文档内容
一、数量关系---数字推理解题技巧 .................................................... 1
二、数量关系---数学运算解题技巧 .................................................... 2
一、数量关系---数字推理解题技巧
【解析】D。本题属于多级数列。先看趋势，越来越大，规律不明显，两两做差，得到
质数数列2，3，5，7，（11），所以选择D选项。
【例题】14，6，2，0，（ ）
A、-2 B、-1 C、0 D、1
【解析】B。本题属于多级数列。题目中的一先看趋势，越来越小，也就是趋势是递减
的，是一致的。对于这类递减的数列，我们通常的做法是从相邻两项的差或做商入手，很明
显，这道题目不能从做商入手（因为14/6不是整数），那么，我们就作差，相邻两项的差为
8，4，2成等比数列，因此，0减去所求项应等于1，故所求项等于-1，所以选择B选项。
利用数列的趋势，可以迅速判断出应该采取的方法，所以，趋势就是旗帜，趋势就是解
题的命脉。
第二招：看特殊数字。
比如质数、平方数、立方数等。一些数字推理题目中出现的数距离这些特殊的数字非常
近，因此当出现某个整数的平方或者立方周围的数字时，我们可以从这些特殊数字入手，进
而找出原数列的规律。【例题】61，59，53，47，43，（ ），37
A、42 B、41 C、39 D、38
【解析】B。本题属于质数数列。递减的质数数列，所以选择B选项。
【例题】0，9，26，65，124，（ ）
A、186 B、199 C、215 D、217
【解析】D。本题属于幂次修正数列。当我们看到 26，65，124时，应该自然的联想到
27，64，125，因为27，64和125都是整数的幂次方，27是3的立方，64是4的立方也是
8的平方也是2的6次方，125是5的立方，很明显，我们应该把64看作4的立方，也就是
该数列每一项加1或减1以后，成为一组特殊的数字，他们是整数的立方，具体的说，，，，，，
（ ），故所求项为217，所以选择D选项。
第三招：看倍数关系。
具体解题时，看相邻的项、或者隔项之间有没有倍数关系。
【例题】24，12，36，18，54，（ ）
A、27 B、30 C、32 D、33
【解析】A。本题属于多级数列。相邻项的倍数很明显，24 是 12 的 2 倍，12 是 36 的
1/3，36是18的2倍，18是54的1/3，所以接下来是27，所以选择A选项。
【例题】1，1，8，16，7，21，4，16，2，()
A、10 B、20 C、30 D、40
【解析】A。本题属于多级数列。当我们看到 8，16，7，21，4，16时，相邻项有倍数
关系，不是连续的，而是二个二个分开，1/1=1，16/8=2，21/7=3，16/4=4，因此所求项除
以2应等于5，故所求项为10，故选A。
因此，在做数字推理题时，应该一边读题，看趋势找规律，看特殊数，看倍数。希望这
三招对我们的复习有所帮助。
二、数量关系---数学运算解题技巧
一、页码问题
1、出现0的次数问题
多少页书中有几个带“０”的数字问题
1---100 11 11
101-200 20 31
201-300 20 51301-400 20 71
401-500 20 91
501-600 20 111
601-700 20 131
701-800 20 151
801-900 20 171
901-1000 21 192
一本999页的书，页码中 0共出现了几次？
10到99 有 9个0
100到999 有9*10+9*10=180 个
答案：189
2、“页码中出现”和“多少页中出现”的区别
一本书4000页，问数字“1”在页码中出现的次数
一本书4000页，
个位的1有400个，
十位的1有400个，
百位的1有400个，
千位的1有1000个，
数字“1”出现2200次。
一本书4000页，问数字“1” 在多少页中出现
不包含1的页数有： 3*9*9*9=2187。千位只有三种选法（0,2,3），其
他各有9种，而0000刚好可以代表第4000页的空缺。答案为 4000-2187=1813。
二，握手问题
N个人彼此握手，则总握手数
S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=『n^2-n』/2 =N×(N-1)/2
典型例题：
某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的 2
个人握手，整个游戏一共握手152次， 请问这个班的同学有( )人
A、16 B、17 C、18 D、19
【科信解析解析】此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的多边形对
角线的原理在解决此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取3=152 但是在
计算X时却是相当的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则
这个人需要握x-3次手。每个人都是这样。则总共握了x×(x-3)次手。但是没2
个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×(x-3)÷2=152 计
算的x=19人三，钟表重合公式
钟表几分重合，公式为： x/5=(x+a)/60 a时钟前面的格数
四，时钟成角度的问题
设X时时，夹角为30X ， Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.(请大家掌
握)
钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针
走6度，时针走0.5度，能追5.5度。
1.【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】 【】表示绝对值的意义(求角度公
式)
变式与应用
2.【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A (已知角度或时针或分针求其中
一个角)
五，往返平均速度公式及其应用(引用)
某人以速度a从 A地到达 B地后，立即以速度b返回 A地，那么他往返的平
均速度v=2ab/(a+b )。
证明：设A、B两地相距S，则
往返总路程2S，往返总共花费时间 s/a+s/b
故 v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)
六，空心方阵的总数
空心方阵的总数= (最外层边人(物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数
×4= 最外层的每一边的人数^2-(最外层每边人数-2*层数)^2=每层的边数相加
×4-4×层数
空心方阵最外层每边人数=总人数/4/层数+层数
方阵的基本特点： ① 方阵不论在哪一层，每边上的人(或物)数量都相同.
