文档内容
湖北省部分高中协作体2024--2025学年下学期五月联考
高二数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3。若[x-2]=-1,则x的取值
范围为 (D)
A.(0,1] B.[0,1)
C.(1,2] D.[1,2)
{ x−2<0,
解析 由题意得 解得1≤x<2。故选D。
x−2≥−1,
2.若α=3 rad,则下列说法正确的是 (B)
A.sin α0>cos α,故A错误,B正确,D错误;因为
4
y=tan x在(π )上单调递增,所以tan α>tan3π=-1,故C错误。故选B。
,π
2 4
3.如图,在平行四边形ABCD中,F是BC的中点,⃗CE=−2⃗DE,若⃗EF=x⃗AB+ y⃗AD,则x+y=
(C)
A.1 B.6
1 1
C. D.
6 3
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以⃗AB=⃗DC,⃗AD=⃗BC,因为⃗CE=−2⃗DE,所以
2 1 2 1
⃗EF=⃗EC+⃗CF= ⃗AB− ⃗AD,又因为⃗EF=x⃗AB+ y⃗AD,⃗AB,⃗AD不共线,所以x= ,y=- ,所
3 2 3 21
以x+y= 。故选C。
6
4.已知正方体ABCD⁃A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2,则三棱锥A⁃B
1
CD
1
的体积为 (A)
8 4
A. B.
3 3
C.4 D.6
解析 如图,
三 棱 锥 A⁃ B
1
CD
1
是 由 正 方 体 ABCD⁃ A
1
B
1
C
1
D
1
截 去 四 个 小 三 棱 锥
A⁃ A 1 B 1 D 1 ,C⁃ B 1 C 1 D 1 ,B 1⁃ ABC,D 1⁃ ACD 得 到 的 , 又 V =23=8,
ABCD⁃A
1
B
1
C
1
D
1
1 1 4 4 8
V =V =V =V = × ×23= ,所以V =8−4× = 。
A⁃A 1 B 1 D 1 C⁃B 1 C 1 D 1 B 1⁃ABC D 1⁃ACD 3 2 3 A⁃B 1 CD 1 3 3
故选A。
5.在四面体ABCD中,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2,则异面直线AB与CD所成角的余弦值
为 (B)
√2 √2
A. B.
3 4
√14 √2
C. D.-
4 4
解析 取BD的中点O,连接AO,OC,由CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=√2,得AO⊥BD,CO⊥BD,
且OC=√3,AO=1。在△AOC中,AC2=AO2+OC2,故AO⊥OC,又BD∩OC=O,BD,OC 平面BCD,
所以AO⊥平面BCD,以OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角
⊂
坐标系,如
图所示,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,√3,0),D(-1,0,0),所以⃗AB=(1,0,-1),⃗CD=(-1,-√3,0),设异面直线AB
与CD所成角为θ,则cos θ=|⃗AB·⃗CD| 1 √2,即异面直线AB与CD所成角
= =
|⃗AB||⃗CD| √2×√1+3 4
√2
的余弦值为 。故选B。
46.已知点A,B,C为椭圆D的三个顶点,若△ABC是正三角形,则D的离心率是 (C)
