文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C B A C B A B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ABC BCD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．914
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．(本小题满分13分）
【解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ， ………………………1分
且 ，
即 ，
整理可得 ， ………………………3分
且 ，则 ，可得 ，
即 ， ………………………4分且 ，所以 . ………………………5分
（2）因为 的面积为 ，则 ， ……………6分
又因为 ，
可得 ， ………………………8分
由正弦定理 ，可得 ，
其中 为 的外接圆半径，
则 ，即 ，
可得 ，则 ， ………………………10分
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ， ………………………12分
所以 的周长为 . ………………………13分
16．（本小题满分15分）
【解】（1）零假设为 ：游客对“村超”的满意度与年龄互相独立，
即游客对“村超”的满意度与年龄无关联，
， ………………………3分
依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 ． ………………5分
（2）由题可知，参与调查的游客都对“村超”给出满意评价的概率为 ， …………………6分
则 ，随机变量 可取 ， ………………………7分，
，
，
， ………………………11分
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
………………………13分
数学期望 ． ………………………15分
17．（本小题满分15分）
【解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面 ， ………………………1分
理由如下：如图所示：
取 的中点F，连接EF，DF ，
∵DF是 的中位线，
∴ ， ………………………2分
又 ，
∴ ，∴四边形DFEA是平行四边形 ， ………………………4分
∴AD∥EF，
又 面 ， 面 ，
∴AD∥平面 ． ………………………6分
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
又∵平面 平面 ，
∴ 面 ， ………………………7分
∵ ，
∴ ， ………………………8分
∵侧面 是菱形， ，
∴ 是正三角形 ，
∵E是AC的中点，
∴ ， ………………………9分
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
则 ， ， ………………………10分
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ， ，
∴ ， ………………………12分
又平面 的一个法向量 ， ………………………13分
∴ ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值是 . ………………………15分
18．（本小题满分17分）
【解】（1）当 时， ，则 ， ………………………1分
故 ， ………………………3分
故 在 处的切线方程为 ………………………4分
（2） ， ………………………5分
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
故此时 在 单调递增，在 的单调递减， ………………………6分当 时， 在 上恒成立，故此时 在 单调递增， ……………7分
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
故此时 在 单调递增，在 的单调递减， ………………………8分
当 时， ，故 在 的单调递减，在 单调递增， …………9分
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故此时 在 的单调递减，在 单调递增， ………………………10分
（3） ，
令 ，则 ， ………………………12分
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
且 ，当 时 恒成立， ………………………15分
要使 有两个零点，则 由两个交点，
故 ，解得 ………………………17分
19．（本小题满分17分）【解】（1）因为当 垂直于 轴时， ，
而直线 与Γ相切，
则 ，解得 ， ………………………2分
又椭圆 的离心率为 ，
则椭圆 的半焦距 ， ， ………………………4分
所以 的方程为 . ………………………5分
（2）（i）当 的斜率存在时，设 的方程为： ，
由 消去 得： ，
由直线 与椭圆 相切，得 ，
整理得 ， ………………………7分
于是圆心 到直线 的距离 ， ………………………8分
则 的面积为 ， ………………9分
设 ，求导得 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
因此当 时， 取得最大值，此时 ， ………………………11分
当 的斜率不存在时，由（1）知， ，由 ，得 ，则 .
对于线段 上任意点 ，连接 并延长与圆 交于点 ，则 是圆上与 最近的点，
当 为线段 的中点时， 取得最大值 ，所以 . ………………………13分
（ii）因为 均存在，
设点 ，且 ，
设 是集合 中到 的最近点，根据对称性，不妨设 ，
令点 到集合 的最近点为 ，点 到集合 的最近点为 ，
因为 是集合 中所有点到集合 最近点距离的最大值，则 ，
因为 是集合 中所有点到集合 最近点距离的最大值，则 ，
因此 ，
而在坐标平面中， ，又点 是集合 中到点 的最近点，则 ，
所以 . ………………………17分
