文档内容
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２０２５!"#$%&’()*+（,）
’()"*+
,、-./：0/1８2/，32/５4，1４０4．532/678.9:，;<,9=>?/@
AB8．
!" １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
#$ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ
C、D./：0/1３2/，1１８4．532/678.9:，?/@AB．
!" ９ １０ １１
#$ ＡＣ ＢＣＤ ＡＢＤ
E、FG/：0/1３2/，32/５4，1１５4．
!" １２ １３ １４
７
#$ ２ ３ １５０；
７５
H、I*/：0/1５2/，1７７4．I*JK7LMNO，POQRSTUVW．
１５．（()*１３+）
【IX】（１）%&：∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝２ｓｉｎＡｃｏｓ（Ａ＋Ｂ），
∴ｓｉｎＢ＝－２ｓｉｎＡｃｏｓＣ． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ２+
’△ＡＢＣ(，)*+,-.，
ｂ＝－２ａｃｏｓＣ，
３π
∵Ｃ＝ ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ４+
４
∴ｂ＝槡２ａ，
/ｂ２＝ａ·２ａ，
∴ａ，ｂ，２ａ01234．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ６+
１ 槡２
（２）5：67Ｓ ＝ ａｂｓｉｎＣ＝ ａｂ＝１，
△ＡＢＣ ２ ４
/ａｂ＝２槡２， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ８+
)（１）8，ｂ＝槡２ａ，
!"#$ % １&（’５&）
{#{QQABKYAEgggoABJAAQhCQQFwCAOQkhGAAagOBEAIsAABiAFABAA=}#}
书书书9:;<5.ａ＝槡２，ｂ＝２，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １０+
)=+,-.ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓＣ＝２＋４－４槡２×
(
－
槡２)
＝１０，
２
∴ｃ＝槡１０． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １３+
１６．（()*１５+）
ｃ 槡３２ １
【IX】（１）)!>. ＝ ， ＋ ＝１，,,,,,,,,,,,,,,,,, ２+
ａ ２ ａ２ ２ｂ２
?ａ２＝ｂ２＋ｃ２，5.ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝槡３，
ｘ２
@ABCＥDEFGH7 ＋ｙ２＝１．,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ５+
４
（２）IＡ(ｘ，ｙ)，Ｂ(ｘ，ｙ)，
１ １ ２ ２
{ｙ＝ｋｘ＋ｍ
9: ｘ２ .(１＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｍｘ＋４ｍ２－４＝０，Δ＝１６(４ｋ２－ｍ２＋１) ＞０，
＋ｙ２＝１
４
－８ｋｍ ４ｍ２－４
/ｘ＋ｘ＝ ，ｘｘ＝ ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ７+
１ ２ １＋４ｋ２ １２ １＋４ｋ２
ｍ２－４ｋ２
ｙｙ＝(ｋｘ＋ｍ)(ｋｘ＋ｍ) ＝ｋ２ｘｘ＋ｋｍ(ｘ＋ｘ) ＋ｍ２＝ ，
１２ １ ２ １２ １ １ １＋４ｋ２
→ →
67AJKＡＢ7LMDCNOPＱ，@AＱＢ·ＱＡ＝０， ,,,,,,,,,,, ９+
→ →
ＱＢ＝(ｘ－２，ｙ)，ＱＡ＝(ｘ－２，ｙ)，
２ ２ １ １
→ → (６ｋ＋５ｍ)(２ｋ＋ｍ) ６
ＱＢ·ＱＡ＝ｘｘ－２(ｘ＋ｘ) ＋４＋ｙｙ＝０，Q ＝０，5. ｍ＝－ ｋR ｍ
１２ １ ２ １２ １＋４ｋ２ ５
＝－２ｋ，STΔ＞０，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １２+
６ ６ ( ６) ( ６ )
67ｍ≠－２ｋ，@Aｍ＝－ ｋ，LJｌGH7ｙ＝ｋｘ－ ｋ＝ｋｘ－ ，UOP ，０，
５ ５ ５ ５
( ６ )