每向里一层边上的人数就少2;
② 每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系：
③ 中实方阵总人(或物)数=(每边人(或物)数)2=(最外层总人数÷4+1)2
典型例题：① 某部队排成一方阵，最外层人数是80人，问方阵共有多少官
兵?(441人)
② 某校学生刚好排成一个方队，最外层每边的人数是24人，问该方阵有多
少名学生?(576名)解题方法：方阵人数=(外层人数÷4+1)2=(每边人数)2
③ 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要
使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动
员有多少人?(289人)
解题方法：去掉的总人数=原每行人数×2-1=减少后每行人数×2+1
典型例题：某个军队举行列队表演，已知这个长方形的队阵最外围有32人，
若以长和宽作为边长排出2个正方形的方阵需要180人。则原来长方形的队阵总
人数是( )
A、64 B、72 C、96 D、100【解析】这个题目经过改编融合了代数知识中的平方和知识点。长方形的(长
+宽)×2=32+4 得到长+宽=18。 可能这里面大家对于长+宽=18 有些难以计算。
你可以假设去掉4个点的人先不算。长+宽(不含两端的人)×2+4(4个端点的
人)=32 ， 则计算出不含端点的长+宽=14考虑到各自的2端点所以实际的长宽
之和是14+2+2=18 。 求长方形的人数，实际上是求长×宽。根据条件 长×长+
宽×宽=180 综合(长+宽)的平方=长×长+宽×宽+2×长×宽=18×18 带入计算
即得到B。其实在我们得到长宽之和为18时，我们就可以通过估算的方法得到
选项B
七，青蛙跳井问题
解题方法：完成任务的次数=(井深或绳长 - 每次滑上米数) /实际单长+1
典型例题：①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4
米，这样青蛙需跳几次方可出井?
应用公式：（10-5）/（5-4）+1=6
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小
赵几次才能爬上单杠?(7)每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。
完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1
八，容斥原理
总公式：满足条件一的个数+满足条件2的个数-两个都满足的个数=总个数-
两个都不满足的个数
九，传球问题
N个人传M次球，记X=[(N-1)^M]/N，则与X最接近的整数为传给“非自己
的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条
公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并
作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：
A.60种 B.65种 C.70种 D.75种
x=(4-1)^5/4 x=60
十，圆分平面公式：
N^2-N+2,N是圆的个数
十一，剪刀剪绳
对折N次，剪 M刀，可成M*2^n+1段
将一根绳子连续对折3次,然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操
作后,原来的绳子被剪成了几段?
A.18段 B.49段 C.42段 D.52段十二，四个连续自然数
性质一，为两个积数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被 4整
除
性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数
十三，骨牌公式
公式是：小于等于总数的2的 N次方的最大值就是最后剩下的序号
十四，指针重合公式
关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S(S为题目中最小的单
位在题目所要求的时间内所走的格书，确定S 后算出T的最大值知道相遇多少
次。)
十五，图色公式
公式：(大正方形的边长的3次方)—(大正方形的边长—2)的3次方。
十六，装错信封问题
小明给住在五个国家的五位朋友分别写信，这些信都装错的情况共有多少种
44种
f(n)=n!(1-1/1!+1/2!!-1/3!......+(-1)n(1/n!))
或者可以用下面的公式解答
装错1信 0种
装错2信：1种
3 2
4 9
5 44
递推公式是S(n)=n.S(n-1)+(-1)^n~~~~~
如果是6封信装错的话就是265~~~~
十七，伯努利概率模型
某人一次涉及击中靶的概率是3/5，设计三次，至少两次中靶的概率是
集中概率3/5，则没集中概率2/5，即为两次集中的概率+三次集中的概率
公式为 C(2,3)*[(3/5)^2]*[(2/5)^1]+C(3,3)[(3/5)^3]*[(2/5)^0]
81/125
十八，圆相交的交点问题
N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析 N*(N-1)
十九，约数个数问题
M=A^X*B^Y 则M的约数个数是
(X+1)(Y+1)
例题：360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?
