2024 学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考
高三数学 参考答案及解析
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项符合题目
要求.)
1. 【答案】A
【解析】因为A={-2,-1,0,1,2}, 其中-2∈B,-1∈B, 所以 故选 A.
2.【答案】D ∩ =−2,−1,
【解析】由题， 故 所以 故选 D.
2− |2− | 5 10 2 5
=1+ , | |=|1+ |= 2= 2 , ⋅ =| | =2,
3. 【答案】C
【解析】( 解得x=-1, 故选 C.
4.【答案】C + ⋅ = +1+ +1 = ²+2 +1=0,
【解析】由题， 所以 故选 C.
1
5. 【答案】A =sin 2 +2×12−6 =sin2 , 12 =sin6=2,
【解析】设A, B,C三人的体质指数分别为a, b, c, 则a+b+c=3×20=60,故5 人体质指数的平均
值 又 所以
1 1 2 2 2
=5 60+18+所22以=520人, 的体3 质 −指2数0的+方 差−为20 + −20 =3, −20 ² + −
1 2 2 2
20 ²+ −20 ²=9, 故选 A. 5[ −20 + −20 + −20 + 18−
2 2 17
2 6. 0 【 + 答案 22 】 − B 20 ]= 5 ,
【解析】设 焦点 F(0,1), 则 由 则
1+ 2
₁ ₁ , ₂ ₂ , 所以 当0 =A,F2, B, 三点| 共 线|=时₁ ，+y1₀,取| 得 |最=₂小 值+12,.微
1+ 2
| 信 公 |+ 众 | 号 ： |= 浙 ₁ 江省 +₂ 高 中 + 数 2≥ 学 | 故 | 选 =6 B , . 0 = 2 ≥2,
7. 【答案】C
【解析】当有 1 个红球时，有 种； 当有 2 个红球时，有 种； 当有3 个红球
2
时，有 种； 当有4个红球 时8，=有8 种； 当有5个及以上 个7 =红2球1时，不合题意，所以
3 4
满足条件 6 的=不2同0排列方法的总数之和为 54. 故 5 选=5C.
8. 【答案】B
【解析】由 得 所以 为奇函数，令
当x>0时,
∀ ≠1, 2− =− − +1 =− +1 , +1 =
2ln 2 +2 +2, >0,
+1 = − <0, − = 2 − + + =− =
ln −2 所+以 + + , <0, ,即c=-4,所以 故选 B.
−2 2 −2 −2, =−2, =2, + =−2, =16,
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分.)
9.【答案】ABD
【解析】 得 A 正确；若
12₁ ₅ +₁ ₈ =₁ ₅ +₁ ₅ +₁ ₈ =₁ ₅ +₁ ₆ +₁ ₇ = 3₁ ₆ = 24, ₁ ₆ = 8,
则 故 解得 B 正确；因为 若 则
4
₉ =₁ ₀ , ₁ ₀ = 0, ₁ ₆ =₁ ₀ +6 = 8, = 3, ₁ ₆ = 8, =−2, ₁ ₉ =
所以 S，的最大值为， 或 C 错误; 若( 成等比数列，则
2,₂ ₀ = 0,₂ ₁ =−2, ₁ ₉ ₂ ₀ , ₁ ₅ ,₁ ₆ ,₁ ₈
即( 解得 d=4，D 正确.微信公众号：浙江省高中数学故选 ABD.
2
16 = 15 18, 8− 8+2 =64
10.【答案】BD
【解析】f(x)的定义域为( 所以 f(x)为奇
1+ 1−
−11 , − =− +ln1− =− −ln1+ =− ,
函数, A 错误; 因为 g(-2-x)+g(x)=-4a, 所以 g(x)的图象关于点(-1,-2a)对称, B 正确；
因为-1<x<1,所以 当 时， 在(-1,1)上单调递减,
' 2 2 '
2 2
= + −1, −1<−2, < < 2 <0,
C 错误; 由 f(x)=g(x) 得 令 k(t)= lnt- at,则 当
1− 1− 1− ' 1−
ln +1 = +1, +1= 0), = , 0 <
时， k(t).单调递增；当 时， k(t)单调递减，故
1 1 1
' '
< >0, > <0, max = =
因为 所以 所以方程 f(x)=g(x)没有实根，D 正确.故选 BD.
