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长沙市一中 2026 届高三月考试卷（五）
数学
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 （ ）
A. 11 B. 31 C. 32 D. 121
4. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记所得点数分别为x，y，则 能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点 是抛物线 上的一点，设点 到直线 和 的距离分别为 ，
则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平行四边形 中， ， 分别是 ， 的中点，点 在线段 上.若 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
的
7. 曲线 与 公切线的条数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图，现有棱长为8的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥 ，且 ， ， 分别
为棱 ， ， 上离 最远的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的半径
的最大值为（ ）
A. 4 B. 3 C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符
合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9. 设 为 坐 标 原 点 ， 已 知 对 任 意 实 数 ， 直 线 与 圆
都有两个交点 ， ，则（ ）
A. 直线 过定点
B.
的
C. 当 时， 最小值为
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学科网（北京）股份有限公司D. 当 时，
10. 如图，曲线 下有一系列正三角形，设第 个正三角形 （ 为坐标原点）的边长为
，则（ ）
A.
B. 记 为数列 的前 项和，则 为
C. 记 为数列 的前 项和，则
D. 数列 的前 项和为
11. （多选题）已知 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ 和 ）组成的三
角形，如下图所示，其中 ， .现将 沿斜边 进行翻折成 （
不在平面 上）.若 分别为 和 的中点，则在 翻折过程中，下列命题中正确的是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 在线段 上存在一定点 ，使得 平面
B. 存在某个位置，使得直线 平面
C. 存在某个位置，使得直线 与 所成角为
D. 对于任意位置，二面角 始终不小于直线 与平面 所成角
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知 ， ，则 __________.
13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答）
14. 如图，已知 ， 为双曲线 上关于原点 对称 两的点，点 与点 关于
轴对称， ，直线 交双曲线右支于点 .若 ，则双曲线的离心率 __________.
四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 如图，平面四边形 中， ， ， . 的三个内角 ， ， 的
对边分别是 ， ， ，且 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求角 ；
（2）若 ，求 的面积.
16. 如图1，在平面五边形 中， 为等腰直角三角形， ， ，
， ，点E，F分别为 ， 的中点，将 沿 折到如图2的
位置.
（1）证明： 平面 ；
（2）若二面角 为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
17. 作为湖南省内最高规格的业余足球赛事，湘超联赛自2025年9月开赛以来，凭借14个地级市对抗的独
特赛制引发全民热议.为了解某场湘超联赛的观众与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，
其中男性居民与女性居民的人数比为 ，在抽取的男性居民中，有 的人观看了这场湘超联赛，在抽取
的女性居民中，有100人没有观看这场湘超联赛.
（1）在样本中，随机抽取5人，记5人中观看了这场湘超联赛的人数为X，求X的期望值；
（2）用频率估计概率，样本估计总体，按样本中性别比例用分层抽样的方法在全市居民中随机抽取5人，
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学科网（北京）股份有限公司求恰有2人观看了这场湘超联赛的概率；
（3）现定义： ，其中A，B是随机事件，从这500人中任选1人，M表示“居民观看了
这场湘超联赛”，N表示“居民是女性”，设观看这场湘超联赛与性别的相关程度的一项度量指标
，请利用样本数据求出k的值.
18. 已知椭圆 的离心率为 ， 为坐标原点，椭圆 上的点到两个焦点的距离
之和为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的左､右顶点分别为 ， ，过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 ， 两点，直
线 与直线 相交于点 .
（i）求证：点 在定直线上；
（ii）设 和 的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
19. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 .
（1）求 的单调区间与最大值；
（2）已知关于 的方程 恰有两个实数根 ，若 ，求 的取值范围；
（3）证明： .
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