1 2
A. B.
2 3
√6 √3
C. D.
3 2
解析 无论椭圆焦点位于x轴还是y轴,根据点A,B,C为椭圆D的三个顶点, ABC是正三角
2 √6 △
形,可得2b=√a2+b2,即a2=3b2,故a2=3(a2-c2),2a2=3c2,则e2= ,所以e= 。故选C。
3 3
7.在数列{a}中,a=2,2a =2a+n,则a 等于 (A)
n 1 n+1 n 9
A.20 B.30
C.36 D.28
n 8 7
解析 因为a=2,2a =2a+n,所以a -a= ,所以a=(a-a)+(a-a)+…+(a-a)+a= + +…+
1 n+1 n n+1 n 9 9 8 8 7 2 1 1
2 2 2
1 1+2+…+7+8 1 (1+8)×8
+2= +2= × +2=20。故选A。
2 2 2 2
1 1
8.若函数f(x)=3x+ -3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切线l,且直线l与直线y=- x+2
x 2
互相垂直,则实数t= (D)
1
A. B.e2
e
1 1
C. 或2√e D. 或4√e
e e
1
解析 由题意得,直线l的斜率为2,f'(x)=3- ,由f'(x)=2,解得x=1或x=-1(舍去),因为f(1)=3+1-
x2
3=1,所以直线 l 的方程为 y=2x-1。g'(x)=t(x+1)ex,设函数 g(x)=txex与直线 l 切于点(x,y),则
0 0
2x −1
{2x −1=tx ex 0,
{
x
0 =tex 0,
2x −1 2
0 0 得 0 即 0 = ,整理得 2x2-x
0
-1=0,解得 x
0
=1 或
2=t(x
0
+1)ex 0, 2
=tex 0,
x
0
x
0
+1 0
x +1
0x 0 =-1,则et=1或-1 e − 1 2t=2× ( − 1)-1,得t=1或t=4 √e 。故选D。
2 2 2 e
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某单位员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,现用分层随机抽样的方法从总体中
1
抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ,下列结论正确的是
45
(AC)
A.C组人数为10人 B.C组人数为45人
C.单位人数为100人 D.单位人数为450人
解析 因为员工按年龄分为A,B,C三组,其人数之比为5∶4∶1,所以从中抽取一个容量为20的
1 1
样本,则抽取的C组人数为 ×20= ×20=2,设C组员工总数为m,则甲、乙二人均被
1+4+5 10
抽到的概率为 C 2 2 = 2 = 1 ,即m(m-1)=90,解得m=10。设单位员工总数为 x,则由
C2 m(m−1) 45
m
10 1 1
= = ,可得x=100。故选AC。
x 5+4+1 10
10.下列说法正确的有 (ABC)
A.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则点(k,b)在第二象限
B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)
C.过点(2,-1),斜率为-√3的直线的点斜式方程为y+1=-√3(x-2)
D.斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x±3
解析 A中,直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则k<0,b>0,所以点(k,b)在第二象限,故A正确;
B中,直线可写为y-2=a(x-3),所以直线过定点(3,2),B正确;C中,过点(2,-1)且斜率为-√3的点斜
式方程为y+1=-√3(x-2),故C正确;D中,斜率为-2,在y轴上截距为3的直线方程为y=-2x+3,故
D错误。故选ABC。
11.已知数列{a}满足a=4n+λ(-2)n+1。若对任意n∈N*,都有a >a 成立,则整数λ的值可能是
n n n+1 n
(BC)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
解析 因为a >a 对任意n∈N*恒成立,即4n+1+λ(-2)n+2>4n+λ(-2)n+1对任意n∈N*恒成立,所以
n+1 n当n为奇数时,4n+1-λ2n+2>4n+λ2n+1,即(2n+1+2n+2)λ<4n+1-4n,则λ<3×4n=2n-1对所有的n为奇数恒成
6×2n
立,当n=1时,2n-1取得最小值1,所以λ<1;当n为偶数时,4n+1+λ2n+2>4n-λ2n+1,即(2n+1+2n+2)λ>4n-4n+1,
则λ>−3×4n =-2n-1对所有的 n为偶数恒成立,当n=2时,-2n-1取得最大值-2,所以λ>-2。综
6×2n
上,-2<λ<1。故选BC。
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区
里有一条平行于AO的小路CD。已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C
用了3分钟。若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为 5 0√7 米。
解析 连接OC(图略),由题意,知CD=150米,OD=100米,∠CDO=60°。在△COD中,由余弦定
理,得OC2=CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°,即OC=50√7米。
x2 y2
13.双曲线 − =1的右顶点为A,右焦点为F。过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直
9 16
32
线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为 。
15
4
解析 因为a2=9,b2=16,所以c=5,且渐近线为y=± x。所以A(3,0),F(5,0),不妨设直线BF的方
3
程为y=4(x-5),代入双曲线方程解得B(17
,−
32)。所以S
AFB
=1|AF|·|y
B
|=1
×2×
32
=
32
3 5 15 2 2 15 15
△
。
14.设实数λ>0,对任意的x>1,不等式λeλx≥ln x恒成立,则λ的取值范围为 [1 ) 。
,+∞
e