@ALJｌO,P，,P7 ，０． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １５+
５
１７．（()*１５+）
【IX】（１）%&：67VWＡＢＤ⊥VWＢＣＤ，VW ＡＢＤ∩VW ＢＣＤ＝ＢＤ，ＢＤ⊥ＤＣ，ＤＣ
VWＢＣＤ，@AＤＣ⊥VWＡＢＤ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ２+
67ＡＢVWＡＢＤ，@AＤＣ⊥ＡＢ．
?67XYZ[\]ＡＤ⊥ＡＢ，ＤＣ∩ＡＤ＝Ｄ，
@AＡＢ⊥VWＡＤＣ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ５+
（２）)（１）8ＡＢ⊥VWＡＤＣ，@AＡＢ⊥ＡＣ，?ＡＢ⊥ＡＤ，
@A^W_Ｃ－ＡＢ－ＤDVW_7∠ＣＡＤ．
!"#$ % ２&（’５&）
{#{QQABKYAEgggoABJAAQhCQQFwCAOQkhGAAagOBEAIsAABiAFABAA=}#}?ＤＣ⊥VWＡＢＤ，ＡＤVWＡＢＤ，@AＤＣ⊥ＡＤ．
ＣＤ
‘!>ｔａｎ∠ＣＡＤ＝ ＝槡６．
ＡＤ
67ＡＤ＝１，@AＣＤ＝槡６． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ７+
IＡＢ＝ｘ（ｘ＞０），/ＢＤ＝槡ｘ２＋１．
ＡＢ ＣＤ
‘!>△ＡＢＤ∽△ＤＣＢ，@A ＝ ，
ＡＤ ＢＤ
ｘ 槡６
Q ＝ ，?ｘ＞０，5.ｘ＝槡２，
１ 槡ｘ２＋１
aＡＢ＝槡２，ＢＤ＝槡３，ＢＣ＝槡ＢＤ２＋ＣＤ２＝３．
AＤ7bEcP，dJＤＢ，ＤＣef7 ｘg，ｙgD*hg，i:jk@lDmnL_b
EoＤ－ｘｙｚ，
槡３槡６ 槡３ 槡６
/Ｄ（０，０，０），Ｂ（槡３，０，０），Ｃ（０，槡６，０），Ｅ（ ， ，０），Ａ（ ，０， ），
２ ２ ３ ３
→ 槡３槡６ → 槡３ 槡６
@AＤＥ＝（ ， ，０），ＤＡ＝（ ，０， ）． ,,,,,,,,,,,,,,,,, １０+
２ ２ ３ ３
)（１）8VWＢＡＤDpqrst →ｎ＝（０，１，０）．
IVWＡＤＥDrst7ｍ→ ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
{ｍ→· Ｄ → Ｅ＝０， 槡 ２ ３ ｘ＋ 槡 ２ ６ ｙ＝０，
)
→
.
ｍ→·ＤＡ＝０，
槡３
ｘ＋
槡６
ｚ＝０，
３ ３ （Y１７/*Z）
uｘ＝槡６，.ｙ＝－槡３，ｚ＝－槡３，
@Aｍ→ ＝（槡６，－槡３，－槡３）7VWＡＤＥDpqrst．,,,,,,,,,,,, １３+
→ｎ·ｍ→ １
@Aｃｏｓ＜→ｎ，ｍ→ ＞＝ ＝－ ．
｜→ｎ｜·｜ｍ→｜ ２
)kv8^W_Ｂ－ＡＤ－ＥDVW_7w_，
１
@A^W_Ｂ－ＡＤ－ＥD=+x7 ．,,,,,,,,,,,,,,,,,, １５+
２
１８．（()*１７+）
【IX】（１）)!>v8，yａ＝０z，ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１－ｘ，ｘ∈Ｒ，
/ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１，uｆ′（ｘ）＝０，/ｘ＝０，
yｘ＞０z，ｆ′（ｘ）＞０；yｘ＜０z，ｆ′（ｘ）＜０，
@Aｆ（ｘ）’（－!，０］{|}~(cid:127)，’［０，＋!）{|}~(cid:128)．,,,,,,,,,, ４+
!"#$ % ３&（’５&）
{#{QQABKYAEgggoABJAAQhCQQFwCAOQkhGAAagOBEAIsAABiAFABAA=}#}（２）)(cid:129)(cid:130).ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１－２ａｘ，
uｈ（ｘ）＝ｅｘ－１－２ａｘ，/ｈ′（ｘ）＝ｅｘ－２ａ，
１
①y２ａ≤１，Qａ≤ z，’[０，＋!){，ｈ′（ｘ）≥０，Qｈ（ｘ）|}~(cid:128)，
２
@Aｈ（ｘ）≥ｈ（０），Qｆ′（ｘ）≥ｆ′（０）＝０，
∴ｆ（ｘ）’[０，＋!){7(cid:128)(cid:131)3，∴ｆ（ｘ）≥ｆ（０）＝０，
１
∴ａ≤ zST(cid:129)(cid:130)．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ７+
２
②y２ａ＞１z，uｈ′（ｘ）＝０，
5.ｘ＝ｌｎ２ａ，’[０，ｌｎ２ａ]{，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）|}~(cid:127)，
∴yｘ∈(０，ｌｎ２ａ)z，]ｈ（ｘ）＜ｈ（０）＝０，Qｆ′（ｘ）＜ｆ′（０）＝０，
