧，大于中位数，
所以众数＜中位数＜平均数.
故选：B.
3. 如图，在斜棱柱 中， 与 的交点为点 ， ， ， ，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可.
【详解】 .
故选：A.
4. 若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱
的高为3，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆柱和圆锥的结构和体积公式进行求解即可.
【详解】设该圆锥的高为 ，圆柱底面半径为 ，圆锥底面半径为 ，
则 ，解得 ，圆锥的体积为 ，
故选：B．
5. 已知 ，则“ ”是“ 为常数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分性、必要性的定义进行求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】设
，所以是必要的；
因为 ， ，所以 ，
为常数，所以是充分的，
故选：C
6. 若 ， ， ，则 在 上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算得 ，进而利用数量积的坐标运算求得 和
，最后代入投影向量公式求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，
所以 在 上的投影向量的模为
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：A
7. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 和 ，则切点弦 所在直线的
方程为（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆， 为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再
由直线 为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解；
【详解】
如图所示，连接 ，
由平面几何知， ， ，点P，A，C，B共圆，且 为直径.
因为 ， ，所以所求圆的圆心为 中点，
即 ，半径为 ，
所以所求圆的方程为 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司又直线 为这两个圆的公共弦所在直线，
由 与 相减，
可得 的方程为 .
故选：A
8. 已知 是椭圆 的两个焦点， P 为 C 上一点，且△ 的内切圆半径为 若 P
在第一象限，则 = （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的定义以及三角形面积公式先求出 的纵坐标，然后根据椭圆方程求出横坐标，最后根
据向量的数量积的坐标公式求出结果.
【详解】根据题意知， .
因为 的内切圆半径为 ，
所以 .
设 ，所以 ，
所以 ，解得 .
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学科网（北京）股份有限公司因为 在椭圆上，且在第一象限，所以满足 ，
解得 ，所以 .
所以 ，所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 的图象关于直线 对称
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学科网（北京）股份有限公司C. 在 上为增函数
D. 把 的图象向右平移 个单位长度，得到一个偶函数的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由已知 ， ，
∴ ，则 ，
∵图象过 ，∴ ，
∴ ， ，又 ，∴ ，
∴ ，
显然 ，∴ 的图象关于点 对称，A正确；
令 ，得 ，∴ 的对称轴为 ，
令 ，得 ，故B错误；
时，令 ， 在 上递增，因此C正确；
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学科网（北京）股份有限公司把 的图象向右平移 个单位长度，得函数表达式为
，它是偶函数，D正确．
故选：ACD．
10. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A. 若向量 与空间任意向量都不能构成基底，则 ；
B. 若非零向量 满足 ， ，则有 ；
C. 若 是空间向量的一组基底，且 ，则 四点共面；
D. 若向量 是空间向量一组基底，则 也是空间向量的一组基底.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据空间向量基底的概念，可判定A正确；举出反例，说明满足 ， ，但
与 不共线，可判定B错误；设 ，结合 ，列出方程组，求
解即可判定C错误；假设 ，列出方程组，求解即可判定D正确.
【详解】对于A，若向量 与空间任意向量都不能构成基底，
即向量 与空间任意向量共面，所以 ，所以A正确；
对于B，若向量 ，
此时满足 ， ，但 与 不共线，所以B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，因 四点共面，等价于存在实数 ，使得 ，
即 ，
可得 ，
因为 ，故需使 ，而此方程组无解，
故 四点不共面，即 C错误；
对于D，假设存在不全为 的实数 ，使得 ，
可得 ，
因为向量 是空间向量的一组基底， 不共面，
所以 ，即 ，
即 线性无关，故它们 可以作为空间向量的基底，所以D正确.
故选：AD.