1 1 1
ln −1, > , ln −1 < 0,
11. 【答案】BCD
【解析】设 A(m, n), 则 则 两式作差得
2 2
2 1 2
− − , ₁ ₁ ₁ ≥ 2 , 4 − =1, 4 − 1 =1,
即 故 A 错误；因为 所以
2 − 2 2 2 2
− 1 2 2 − 1 1 − 1 1 2
4 = − 1, 2 − 1 2 =4, 2 − 1 2 =4, | ₁ |−| ₂ | = 2 = 4, 1| +
又 所 以
2 2 1− 1+
| 1| = | 1|−| 1| +2| 1| 4 = 1− . 1+ = 24 | 1 2| = 2 = 2 5,
因为 所以 B 正确； 设 PF₁ 的
2 2 2
| 1| +| 2| −| 1 2| 1
cos∠ 1 2 = 2| 1|⋅| 2| = 2 ∠₁ ₂ ∈ 0 , ∠ 1 2 = 3,
中点为 H, 又
1 1
| 1| = 2| 1|,| | = 2| 2|,
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}所以 即 所以以 为直径的圆与圆
1 1
1 2
2| |−2| |= 2, | ₁ |− | | = 2, | ₁ | = | |+2, ₁
相 内 切 ， C 正 确 . 若 则 所 以
1 2 1 2
²+ ² = 4 ⋅ =0, ∠ = 2, | ₁ |² +| ₁ |² =
又 解 得 故 内 切
1 2
|₁ ₂ |² = 20, | ₁ |−| ₂ | = 2 = 4, | | = 6+2,| | = 6−2,
圆 半 径 过 点 N 作 x 轴的垂 线 , 垂足 为 M,
1
1 2 1 2
= 2 | |+| |−| | = 6− 5,
则 又 所 以 点 N 的 横 坐 标 为 2 ， 故 则 点
1 1 1
| | = | |− = 2+ 5, | | = 5,
D 正确; 故选 BCD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)
2 6− 5 ,
12.【答案】84
【解析】 当r=2时, 得. 的系数为
7− − 7−2 2 2
13. 【答案】- 1 +1 = 7 ⋅2 ⋅ = 72 , ³ 72 =84.
【解析】 设切点为 则切线方程为 所以
' 0+ 0+ 0+ 0+
=ˣ ⁺ᵃ , 0 , − = − 0 , − =
解得 所以切线方程为 圆心到切线的距离 即
1+
0+ +1
− 0, ₀ = 1, ⁺¹ᵃ − = 0, = 1+ 2 = 2,
+1
得 故a=-1.
⁺¹ᵃ ²−2 ⁺¹ᵃ +1=0, ⁺¹ᵃ −1,
14.【答案】
9
2
【 解析 】 如 图 , 取 AC 中点 D, 连接 SD, BD, 则
同理可得 易知 的外接圆圆 心 =O
2
2
− 2 = 3, = 2, △
在直线 BD 上，又 所以 的外接圆半径过点
6
O 作平面 ABC 的s垂in线 =， 外 =接3球,球心△在 垂 线 上，且 乂
3 1 1 6 3
6
= 2, = 2, = 2× = 2,
3
可 得 故
2 3 2 2 2 9
cos∠ = = 3 , = + −2 ⋅ cos∠ = 4, = =
故点 O 即为该四面体的的外接球球心，其外接球半径 所以
3 3 4 3
= = 2, = 2, = 3 =
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}9
2 .
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13 分) 【答案】
(1) 由 得
2 sin +6 = + cos + 3 sin = + ,
由正弦定理得 ………………………………………………………………………… 2分
即
sin cos + 3sin sin = sin cos +cos sin +sin ,
即分 ……………………………………………………………………………………… 4
因为0<C<π, 所以 sin C>0,
故
3sin −cos =1,
即分 ……………………………………………………………………………………… 6
因为0<A<π, 所以
−6=6,
故 ……………………………………………………………………………………… 8分
(2) 因为 的周长为
=2 6, 6+2 6,
所以b+c= 6
由余弦定理得
24= ²+ ²− ,
即
24= + ²−3 =36−3 ,
解得 bc=4, ………………………………………………………………………… 11分
故
1 1 3
=2 sin = 2×4× 2 = 3.
…………………………………………………………………………………………… 13
16. (15 分) 【答案】
(1) 因为X~N(70,225), 所以μ=70, σ=15,
故85=μ+σ, …………………………………2
所以 ………………………………………………………………………………… 4分
故600×0.1585=95.10≈95,
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}所以进入决赛的人数约为95 …………………………………………………………… 6
（2） 由题， 甲同学每个单选题得分ξ₁ 的期望分, …7分 ………………………………………………… 7
故甲同学单选题总得分ξ₂ 的期望分, …9分 ………………………………………… 9
甲同学每个多选题得分ξ₃ 的期望分, …11分 ……………………………………… 11
故甲同学多选题总得分ξ₄ 的期望分 ………………………………………………… 13
所以甲同学决赛成绩Y的数学期望分 ………………………………………………… 15
17. (15 分) 【答案】
(1) f(x)的定义域为R,
'
= + −1ˣ ,
因为f(x)在x=0处的取得极值，所以f'(0)=(m-1)=0,
………………………………………………………………………………………… 2分
所以
'
= −1ˣ , = ˣ ,
当x>0时, f'（x）>0, f（x）单调递增 ……………………………………………… 4分
故 …………………………………………………………………………………………… 5
综上： f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为 ……………… 6分
(2) 由.f(x)≥ex+a得
−1ˣ − ≥ ,
令 则
'
= −1ˣ − , = ˣ − ,
令则 ………………………………………………………………………………… 8分
当x<-1时, h'(x)<0, h(x)单调递减,
…………………………………………………………………………………………… 10
又当x<0时,
1
ℎ < 0,ℎ −1 =− − < 0,ℎ 1 = 0,
…………………………………………………………………………………………… 12
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}当 x>l 时, h(x)>0, , 即 g'(x)>0, g(x)单调递增.
