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2025-2026 学年上海市六校
（复旦复兴、控江、市西、松江二中、奉贤、金山）
联考高三（上）期中数学试卷
一、填空题：本题共12小题，共54分.
1. 函数 的零点为___________；
2. 设平面向量 ，若 不能组成平面上的一个基底，则 ___________；
3. 已知一组数据： 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.
4. 设 ，若复数 在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集
合为___________；
5. 若 ， ， ，则 的最小值为________．
6. 若 满足 ，则曲线 在点 处切线的倾斜角
为__________.
7. 设直线 与椭圆 相交于 两点，且 的中点为 ，则直线 的斜率
为___________．
8. 若 ，则集合B的子集的个数为______；
9. 在 中， 是 边的中点.若 ， ， ，则
______________．
10. 已知 ，是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于任意 ， ___________；
11. 设 ，
的最小值为___________；
12. 已知A，B两点在曲线 上，C，D两点在曲线 上，给出下列四个结论：
① 的最小值为 ；
②当 与坐标轴平行时， 最小值为2；
③当四边形 为正方形时，设正方形面积为S，则 ；
④当直线 均为曲线 和 的公切线时，线段 的中点在 轴上．
其中所有正确结论 的序号是______．
二、单选题：本题共4小题，共18分.
1. “ ”是“ ”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整
个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的
理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量
与时间 （小时）的关系为 （ 为最初污染物数量，且 ）.如果
前4个小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要（ ）
A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时
3. 设 ， ．若对任意 ，均存在 ，使得函数
在 是单调函数，则 的取值可能是（ ）．A. B. C. D.
4. 已知， ， ，C在函数 ， 图像上，则下列判断错误的是（ ）
A. 存在 ，使得 的点C有且只有一个
B. 任意 ，使得 的点C至少一个
C. 存在 ，使得 的点C有且仅有两个
D. 任意 ，使得 的点C最多两个
三、解答题：本题共5小题，共78分.
17. 已知等比数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18. 某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据
后，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在 的称为“轻度超标日”，PH值在 的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽
取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.
19. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧 上一动点（点P与点B，C不重合），
E为弧 的中点， .
（1）证明： ；
（2）若平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，求此时点D到平面 的
距离.
20. 已知曲线 ，第一象限内点 在曲线 上. 、 ，连接 并
延长与曲线 交于 点， .以 为圆心， 为半径的圆与线段 交
于点 ，记 ， 的面积分别为 ， .
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，求证 ；（3）求 的最小值.
21. 给定函数 ，若过点 恰能作曲线 的 条切线 ，则称 是 的
“ 秩点”，切点的横坐标为 的“ 秩数”.
（1）若 是函数 的“ 秩点”，求其“ 秩数”；
（2）证明： 是函数 的“0秩点”；
（3）记使函数 的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为 .证明：对 ，
，且 ，有 .
2025-2026 学年上海市六校
（复旦复兴、控江、市西、松江二中、奉贤、金山）
联考高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1. “ ”是“ ”的（ ）
A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若 ，则 ，即 ，得不出 ，如，
所以“ ”不是“ ”的充分条件；
若 ，则 ，可得 ，即 ，
所以“ ”是“ ”的必要条件；
所以“ ”是“ ”的必要而不充分条件，
故选：A．
2. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整
个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的
理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量
与时间 （小时）的关系为 （ 为最初污染物数量，且 ）.如果
前4个小时消除了 的污染物，那么污染物消除至最初的 还需要（ ）
A. 3.8小时 B. 4小时 C. 4.4小时 D. 5小时
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，再令 ，解出可得 ，即可得解.
【详解】由题意可知 ，即有 ，
令 ，则有 ，解得 ，
，故还需要4小时才能消除至最初的 .
故选：B.
3. 设 ， ．若对任意 ，均存在 ，使得函数在 是单调函数，则 的取值可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而 的单调性是已知的，我们就
对 任 意 可 能 包 含 在 时 ， 会 导 致 不 单 调 ， 此 时 则 需 要
必须单调，从而去验证 在区间 的单
调性，从而问题可得解.
