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2023—2024 学年度（下）七校协作体高二联考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 在正项等比数列 中，已知 ， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
2. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与 的关系可以用模型
拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知
， ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
3. 图1是第七届国际数学教育大会（简称 ）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一
连串直角三角形演化而成的，其中 ，如果把图2中的直角三角形继续
作下去，则第 个三角形的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
4. 下列说法中正确的有（ ）
A. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的 分位数可能
等于原样本数据的 分位数；
B. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ，则 组数据比 组数据的线性相关
性强；
C. 设随机变量 ，则 ；
D. 某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，
否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3
5. 已知函数 ，曲线 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线
平行，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件A，“第二次向上的点数是奇数”为事
件B，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件C，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互为对立事件 B.
C. D. 事件B与事件C相互不独立
第2页/共6页
学科网（北京）股份有限公司7. 设数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 是等比数列
B. 成等差数列，公差为
C. 当且仅当 时， 取得最大值
D. 时， 的最大值为33
8. 设函数 ，若不等式 恰有两个整数解，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 是等差数列， ，则使 的最大正整数 的值为15
B. 若 是等比数列， （ 为常数），则必有
C. 若 是等比数列，则
D. 若 ，则数列 为递增等差数列
的
10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映 《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十
条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件 为“恰有两名同学所看电影相同”，事件 为“只有甲
同学一人看《飞驰人生2》”，则（ ）
A. 四名同学看电影情况共有 种
B. “每部电影都有人看”的情况共有72种
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C
D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是
11. 已知函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 存在唯一极值点 ，且
B. 令 ，则函数 无零点
C. 若 恒成立，则
D. 若 ， ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则使 的最小正整数 的值是
______．
13. 函数 .对于 ，都有 ，则实
数 的取值范围是______.
14. 已知有 两个盒子，其中 盒装有3个黑球和3个白球， 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除
的
颜色外完全相同．甲从 盒、乙从 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出 2个球
全部放入 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入 盒中．按上述方法重复操作两次
后， 盒中恰有7个球的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 ，若函数 在 上为增函数，求实数 的取值范围．
16. 已知数列 为等差数列， ， ，数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，
①求 ；
②若 对 恒成立，求实数 的取值范围．
17. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假
期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下 列联表：
性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计
男生 7
女生 16 30
合计 21
注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．
（1）请完成上面 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经
常性有关系；
的
（2）将一周参加锻炼为0小时 称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”.
以样本频率估计概率.若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为X，求X的数学期望 和
方差 ；
（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，
其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行
访谈，设抽取的3人中男生人数为Y，求Y的分布列和数学期望．
附： ，
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0
0.1 0.01
05
2.706 3.841 6.635
18. 已知函数 ，常数 ．
（1）当 时，函数 取得极小值 ，求函数 的极大值．
（2）设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，当 时，若
在 内恒成立，则称点 为 的“类优点”，若点 是函数 的“类优点”．
①求函数 在点 处的切线方程．
②求实数 的取值范围．
19. 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
（1）已知等比数列{a}满足： ，求证：数列{a}为“M-数列”；
n n
（2）已知数列{b}满足： ，其中S 为数列{b}的前n项和.
n n n
①求数列{b}的通项公式；
n
②设m为正整数，若存在“M-数列” ，对任意正整数k，当 时，都有 成立，求m的
最大值.
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