11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ）
A. 曲线 恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点）
B. 曲线 夹在直线 和直线 之间
C. 曲线 所围成区域面积是 所围成区域面积的5倍
D. 曲线 上任意两点距离都不超过
【答案】AB
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】A选项，分别就 的正负进行分类讨论，画出 表示的图形，找到9个整点，A
正确；B选项，分别就 的正负进行分类讨论，画出 表示的图象，得到B正确；C选
项，在A选项的基础上，求出 和 表示的图形可以分解为一个正方形
和四个半圆，求出所围成的区域面积，得到C正确；D选项，分别就 的正负进行分类讨论，画出
的图形，数形结合，连接两圆心并延长，求出 ，D错误.
【详解】A选项， ， ，有 ，
， ，有 ，
， 时，有 ，
， 时， ，
画出图形，如下：
经过的整点有： ， ， ， ， ， ， ， ， ，共9个，故
A正确；
B选项，曲线 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
画出图形，如下：
其中 ， ，
故 ，则 ，
故曲线 由四个弓形组成，弓形的弓高为 ，
是夹在直线 和直线 之间，又因为 ， ，故B正确.
C选项，由A选项知， 表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，
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学科网（北京）股份有限公司其中正方形边长 ，半圆半径为 ，故其面积为 ，
为
同理，曲线 也可以分解为一个正方形和四个半圆，
其中正方形边长为 ，半圆半径为 ，其面积为 ，
所围成区域面积为 所围成的区域面积的9倍，C错误；
D选项，当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
当 ， ，有 ，即 ，
画出图形，如下：
连接两圆心 并延长，分别与两圆交于 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线 与直线 平行，则平行线间的距离为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】先根据两直线平行的条件求出 的值，再将两直线方程化为 系数相同的形式，最后利用两
平行线间的距离公式计算距离即可.
为
【详解】因 直线 与直线 平行，
所以 ，解得 ，所以直线 可化为 ，
所以两平行直线间的距离是 .
故答案为：
13. 已知函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，且点 在直线 上，
则 的最小值为________．
【答案】8
【解析】
【分析】求得定点 的坐标，进而可得 的关系式，利用不等式中1的妙用可求 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】函数 （ 且 ）的图像恒过定点 ，
因为点 在直线 上，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 .
故答案为： .
14. 已知 为椭圆 上一点， 为圆 ： 上一点，且 的最大值
为6，则该椭圆离心率的最大值为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出圆 的圆心、半径，利用圆的几何性质确定最大值条件，再利用两点间距离公式，借助
一次函数性质求出最大值，进而求出离心率的最大值.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
由 ，得 的最大值为6等价于 的最大值为4，
设 ，由 ，得 ，又 ，则 ，
整理得 在 上恒成立，
当 时，显然不等式在 时恒成立；
当 ，由 在 上，
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学科网（北京）股份有限公司因此 ，即 在 上恒成立，
令 ，由 ，得函数 在 上单调递减，
于是 ，解得 ，则 ，
综上， ，解得 ，
所以椭圆的离心率的最大值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ， ．
（1）求 ；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】（1） ；
（2）选择①无解；选择②和③ ABC面积均为 .
△
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；
（2）选择①，利用正弦定理得 ，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出 ，再
代入式子得 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首
先得到 ，再利用正弦定理得到 ，再利用两角和的正弦公式即可求出 ，最后利用三
角形面积公式即可；
【小问1详解】
由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
【小问2详解】
选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司,
.
则
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，
因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
16. 已知圆 ，直线 ．
（1）设 与圆 交于 ， 两点，若 ，求 的倾斜角；
（2）设 与圆 交于 ， 两点，求 中点 的轨迹方程．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得 的值，则直线 的倾斜角
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学科网（北京）股份有限公司可求；
（2）由 是弦 的中点，所以 ，得弦 的中点 的轨迹.
【小问1详解】
圆 的圆心 ，半径 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
，
，解得 ．
所以直线 的方程为 或 ．
∴直线 的斜率为 ，故直线 的倾斜角为 或 ．
【小问2详解】
直线 ，即 ，
令 ，解得 ，所以直线 过定点 ,
因为 轴，当 为 的中点时 ，则 轴，
所以 的方程为 ，显然不符合题意，
故 不为 的中点，
因为 与圆 交于 两点， 是 的中点，所以 ，
又因为 过定点 ，
所以 ，
所以 中点 的轨迹是以 为直径端点的圆（除点 ）.