【详解】由于这两个函数都是周期为 的函数，则下面只考虑在区间 上进行分析研究，
因为 在区间 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递
增，
而题意要求对任意 ，均存在 ，使得函数 在 是单调函数，
所以只需要 在区间 是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足 时取值，
故 ，根据余弦函数的单调性，若满足 ，解得 ，
若满足 ，解得 ，
若满足 ， 无解，
故 必满足题意，而 ，则ABC错误；
故选：D．
4. 已知， ， ，C在函数 ， 图像上，则下列判断错误的是（ ）
A. 存在 ，使得 的点C有且只有一个
B. 任意 ，使得 的点C至少一个
C. 存在 ，使得 的点C有且仅有两个
D. 任意 ，使得 的点C最多两个
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，函数 为双曲线 的一部分（如图 ），求出
直线 ，再求出与函数 ， 图象相切的直线 ，过点 与
直线 平行的直线为 ，分别求出特殊情况下 的值，即可判断.【详解】根据题意， ， ，则 ， ，
函数 为双曲线 的一部分（如图 ），
因为双曲线的渐近线为 ，所以直线 与函数图象交于一点，
设直线 与函数 ， 图象相切，
联立方程组 ，得 ，
令 ，得 ，
由图可知， ，
此时直线 与 间的距离为 ，又 ，
当点C为切点 时， ，
又过点 与直线 平行的直线为 ，其与直线 的距离为 ，
所以当点C为 或 时， ，
所以当 时，使得 的点C有且只有一个，A正确；由于函数 ， 图象向右向上无限延伸，
所以点C到直线 的距离可以无限大，
从而任意 ，使得 的点C至少一个，B正确；
当 ，或 时，使得 的点C有且仅有两个，C正确；
而当 时，使得 的点C有三个，故D错误.
故选：D
二、填空题：本题共12小题，共54分.
5. 函数 的零点为___________；
【答案】
【解析】
【分析】求解出 的解，结合定义域可知结果.
【详解】令 ，解得 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 的零点为 ，
故答案为： .
6. 设平面向量 ，若 不能组成平面上的一个基底，则 ___________；
【答案】2
【解析】
【分析】由向量不能组成基底得向量共线，进而可得.【详解】因为 不能组成平面上的一个基底，所以 ，得 ，解得 .
故答案为：2.
7. 已知一组数据： 的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为________.
【答案】
【解析】
【分析】由平均数的定义算出 ，再由百分位数的定义即可求解.
【详解】依题意， ，解得 ，
将数据从小到大排列可得： ，
又 ，则 分位数为 .
故答案为： .
8. 设 ，若复数 在复平面内的对应点在第三象限，则x的取值集
合为___________；
【答案】 .
【解析】
【分析】应用复数的几何意义得出不等关系，再应用对数运算计算求解.
【详解】因为复数 在复平面内的对应点 在第三象限，
则 ，所以
则x的取值集合为 ；
故答案为： .9. 若 ， ， ，则 的最小值为________．
【答案】32
【解析】
【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为32．
故答案为：32
10. 若 满足 ，则曲线 在点 处切线的倾斜
角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】结合导数定义与导数的几何意义计算即可得.
【详解】 ，
设其倾斜角为 ，则有 ，又 ，故 .故答案为： .
11. 设直线 与椭圆 相交于 两点，且 的中点为 ，则直线 的斜
率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用点差法求解即可．
【详解】设 ， ，则 ， ，
所以 ，也即 ，
因为 ， 的中点为 ，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，经检验满足题意．
故答案为：
12. 若 ，则集合B的子集的个数为
___________；
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合 ，再根据子集个数公式计算求解.【详解】因为 ，
所以 ，
则集合B的子集为 ，所以子集的个数为 ；
故答案为： .
13. 在 中， 是 边的中点.若 ， ， ，则
______________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用余弦定理计算 ，再利用 做基底计算即可.
【详解】如图所示，
由题意得，因为 ， ， ，
所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：
，
所以 ，
又D是BC中点，所以 ，所以 .
故答案为： .
14. 已知 ，是空间单位向量， ，若空间向量 满足 ，且对于
任意 ， ___________；
【答案】
【解析】
【分析】问题等价于 ，当且仅当 时取到最小值 ，通过平方的方
法，结合最值的知识求得正确答案.
【详解】 ，又 ，所以 ，
对于任意 成立，
等价于 ，当且仅当 时取到最小值 ，则 ，解得 .
故答案为： .
15. 设 ，
的最小值为___________；
【答案】
【解析】
【分析】应用两点间距离公式结合三角形旋转转化边长，最后结合距离和得出最小值即可.
【详解】设 ，设 ，
把 以 为旋转中心逆时针旋转 时，得出 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 四点共线时取最小值
则 的最小值为 .