/ｆ（ｘ）’(０，ｌｎ２ａ){7(cid:127)(cid:131)3，∴ｆ（ｘ）＜ｆ（０）＝０，(cid:132)(cid:133)!>．
( １]
(cid:134){，(cid:135)3ａD(cid:136)x(cid:137)(cid:138)7 －!， ．,,,,,,,,,,,,,,,,,, １０+
２
１ ｘ２
（３）)（２）.，yａ＝ (cid:139)ｘ＞０z，ｅｘ＞１＋ｘ＋ ，
２ ２
ｘ２ ｘ２＋２ｘ
Qｅｘ－１＞ｘ＋ ＝ ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １２+
２ ２
ｘ２
(cid:140)%(cid:132)1<(ｅｘ－１)ｌｎ（ｘ＋１）＞ｘ２，(cid:141)(cid:142)%&ｅｘ－１＞ ，
ｌｎ（ｘ＋１）
ｘ２＋２ｘ ｘ２ ２ｘ
(cid:141)(cid:142)%& ＞ ，(cid:141)(cid:142)%ｌｎ（ｘ＋１）＞ ， ,,,,,,,,,,, １４+
２ ｌｎ（ｘ＋１） ２＋ｘ
２ｘ １ ４ ｘ２
IＦ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１）－ （ｘ＞０），/ Ｆ′（ｘ）＝ － ＝ （ｘ＞
２＋ｘ ｘ＋１ （ｘ＋２）２ （ｘ＋１）（ｘ＋２）２
０），
@Ayｘ＞０z，Ｆ′（ｘ）＞０U0:，aＦ（ｘ）’(０，＋!){|}~(cid:128)，
?Ｆ（０）＝０．∴Ｆ（ｘ）＞０U0:，∴c(cid:132)1<0:．,,,,,,,,,,,,, １７+
１９．（()*１７+）
【IX】（１）%&：(cid:143)０＜ｘ＜１，(cid:144)(cid:145)ｆ（ｘ）＝ｘ（１－ｘ）∈（０，１），
?０＜ａ＜１，@Aａ∈（０，１），ａ∈（０，１），…，ａ ＝ｆ（ａ）∈（０，１），…，
１ ２ ３ ｎ＋１ ｎ
@Aｎ∈Ｎ，ａ∈（０，１）， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ２+
ｎ
67ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋ｘ，ａ ＝ｆ（ａ），
ｎ＋１ ｎ
@Aａ ＝－ａ２＋ａ，ａ －ａ＝－ａ２＜０，
ｎ＋１ ｎ ｎ ｎ＋１ ｎ ｎ
@Aａ ＜ａ，@A{ａ}(cid:146)~(cid:127)34；,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ４+
ｎ＋１ ｎ ｎ
（２）①)!>.ａ ＝－ａ２＋ａ＋５ａ＋ａ２＝６ａ，
ｎ＋１ ｎ ｎ ｎ ｎ ｎ
!"#$ % ４&（’５&）
{#{QQABKYAEgggoABJAAQhCQQFwCAOQkhGAAagOBEAIsAABiAFABAA=}#}５ ａ
?ａ＝ ，@Aａ≠０，@A ｎ＋１＝６，
１ ３ ｎ ａ
ｎ
５
@A{ａ}(cid:146)A 7(cid:147)(cid:148)，６7(cid:149)2D1234，,,,,,,,,,,,,,,, ６+
ｎ ３
５
（１－６ｎ）
ａ（１－ｑｎ） ３ ６ｎ １
/Ｓ＝ １ ＝ ＝ － ；,,,,,,,,,,,,,,,,, ８+
ｎ １－ｑ １－６ ３ ３
３ａ ５ ５
②)①. １ ＝ ＝ ，
Ｓ－ａ＋１ ６ｉ １ ５ ２×６ｉ－１－１
ｉ １ － － ＋１
３ ３ ３
ｎ ５
@AＴ＝∑ ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １０+
ｎ ｉ＝１２×６ｉ－１－１
５
yｎ＝１z，Ｔ＝ ＝５，@A［Ｔ］＝５；
１ ２－１ １
５ ６ ３
yｉ≥２z， ＜ ＝ ，,,,,,,,,,,,,,,,,,, １２+
２×６ｉ－１－１ ２×６ｉ－１ ６ｉ－１
ｎ ５ １ １ １
@Ayｎ≥２z，Ｔ ＝∑ ＜５＋３（ ＋ ＋…＋ ）
ｎ ｉ＝１２×６ｉ－１－１ ６ ６２ ６ｎ－１
３ １
＝５＋ （１－ ），,,,,,,,,,,,,,,,,,, １４+
５ ６ｎ－１
３
@Ayｎ≥２z，Ｔ＜５＋ ＝５．６，
ｎ ５
５
? ＞０，@AＴ≥Ｔ＝５，
２×６ｉ－１－１ ｎ １
@Aｎ∈Ｎ，５≤Ｔ＜５．６，@Aｇ（Ｔ）＝［Ｔ］＝５， ,,,,,,,,,,,, １６+
ｎ ｎ ｎ
２０２４
@A∑ｇ（Ｔ）＝２０２４×５＝１０１２０． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, １７+
ｉ
ｉ＝１
!"#$ % ５&（’５&）
{#{QQABKYAEgggoABJAAQhCQQFwCAOQkhGAAagOBEAIsAABiAFABAA=}#}