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 .
17. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 ，
乙答对每道题目的概率都是 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
（1）若每位面试者都必须回答全部3道题，求甲答3对道题目的概率．
（2）若每位面试者都必须回答全部3道题，求乙恰好答对2道题目的概率．
（3）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据事件的相互独立性即可求解；
（2）根据事件的相互独立性，分三种情况，即可求解；
（3）根据事件的相互独立性，可先求得甲通过面试和乙通过面试的概率，则甲、乙两人只有一人通过面
试的概率分为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过两种情况，分别求解即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司设“甲答对 道题目”为事件 ，
因为甲答对每道题目的概率都是 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
所以 ；
【小问2详解】
设“乙恰好答对 道题目”为事件 ，
又乙答对每道题目的概率都是 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
所以 ；
【小问3详解】
设“甲通过面试”为事件 ，“乙通过面试”为事件 ，且 与 相互独立，
所以 ，
，
设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件 ，则 ，
因为 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，
所以
，
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 .
18. 如图.在四棱锥 中，四边形 是直角梯形. ，且
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学科网（北京）股份有限公司为 中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，点 为 的中点.
【解析】
【分析】（1） 中点为 ，连接 ， ，由勾股定理可得 ，结合 可得
平面 ，即 ，又由 即可证明 平面 ；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，然后利用待定系数法求出平面 与平面
的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可.
【小问1详解】
记 中点为 ，连接 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则四边形 为正方形，且根据勾股定理得 ，
所以 ，则 ，所以 .
又因为 ， ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）知， 平面 ，且 .
以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ，则 ，
则 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设平面 与平面 的法向量分别为 和
则 ，令 ，得 .
，令 ，得 .
设平面 与平面 的夹角为 ， ，
则 ，解得 .
因此存在点 为 的中点，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 .
19. 已知椭圆 过点 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的右焦点 作两条相互垂直的直线 与 分别交于 四点，设线段
的中点分别为 ．
①证明：直线 过定点；
②求四边形 面积的最小值．
【答案】（1） ；
（2）①过定点 ，证明见解析；② .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据椭圆过点 和离心率 直接可得椭圆方程；
（2）①根据直线 的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定
点.
②由弦长公式可得 ，再由 直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最不小值.
【小问1详解】
因为椭圆 过点 ，离心率 ，且 .
所以 ， ，即 ，得 ，
代入 ，得 ，即 ，所以 .
故椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
①当直线 的斜率存在且不等于零时，设斜率为 ，因 ，所以直线 的斜率为 .
因为右焦点 ，直线 的方程为 ，设 .
由 ，消去 得， .
， ， .
所以线段 的中点M的坐标 ， ，即
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学科网（北京）股份有限公司.
同理将直线 的方程 ，代入椭圆方程 ，同理可得（只需将 换成 ），
所以线段 的中点N的坐标 ， ，即 .
所以 的斜率 ，其中 ，直线 的方程为
，化简 ，即
所以当 ，直线 ： 过定点 .如图：
当 时， ，此时直线 与 轴垂直且过定点 ；
当 时， ，此时直线 仍与 轴垂直且过定点 ；
当直线 的斜率不存在时， 与与 轴垂直且过焦点 ，根据椭圆的对称性可知 ，
此时 为椭圆的长轴，所以 ，所以直线 为 轴，过定点 ；
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学科网（北京）股份有限公司当直线 的斜率为0时， 与与 轴垂直且过焦点 ，根据椭圆的对称性可知 ，
此时 为椭圆的长轴，所以 ，所以直线 为 轴，过定点 ；
综上可知，直线 过定点 .
②当直线 的斜率存在且不等于零时，
由①可知，
同理可得（只需将 换成 ） ，因为 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立，即 时，四边形 面积有最小值 .
当直线 的斜率不存在时，或者斜率等于零时 与 位置互换，
此时， ， 或者 ，
所以 ，显然 .
综上可知，所以四边形 面积有最小值 .
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