故答案为： .16. 已知A，B两点在曲线 上，C，D两点在曲线 上，给出下列四个结论：
的最小值为 ；
①
当 与坐标轴平行时， 最小值为2；
②
当四边形 为正方形时，设正方形面积为S，则 ；
③
当直线 均为曲线 和 的公切线时，线段 的中点在 轴上．
④
其中所有正确结论 的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】①结合图形，结合相切状态求解最小值；②由 ，构造函数求解
最小值，再证明最小值大于 ；③先证明若四边形 为正方形，则 ，可知 与 ，
与 关于直线 对称；结合对称性分析存在正方形 满足题意，进而利用坐标表
达面积，结合关系式利用单调性求解范围；④设切点 ， ，利用函数的对
称性、导数求切线方程，借助切线斜率建立等量关系 证明即可.
【详解】对于①：
因为 与 互为反函数，它们的图象关于 对称，所以 的最小值就是点 到直线 的最小距离的2倍.
对 求导得 ，令 ，解得 .
此时 ，即曲线 在点 处的切线斜率为1，
切线方程为 ，即 .
切点 到直线 的距离为 ，
即点 到直线 的最小距离为 ，
所以 的最小值为 ，故①正确；
对于②：
当 与坐标轴平行时，
若 与 轴平行，此时 ，则 .
令 ，对其求导得 ，
在 上单调递增，且 ，
所以存在 ，使得 ，即 .
当 时， ；当 时， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ；
若 与 轴平行，则可设 ，（ ）
则 ，
同理可证 .
综上可知，当 与坐标轴平行时， 最小值不为2，故②错误；
对于③：
当四边形 为正方形时，
因为 与 互为反函数，它们的图象关于 对称.
如图，设 （ ），
则 ，
因为 可由 逆时针旋转得到，故 ，又 ，
可得 ，
且 ， ，
故 ，且 ，
设 ，
设 ，
由 ，则有 ；又 ，
联立可得 （ ），
由 ，可解得 ，
则由 可得，
，
若 ，则 ，
所以 ，
可得 ，则 ，这与 矛盾；
若 ，则 ，
所以 ，
可得 ，则 ，这与 矛盾；
故 ，即 ，从而 .
所以 与直线 平行，由此可知 与 ， 与 关于直线 对称；
则可设 （ ），所以 ； ；
则 ，可得 ，所以 ，
所以有 ，即 .
令 ，（ ）
再令 ，
则 ，故 在 上单调递增，
则 ，所以 即 .
则 ，所以 ，
故 在 上单调递减，
由 ，且 ，
故 在 内有唯一零点，
即方程 有唯一解，故仅存在一个这样的正方形 .
且 ， ，
且 在 为单调增函数，
故 ，故 ，故③正确；对于④：
如图，由图象可知，两函数恰有两条公切线，且两公切线也关于 对称.
设两公切线分别与 相切的切点为 ， .
则点 关于直线 的对称点 即为公切线 与 相切的切点 ，
由 ，
则公切线 的斜率 ，
所以 ，可得 ，
故线段 的中点在 轴上，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题：本题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知等比数列 满足 ， .
（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可.
（2）根据等比数列和等差数列的前 项和公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为等比数列 满足 ，
则 ，两式相除可得 ，解得 .
所以 的通项公式为 .
【小问2详解】
.
所以
18. 某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的PH值，整理数据
后，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求 的值，并估计这30天河流PH值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
（2）若PH值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中PH值在 的称为“轻度超标日”，PH值在 的称为“重度超标日”.环保部门决定采用分层抽样的方法从“酸性超标日”中抽
取3天，并从这3天中随机选择2天进行水质复检，求这2天都是“轻度超标日”的概率.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，可求出 ，平均数可利用同一组中的数
据用该组区间的中点值和频率的乘积之和求解;
（2）求出样本空间，再结合古典概型计算公式求解即可.
【小问1详解】
因为 ，所以 .
平均值：
【小问2详解】
抽取的3天中，“轻度超标日”有2天，记为a，b，“重度超标日”有1天，记为A，
样本空间 ，
设事件B为这2天都是“轻度超标日”，则 .
因为抽中样本空间 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
所以 .
19. 如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧 上一动点（点P与点B，C不重合），
E为弧 的中点， .（1）证明： ；
（2）若平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，求此时点D到平面 的
距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质定理证得 ，根据线面垂直的判定证明 平面
，从而利用线面垂直的性质定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，设点P的坐标，求出两个平面的法向量，根据锐二面角大小结合数
量积夹角公式求出点P的坐标，代入点到平面距离的向量公式直接求解.