故 …………………………………14分
ₘᵢₙ = 1 =− ,
若 f(x)≥ex+a 恒成立, 只需
≤ ₘᵢₙ =− ,
所以实数a的取值范围为(-∞，-e). …………………………………………15分
18. (17 分) 【答案】
(1) 证明: 由棱台的性质可得直线DD₁ 与BB₁ 相交, 所以D₁ , D, B, B₁ 四点共面,过点 D作AB的垂线,
垂足为E, 由题可知AE=1,所以 又BE=3, ....2分所以
2 2 2 2
= − = 3, = + =
所以 故AD⊥BD, ....4分又AD⊥BB₁ , BD∩BB₁ =B,所以AD⊥平面D₁ DBB
2 3, ²+ ² = ²,
₁ ,故平面ABCD⊥平面D₁ DBB₁ ,…………………………………………………………………6分
(2) 过点 D₁ 作直线 BD 的垂线, 垂足为 F, 则 平面 因为
1 1
₁ ⊥ , = 2 =
故 所以 易得 故
3
1 1 1 1 1 1 1
4, = 2 3, = 3, = = = 3, = 2 , =
2 2 3
1− =2,
又 …8分
1 1 3 3
=2× 3× 2+4 =3 3, 1 1 1 1 =4 = 4 ,
所以四棱台
−₁ ₁ ₁ ₁
…10分
1 3 3 3 3 3 21 3
= 3×2× 3 3+ 4 + 3 3× 4 = 8 .
(3)取 AB 中点 M, 中点( , 连接 CM 交 AB 于点 O, 连接(
₁ ₁ ₁ , ₁ ,
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}由(1)可知 OM, OB, 三条直线两两垂直，以 O 为坐标原点，OM，OB， 所在直线分别
为 x，y，z 轴建立如 图₁ 所示的空间直角坐标系，则 ₁
…12分
33
2− 30 , 0 30 , −100 , 1 0 2 2 ,
设平面. 的一个法向量为微信公众号：浙江省高中数学
₁ ₁ =
则 艮
−2 +2 3 =0,
⋅ =0,
, 3 3 3 ,
⋅ 1 =0 −2 + 2 +2 =0
令 解得 所以 …14分
3 3
= 3, =1, = 3 , = 31 3 ,
同理可得平面B₁ BCC₁ 的一个法向量为 ………15分
= −3 31 ,.
所以
5 3
| ⋅ | 3 5
|cos < , >= | |⋅| | = 13 = 13,
3⋅ 13
所以平面. 与平面. 夹角的余弦值为 …17分
5
₁ ₁ ₁ ₁ 13.
19. (17 分) 【答案】
(1) 设椭圆的焦距为 2c(c>0), 则
₁ − 0 ,₂ 0 ,
则 得 所以 ……………1 分又
1 4
1 2 =2| 1 2|× 1+|−1| =2 =2 3, = 3, ²− ² =3, 2 +
1
2
=1,
解得
² = 6, ² = 3,
所以椭圆E的方程为 ………3分
2 2
6 + 3 =1.
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}(2) 易得 则 …4分
1 − 30 , 2 30 , 1 =−2− 3, 2 = 3−2,
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}设直线 l的斜率为k，则直线AF₁ 到直线 l的角等于直线l到直线l 的角，
所以
₂
− 1 2−
即 1+ 1 =1+ 2, 解得k=1或k=-1,…6分
+2+ 3 3−2−
1− 2+ 3 =1+ 3−2 ,
当k=1时, 直线l为的补角的角平分线所在的直线， 不合题意； ………………………… 7
所以直线l的方程为y-1=-（x+2）,即x+y+1=0 ………………………………………… 8
(3) 证明: 设P(x₁ , y₁ ), Q(x₂ , y₂ ), 易得直线AB的斜率
1
0 =−1, 1 = 1+2,
又 两式做差得
2 2 2 2
1 1 −2 1
即 6 + 3 =1, 6 + 3 =1, ₁ −2 ₁ +2 =−2 ₁ −1 ₁ +1 ,
1−1 1 1−2
1 = 1+2=−2× 1+1,
同理 ……………………………………………………………………………………… 10
因为点 B到直线l₁ ，l₂ 的距离相等，所以l₁ 到直线AB 的角等于直线AB到l₂ 的角，
由到角公式得：
0− 1 2− 0
1+ 0 1 =1+ 0 2,
分 12
化简得： . . . . . 14分
₁ −2₂ +2₂ −4₁ =2₂ ₁ +₁ ₂ +6,
两式作差得：
−6₂ −₁ +3₂ −₁ =₁ ₂ −₂ ₁ ,
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}又直线 即
2− 1
1 1
: − = 2− 1 − , ₂ −₁ − ₂ −₁ =₁ ₂ −₂ ₁ ,
所以点( 在直线 PQ 上，
−6−3
所以直线 PQ 过定点.
{#{QQABYQSAggAAAoAAARgCAwEoCkKQkBECAYgORFAAsAAAQBNABAA=}#}
