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龙东十校联盟高二学年度月考
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是（ ）
A. 0 B.
C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】利用直线倾斜角的定义即可得解.
【详解】因为直线 与 轴垂直，因此直线 的倾斜角是 ．
故选：C．
2. 已知一组样本数据为 、 、 、8、 、 ，则这组数据的第75百分位数是（ ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据样本百分位数的定义，即可求解.
【详解】由 ，可知第75百分位数是第5个数，即为10.
故选：B.
3. 两条平行直线 与 间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用两条平行直线的距离公式计算即可.
【详解】直线 的方程化为 ，则 与 间的距离
.
故选：D.
4. 方程 表示圆，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆的一般方程的定义计算判断.
【详解】因为方程 表示圆，
则 或 .
故选：A.
5. 甲、乙两人独立正确解答一道数学题的概率分别是 、 ，假定两人是否正确解答互不影响，则甲、
乙两人至少有一人正确解答这道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对立事件的概率求解即可.
【详解】两人至少有一人正确解答这道题的对立事件为两人都没有正确解答这道题，
所求概率为 .
故选：D.
6. 当点 到直线 的距离取最大值时， 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直线 的方程化为点斜式，确定直线所过的定点；当点 到直线 的距离最大时，直线 与 和定
点的连线垂直，通过斜率关系求解 的值.
【详解】∵直线 ，可变形为 ，恒过定点 ，
∴当点 到直线 的距离取最大值时， .
直线 的斜率 ，
直线 的斜率为 ，且 ，
两直线斜率之积为 ，即 ，代入 可得： ，解得 .
故选：C.
7. 班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》.若从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了
《数学史》 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出样本空间的样本数和恰好2人都选修了《数学史》的样本个数，再利用古典概率公式，即
可求解.
【详解】由题知班上有5名数学爱好者，其中3人选修了《数学史》，
记选修了《数学史》的3人为 ，其余的2人为 ，
从5人中选取 人有： ，共有10种情况，
恰好2人都选修了《数学史》的有 ，共3种情况，
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学科网（北京）股份有限公司所以从这5人中随机选出2人，则恰好2人都选修了《数学史》的概率为 .
故选：A.
8. 已知圆 : ，定点 ， 为 轴上一动点， 为圆 上一动点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数形结合，结合圆的性质以及点关于直线的对称点的性质，转化为三点共线问题，即可求解.
【详解】圆 : 的圆心 ，半径
，当 、 、 三点共线（ 点在 、 两点之间）时，取等号，
点 关于 轴的对称点为 ， ，
当 、 、 三点共线时，取等号.
所以 的最小值为 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某班50个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数
据，则（ ）
A. 新数据与原数据的平均数相同 B. 新数据与原数据的方差相同
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学科网（北京）股份有限公司C. 新数据与原数据的中位数相同 D. 新数据与原数据的极差相同
【答案】BD
【解析】
【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义逐一判断即可.
【详解】设50个同学的数学成绩构成一组数据（原）数据： ，
它们的平均数为 （由实际意义可知 ），方差为 ，
得到的新数据为： ，它们的平均数为 ，A错误；
新数据的方差：
，B正确；
因为 ，所以新数据与原数据的中位数相差 ，C错误；
新数据与原数据的极差相同，D正确.
故选：BD
10. 一个袋子中有大小相同，标号分别为1，2，3，4的4个小球．采用不放回方式从中任意摸球两次，一
次摸一个小球．设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件
C=“两次摸出球的标号都是偶数”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用古典概型的概率计算方法求相应事件的概率，判断各项是否正确即可.
【详解】由题意，摸球两次的样本空间
事件 ，
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学科网（北京）股份有限公司事件 ，所以 ，
，
所以 ， ， ， .
故选：AC
11. 在平面直角坐标系 中，已知 、 为圆 上两动点，点 ，且 ，
为 中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点 在圆 内
B.
C. 点 的轨迹方程为
D. 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A由 得到；B由垂径定理知 ；C先得到 ，令 ，则
，即可得；D确定 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，故
，所以 .
【详解】A．由 ，则点 在圆 内，正确.
B．因为 为弦 的中点，由垂径定理知 ，正确.
C．由 得 且 ，
令 ，则 ，整理得 ，错误.
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学科网（北京）股份有限公司D．点 的轨迹方程化为 ，即 轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
故 ，又 ，即 在圆 内，
故 ，而 ，所以 ，正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一组样本数据为2、3、1、1、0、2、1、 0 ，则这组数据的众数为_______.
【答案】1
【解析】
【分析】由众数的定义即可得.
【详解】由众数的定义知：这组数据的众数为1.
故答案为： .
13. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取 200部，统计其评分数据，将所得 200个评分数据分为6组：
， ， ， ， ， ，并整理得到如下的频率分布直方图：
的
则评分在区间 内 影视作品数量是__________部.
【答案】85
【解析】
【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间 内的频率，进而得到影视作品数量.
【详解】评分在区间 内的影视作品数量是 部.
故答案为：85.
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学科网（北京）股份有限公司14. 已知 的顶点 ，边AC上的高所在直线方程为 ， 的角平分线所在
△
直线方程为 ，则顶点C的坐标为_________；直线BC的方程为___________
.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】首先设边AC上的高为BH，根据垂直关系得到 ，利用点斜式得到 ，
再联立方程求解顶点C的坐标.设 的角平分线为CM，得到点 关于CM的对称点为
，再求直线 方程即可.