【小问1详解】
连接BP，在半圆柱中，因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又因为BC是直径，所以 ，
又 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
【小问2详解】
依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，
以 为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，连接OP，
设 ，则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，则 ，令 ，则 ，
所以 ，
设 为平面 的一个法向量，
则 ， ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为平面PCA与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，
所以 ，
令 ，则 ，平方化简得 ，
即 ，又由 ，可解得 或 （舍去），
所以 ，所以平面PCA的一个法向量 ，且 ，所以点D到平面PCA的距离 .
20. 已知曲线 ，第一象限内点 在曲线 上. 、 ，连接 并
延长与曲线 交于 点， .以 为圆心， 为半径的圆与线段 交
于点 ，记 ， 的面积分别为 ， .
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）若点 的坐标为 ，求证 ；
（3）求 的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3） .
【解析】
【分析】（1）设 ， ， ，与 联立求出 和韦达定理，
根据 求出 即可求解；
（2）求出 即可证明；
（3）由（1）求出 ，考虑 和 两种情况，根据 求出
，求出 ，根据（2）求出 ，根据 结合基本不等
式即可求解.【小问1详解】
设 ， ， ，
与 联立可得 ， ，
， ， ，
因为 ，所以 ，
由 可得 ，故
因为 在第一象限，所以 ，解得 ，
由 得 ；
【小问2详解】
由题意得 ， ，故 ，
，
，
则 ，即 ；
【小问3详解】
由（1）得 ， ，故 ，因为 ，所以 ，
当 时， ， ， ，故 ， ，
，故 ，所以 ⊥ ，
，
则 ，
由对称性可知 ，
则 ，
当 时， ， ，
由 得 ，
将其代入 中得 ，
显然，当 时， ，当 时， ，
解得 ， ， ，
因为 ，其中 ，
由（2）知 ，
又 ，故 ，
故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
由于 ，
故 .
21. 给定函数 ，若过点 恰能作曲线 的 条切线 ，则称 是 的
“ 秩点”，切点的横坐标为 的“ 秩数”.
（1）若 是函数 的“ 秩点”，求其“ 秩数”；
（2）证明： 是函数 的“0秩点”；
（3）记使函数 的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为 .证明：对 ，
，且 ，有 .
【答案】（1）0和2 （2）证明见解析
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）先根据导数的几何意义求出曲线在切点处的切线方程，再将点 代入切线
方程，通过求解方程得到切点横坐标，即可得解.
（2）要证明 是函数 的“0秩点”， 可假设过点 存在与函数
相切的切线，求出切线方程，
将点 代入后得到关于切点横坐标的方程，再通过研究该方程对应的函数在 上是
否有解，即可得证.
（3）要证明对 ， ，且 ，有 ，首先根据“1秩
数”小于0的定义，再结合导数的几何意义，得到关于切点横坐标 的方程，再通过研究函数
的零点情况确定集合 的表达式，最后分不同情况讨论，即可得证.
【小问1详解】
设切点为 ，由已知得 ，所以切线方程为 ，
又切线过点 ，将其代入切线方程得 ，即 ，
所以 或2，则“ 秩数”为0和2.
【小问2详解】
假设过点 存在切线与函数 相切，设切点 为，且有 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，
令 ， ，则 .
令 ，解得 ， ，0， 或 ，当 时 ， ， 当
时， ，
故 在区间 ， ， 上单调递减，在区间 ，
， 上单调递增，
所 以 ， 又 ，
，
故 ，故 ， ，即方程 无实数解，假
设不成立.
故 是 的“0秩点”.
【小问3详解】
证明：由已知得 ，则曲线 在点 处的切线方程为
.
故点 当且仅当关于 的方程 ，
即 恰有一个实数解，且该解为负值.
设 ，则点 当且仅当 恰有一个零点，且该零点小于0.
①若 ，则 在 上是增函数， ，要想 恰有一个零点，且该
零点小于0，需满足 ；
②若 ，因为 ，令 ，解得 或 ，列表如下：
0
0 0
极大值 极小值
所以 ，即 ；
③若 ，同理可得 ，即 .
综上所述， ，
所以对 ， ，若 ，则 ；若 ，则 （
）.
①当 时， ，所以 ，即
.
② 当 时 ， ， 所 以
.
令 ， ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.所以 ，所以 .
③ 当 时 ， ， 所 以
.
令 ， ，则 ，所以 单调递增，
所以 ，所以 .
综上所述，对 ， ，且 ，有 .
