文档内容
2024-2025 学年度第一学期大庆外国语学校期中考试
高三数学试题
出题人：杨美金 校对人：张晶
注意事项
1.考试时间120分钟，满分150分
2.答题前，考生务必先将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡上，并准确填涂.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号.非选择题
答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.
4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 =（ ）
A. B. C. D.
2.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A.1 B. C. D.
4.给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
A.“ ”的否定是“ ”
B. 在 上单调递减
C.若 为 的导函数的一个零点，则 为函数 的一个极值点
D.若 是奇函数，则
5.已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，则 的最小值是（ ）
A.2 B. C.4 D.
学科网（北京）股份有限公司6.已知双曲线 两个焦点为分别为 ，过点 的直线 与该双曲线的右支交于 两点，
且 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 为（ ）
A. B. C. D.
7.已知四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为 的中点，点 在棱 上，且满足
平面 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8.将函数 图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 ，
函数 的部分图象如图所示，且 在 上恰有一个最大值和一个最小值，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.若随机变量 ，且 ，则
B.一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为15
C.在一元线性回归模型分析中，决定系数 用来刻画模型的拟合效果，若 值越小，则模型的拟合效果
越好
D.设随机事件 ， ，已知 事件发生的概率为 ，在事件 发生的条件下事件 发生的概率为 ，
学科网（北京）股份有限公司在事件 不发生的条件下事件 发生的概率为 ，则事件 发生的概率为
10.在三棱锥 中，已知 ，点M，N分别是AD，BC的中
点，则（ ）
A.
B.异面直线AN，CM所成的角的余弦值是
C.三棱锥 的体积为
D.三棱锥 的外接球的表面积为
11.已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 ， ， 是圆 ：
上一动点，线段 的垂直平分线交直线 于 上的点 ，则（ ）
A. 的离心率为2
B. 的渐近线方程为
C. 到 的渐近线的距离为
D. 内切圆圆心的横坐标为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.二项式 的展开式中的常数项为___________.
13.在 中， ， 的平分线与 交于点 ，且 ， ，则
的面积为___________.
14.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数： ，该数列的
特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 称为
“斐波那契数列”，则 是斐波那契数列中的第___________项.
学科网（北京）股份有限公司四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共
77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024
年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中
男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生､女生各100名.
（1）完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男､女学生有报考军事类院校意向的概率；
有报考意向 无报考意向 合计
男学生
女学生
合计
（2）根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
参考公式及数据： .
α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.记 的内角 的对边分别为 已知 ，且 ，
（1）求 的面积；
（2）若 ，求A.
17.如图，在四棱锥 中，底面ABCD是边长为2的正方形， 分别是
的中点，
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）求二面角 的余弦值.
18.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
（3）若方程 有两个实数根. 证明：
19.已知数列 的各项均为正整数，设集合 ，记
T的元素个数为 .
（1）若数列 ，且 ， ，求数列 和集合T；
（2）若 是递增的等差数列，求证： ；
（3）请你判断 是否存在最大值，并说明理由
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B B D C C AD ABD
题号 11
答案 ABD
1.C 【详解】解： ，
故 .
2.B 【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司3.C 【详解】因为 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以向量 在向量 上的投影向量为 .
4.B 【详解】对于A，易知“ ”的否定是“ ”，所以A错误；
对于B，由幂函数性质可知 在 上单调递减，可得B正确；
对于C，若 ，则 ；显然 是 的一个零点，但 在 上
单调递增，没有极值点，所以C错误；
对于D，若 是奇函数，不妨取 ，不满足 ，即D错误；
5.B 【详解】 ①，
为奇函数， 为偶函数 ，
②，①+②得
①-②得
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
的最小值为 ，
6.D 【详解】试题分析：设 ，由已知， .由双曲线的定义得：
，又由
得， ，
又 ，选D.
学科网（北京）股份有限公司7.C 【详解】如下图，四棱锥 中，连接 交 分别于点 ，连接 ，
因底面 为平行四边形，则 是 中点，也是 中点，
而点 是 中点，于是得点 是 重心，从而得 ，
因 平面 平面 ，平面 平面 ，
因此得 ，于是得 ，所以 .
8.C 【详解】由已知得函数 ，由 图象过点 以及点在图象上的位置，
知 ，
由 在 上恰有一个最大值和一个最小值， ，
.