【详解】设边AC上的高为BH，它所在直线方程为 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ 的顶点 ，∴直线AC方程： ，即 .
与 联立， ，解得：
所以顶点C的坐标为 ；
设 的角平分线为CM，它所在直线方程为 ，
设点 关于CM的对称点为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 在直线BC上，
所以直线BC的方程为 ，即 .
故答案为： ，
四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了 200名学生的数学成绩，
将成绩分为 ，共6组，得到如图所示的频率分
布直方图.
（1）求实数 的值.
（2）在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在 内的学生中抽取13名，问其中成绩在
的学生有几名？
（3）根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分.
【答案】（1）
（2）2 （3）98
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1求 的值.
（2）根据分层抽样的方法求解.
（3）利用频率分布直方图估计平均数即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司由频率分布直方图知：
，
解得 .
【小问2详解】
采取分层抽样，[130,150]的学生个数为： ，
即成绩在 的学生有2名.
【小问3详解】
由频率分布直方图知：
平均数为： .
16. 已知 ， 两点，直线 过点 且与直线 平行.
（1）求直线 的方程.
（2）若圆C经过 、 两点，且圆心C在直线 上，求圆C的标准方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线 和直线 平行，可求直线 的斜率，进而可得所求直线方程；
（2）根据圆的几何性质可得圆心的坐标，再求圆的半径，从而得圆的标准方程.
【小问1详解】
∵直线 的斜率为 ，且直线 ，
∴直线 的斜率为 ，且过 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
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学科网（北京）股份有限公司故直线 的方程为 .
【小问2详解】
设线段 的中点为D，由 ， ，可得 ，
又因 ，所以线段 的垂直平分线的斜率 .
因此线段 的垂直平分线方程为 ，即 ．
因圆心C既在线段 的垂直平分线上，又在直线 上，
所以解方程组 ，解得 ，
所以圆心 ，圆的半径 ．
故所求圆的标准方程是 ．
17. 学校体育教研组创作了一项新的课间“健身操”项目，为了解学生对该项目是否支持，对学生进行简单
随机抽样调查，获得数据如下表：
人数
支持 不支持
性别
男生 400 200
女生 300 100
假设每个学生对该项目是否支持是相互独立的.
（1）从该校全体男生、全体女生中各随机抽取1人，求2人都支持该项目的概率.
（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持项目的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先利用古典概型分别求出男生和女生支持项目的概率，再根据相互独立事件的概率公式求
解即可；
（2）根据相互独立事件的概率公式求解即可.
【小问1详解】
记“该校男生支持项目”为事件A，“该校女生支持项目”为事件B，
则： ， ，
∵A与B相互独立，
∴ ；
【小问2详解】
设“抽取的2个男生和1个女生中，支持项目的恰有2人”为事件C，
则 ，
这3人中恰有2人支持项目的概率为 .
18. 如图，在四棱锥 中， ， ，平面 平面 ， 为 的中
点， ，且 .
（1）求证： 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）求证： 平面 .
（3）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形 为平行四边形， ，得到线面平行；
（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，故 ，又 ，证明出结论；
（3）取 的中点 ，连接 ，得到 两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，
利用法向量夹角余弦公式求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
【小问1详解】
取 中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 且 ，
又 ， ，
∴ 且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
在四棱锥 中，连接 ，由 ， ，得 ，
而 ，则 为等边三角形，取 中点 ，连接 ，则 ，
由平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
得 平面 ，而 平面 ，则 ，
又 ， 与 相交， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问3详解】
取 的中点 ，连接 ，
为等边三角形，故 ， ， ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
即 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由 ，
得 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司显然 为平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
解得 ，令 得 ，故 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 .
19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值 的点的轨迹
是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中，
定点 、 ，动点 满足 ，则 的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆 .
（1）求圆 的方程.
（2）如图，过点 斜率为 的直线 与圆 相交于 ， （点 在 轴上方），点 ， 是不在
直线 上的两点，满足 平分 ， 平分 .
（ⅰ）求 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司（ⅱ）将点 、 、 看作一个阿氏圆上的三点，若 外接圆的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）设动点 ，根据条件建立方程 ，化简即可求
解；
（2）（i）根据题设条件得 ，令 ，进而有 ，设 ，利用
点在圆上，得 ，再结合 ，即可求解；（ii）根据条件得到 在以
为定点的阿氏圆上，再结合题设条件求得 的坐标，即可求解.
【小问1详解】
设动点 ，因为 、 ，又 ，
得 ，化简整理得： ，
的
所以圆 方程为 .
【小问2详解】
（ⅰ）由 ，
又 ，所以 ，令 ，则 ，
设 ，则有 ，又直线 的斜率 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又由 ，得 ，代入 ，
得到 ，即 ，
∵ ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，
故 的取值范围 .
（ⅱ）由（ⅰ）有 ，由阿氏圆定义知 在以 为定点的阿氏圆上，
设此阿氏圆圆心为 ，半径为 ，与直线 的另一个交点为 ，
则有 ，即 ，整理得到 ，
又 ，解得 ，∴ ，
又 ，
∴ ，
设 ，则 ，整理得到 ，
解得 或 （舍去），
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学科网（北京）股份有限公司由 ，解得 ， ，
∴ ，则直线 的方程为 ，即 .
第18页/共18页
学科网（北京）股份有限公司