解析 由题意,得eλx·λx≥xln x=eln x·ln x,令f(t)=tet,t∈(0,+∞),则f'(t)=(t+1)et>0。所以f(t)在(0,+∞)
ln x ln x
上单调递增,又 f(λx)≥f(ln x),即当 x∈(1,+∞)时,λx≥ln x,即 λ≥ 恒成立,令 g(x)=
x x
1−ln x
,x∈(1,+∞),则g'(x)= ,所以在(1,e)上,g'(x)>0,g(x)单调递增;在(e,+∞)上,g'(x)<0,g(x)单调递
x21 1
减,所以g(x)≤g(e)= ,故λ≥ 。
e e
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。
解 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2√3b 的 解 集 为 (-1,3), 所 以 方 程 -3x2+a(6-a)x+6-b=0 的 两 根 为 -1,3, 所 以
{
a(6−a)
(−1)+3= ,
3 {a=3±√3,故a的值为3± ,b的值为-3。
解得 √3
6−b b=−3。
(−1)×3=− ,
3
16.（本小题满分15分）
如图所示,A是△BCD所在平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点。
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角。
解 (1)证明:假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC
共面,所以A,B,C,D四点在同一平面内,这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾。故直线
EF与BD是异面直线。
(2)取CD的中点G,连接EG,FG,则AC∥FG,EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即异
面直线 EF与BD所成的角(或其补角)。又因为 AC⊥BD,则FG⊥EG。在Rt EGF中,由
1 △
EG=FG= AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°。
217.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系Oxy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴
交于点C。
(1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由;
(2)试确定:过A,B,C三点的圆是否过定点。
解 由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0,设A(x,0),B(x,0),可得Δ=m2-8m>0,则
1 2
m<0或m>8,x+x=m,xx=2m。令x=0,得y=2m,即C(0,2m)。
1 2 1 2
(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则⃗AC·⃗BC=0,即xx+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)
1 2
或m=-1。此时C(0,-1),AB的中点M( 1 )即圆心,半径r=|CM|=√17,故所求圆的方程为
− ,0
2 4 4
( 1) 2 17。
x+ + y2=
4 16
(2)设过A,B两点的圆的方程为 x2+y2-mx+Ey+2m=0,将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,所以过
A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0。整理得 x2+y2-y-m(x+2y-2)=0。令
2
{x= ,
{x2+ y2−y=0, {x=0, 5 故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和(2 4)。
可得 或 ,
x+2y−2=0, y=1 4 5 5
y= ,
5
18.（本小题满分16分）
已知数列{a}是等差数列,a=1,且a,a,a-1成等比数列。给定k∈N*,记集合{n|k≤a≤2k,n∈N*}
n 1 1 2 5 n
的元素个数为b。
k
(1)求b,b 的值;
1 2
(2)求满足b+b+…+b>2 025的最小自然数n的值。
1 2 n
解 (1)设数列{a}的公差为d,因为a,a,a-1成等比数列,所以a(a-1)= ,即1×(1+4d-1)=(1+d)2,
n 1 2 5 1 5 a2
2
即4d=(1+d)2,解得d=1。所以a=n。因为{n|k≤a≤2k,n∈N*},所以当k=1时,集合{n|1≤n≤2,n∈N*}
n n
={1,2},所以该集合中元素的个数b=2,当k=2时,集合{n|2≤n≤4,n∈N*}={2,3,4},所以该集合中元
1素的个数b=3。
2
2(1−2n ) n(n+1) n2 n
(2)结合(1)知 b=2k-k+1,所以 b+b+…+b= − +n=2(2n-1)- + 。当 n=10
k 1 2 n
1−2 2 2 2
n2 n n2 n
时,2(2n-1)- + =2 001<2 025,当n=11时,2(2n-1)- + =4 039>2 025,记T=b+b+…+b,显
n 1 2 n
2 2 2 2
然数列{T}是递增数列,所以所求n的最小值是11。
n
19.（本小题满分16分）
已知函数f(x)=aln x-√x(a∈R)。
(1)若f(x)≤0,求实数a的取值范围;
n
(2)证明: 1 -1(n∈N*)。
∑❑ >√n+1
k=1
ln(k2+k)
a 1 2a−√x
解 (1)因为 f'(x)= − = 。当 a=0 时,f(x)=-√x<0,符合题意。当 a<0 时,
x 2√x 2x
f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,而f( 1 )=1-√ 1>0,不合题意。当a>0时,令f'(x)>0,得04a2,即f(x)在(0,4a2)上单调递增,在(4a2,+∞)上单调递减,所以f(x) =f(4a2)=aln(4a2)-
max
≤0,解得0 1 =√n+1−√n , 所 以 ∑ n ❑ 1 >( √2 -1)+( √3−√2 )+…+(
ln(n2+n) √n+1+√n
k=1
ln(k2+k)
√n+1−√n)=√n+1-1,故原不等式成立。