9.AD 【详解】A选项，因为 ，且 ，所以
，故A正确；
B选项，数据共有9个数， ，所以第70百分位数是第7个数16，故B错误；
C选项，在一元线性回归分析中可以用决定系数 来刻画回归的效果，若 的值越小，则模型的拟合效
果越差，故C错误；
D选项， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，则 ，
所以 ，故D正确.
10.ABD 【详解】三棱锥 中，已知 ，
三棱锥补形为长方体 ，如图所示，
则有 解得 ，
以 为原点， 的方向为 轴， 轴， 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
点 分别是 的中点，
则有 ，
，
，
所以 选项正确；
，
，
学科网（北京）股份有限公司所以异面直线 所成的角的余弦值是 选项正确；
三棱锥 ，三棱锥 ，三棱锥 ，三棱锥 ，体积都为
，
三棱锥 的体积等于长方体体积减去这四个三棱锥体积，为 ，C选
项错误；长方体的外接球的半径为 ，这个外接球也是三棱锥 的
外接球，
其表面积为 ，D选项正确.
11.ABD 【详解】由题意，可知 ，所以 .又由题意，知 ，所以
，
所以 ，故 的方程为 ，所以 的离心率为 ，渐近线方程为
，故A，B正确；
焦点 到渐近线的距离为 ，所以C错误；
设 的内切圆与 轴相切于点 ，则由双曲线定义得
，所以 ，即 内切圆圆
心的横坐标为 ，所以D正确，
学科网（北京）股份有限公司12.60 【详解】 展开式的通项为 .
令 ，得 ，则 的常数项为 .
13. 【详解】因为 为 的平分线，所以
，又 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，又 ，
所以 所以 ，
所以V 的面积 .
14.2017 【详解】依题意有：
，
所以： ，
15.【详解】（1）根据已知条件，填写 列联表如下：
有报考意向 无报考意向 合计
男学生 100 400 500
女学生 100 300 400
学科网（北京）股份有限公司合计 200 700 900
男生有报考军事类院校意向的概率为 ，
女生有报考军事类院校意向的概率为 .
（2） ，
所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关.
16.【详解】（1）在 中，由余弦定理及 ，得 ，
整理得 ，而 ，所以 的面积 .
（2）由（1）及正弦定理得 ，即 ，于是 ，即
，整理得 ，即 ，
因此 ，即 ，由 ，得 ，解得 或 ，
所以 或 .
17.【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 分别是 的中点
所以 且 且 ，所以 且 ，所以四边形
为平行四边形，所以 ，因为四边形 是正方形，所以 ，
又因为 ，所以 平面 ，所以 平面
又因为 平面 ，所以平面 平面
学科网（北京）股份有限公司（2）取 的中点 ，连接 ，因为 ，所以 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 两两垂直，
以 为原点，向量 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
，
，
设 是平面 的法向量，
则 ，取 ，则 ，所以 ，
设 是平面 的法向量，
则 ，即 ，取 ，则 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，
由图可知，二面角 的为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
18.【详解】（1）因为 ，所以 ，
当 时， 在 上恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，由 ，解得 ，函数 在 上单调递增，
由 ，解得 ，函数 在 上单调递减；
综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为
，单调递减区间为 ；
（2）当 时， ，设切点为 ，
则切线斜率 ，
切线方程为 ，
，所以 ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 的最小值为 ；
（3）由 ，可得 ，令 ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
，不妨设 ，则 ，故 ，
令 ，所以 ，
要证 ，只要证 ，只要证 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
则存在 ，使得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司，
在 上恒成立，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
，进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19.【分析】（1）根据新定义列举出集合 的元素即可求 ；根据题意可知 ，求出
，即可求解；
（2）设公差为 ，则 ，即可分析得 .
（3）利用 的定义结合特例可判断 存在最大值.
【详解】（1）由 ，且 ，得 均不相等，
则 都是集合 中的元素，而 ，
于是 ，解得 ，
所以数列 .
（2）因为 为递增的等差数列，设 的公差为 ，
当 时， ，则 ，
所以 .
（3） 存在最大值，理由如下：
依题意，集合 中的元素个数最多为 个，即 ，
学科网（北京）股份有限公司取 ，此时 ，
若存在 ，则 ，其中 ，
故 ，若 ，不妨设 ，
则 ，而 ，
故 为偶数， 为奇数，矛盾，
即有 ，因此由 得到的 彼此相异，
于是 ，即 的最大值为 ，所以 必有最大值.
【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解答的关键在于理解题意并根据数列中项的大小及数字特征分析
清楚任意两项 的所有可能取值，从而分析得出 的值.
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