解：360=2×2×2×3×3×5，所以360的任何一个约数都等于至多三个2(可
以是零个，下同)，至多两个3和至多一个 5 的积。如果我们把下面的式子(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)
展开成一个和式，和式中的每一个加数都是在每个括号里各取一个数相乘的
积。由前面的分析不难看出，360的每一个约数都恰好是这个展开式中的一个加
数。由于第一个括号里有4个数，第二个括号里有3个数，第三个括号里有 2个
数，所以这个展开式中的加数个数为4×3×2=24，而这也就是360的约数的个
数。另一方面，360的所有约数的和就等于这个展开式的和，因而也就等于
(1+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5)
=15×13×6=1，170
答：360的约数有24个，这些约数的和是1，170。
例题：甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，
那么甲数和乙数分别是多少?
解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可
以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它
的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.
2800=24×52×7.
在它含有的约数中是完全平方数，只有 1，22，24，52，22×52，24×52.
在这6个数中只有22×52=100，它的约数是(2+1)×(2+1)=9(个).
2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100=22×52，因此乙
数至少要含有24和7，而24×7=112恰好有(4+1)×(1+1)=10(个)约数，从而乙
数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.
二十，吃糖的方法
当有n块糖时，有2^(n-1)种吃法。
二十一，隔两个划数
把1，2，3，4，„„，1986，1987 这1987个数均匀排成一个大圆圈，从1开始
数：隔过1划掉2，3，隔过4划掉5，6，这样每隔一个数划掉两个数，转圈划
下去，„„。问：最后剩下哪个数？
1987=3^6+1258
1258÷2×3+1=1888
即剩下的是1888
减去1能被 3整除
二十二，2 乘以多少个奇数的问题
例题：如果N是1，2，3，„，1998，1999，2000的最小公倍数，那么N
等于多少个2与 1个奇数的积?
解：因2^10=1024，2^11=2048>2000，每个不大于2000的自然数表示为质
因数相乘，其中2的个数不多于10个，而1024=2^10，所以，N等于10 个2与
某个奇数的积。
二十三，公交车超骑车人和行人的问题
例题：一条街上，一个骑车人和一个步行人相向而行，骑车人的速度是步行人的3倍，每个隔10分钟有一辆公交车超过一个行人。每个隔20分钟有一辆公
交车超过一个骑车人，如果公交车从始发站每隔相同的时间发一辆车，那么间隔
几分钟发一辆公交车?
此类题通解公式：
a=超行人时间，b=超自行车时间，m=人速，n=自行车速
则每隔t分钟发车;t=(abn-abm)/(bn-am)，令M=1 N=3，解得T=8。
二十四，公交车前后超行人问题
例题：小明放学后,沿某公交路线以不变速度步行回家,该路公共汽车也以不
变速度不停的运行,每隔9分钟就有一辆公共汽车从后面超过他,每隔7分钟就遇
到迎面开来的一辆公共汽车,问该路公共汽车每隔多少分钟发一辆车?
此类题有个通解公式：如果a分钟追上，b分钟相遇，
则是2ab/(a+b)分钟发一次车
二十五，象棋比赛人数问题
例题：象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2
分，负者记0分，和棋各记 1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别
是:1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选
手共有多少名?
A.44 B.45 C.46 D.47
解析：44*43=1892， 45*44=1980 ，46*45=2070 所以选B
二十六，频率和单次频度都不同问题
例题：猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔要跑 9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，
兔子跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子?( )
A. 67 B. 54 C. 49 D. 34
解析：猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬
跑2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=54
二十七，上楼梯问题
一般来说上电梯有a1=1 a2=2 a3=4 a4=a1+a2+a3
所以一般公式是 an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)
二十八，牛吃草公式
核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)*天数
例如:10牛可吃20天,15牛可吃10天,则 25牛可吃多少天?
解:可用公式,设每天恰可供X头牛吃一天,25牛可吃N天
则(10-X)*20=(15-X)*10=(25-X)*N ，可得X=5,Y=5
二十九，十字相乘法
十字相乘法使用时要注意几点：
第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。
第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。
例题：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，
而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：
A .84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分 答案：A
分析： 假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：
5。
男生：Y 9
75
女生：X 5
根据十字相乘法原理可以知道
X=84
三十，兔子问题
An=A(n-1)An(n-2)
已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出
一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子?
析：1月:1对幼兔
2月:1对成兔
3月;1对成兔.1对幼兔
4月;2对成兔.1对幼兔
5月;3对成兔.2对幼兔
6月;5对成兔.3对幼兔.......
可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项
为:13,21,34,55,89,144，
答:有144只兔
三十一，称重量砝码最少的问题
典型例题：要用天平称出1克、2克、3克„„40克这些不同的整数克重量，
至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少?
解析：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。
(1)称重1克，只能用一个 1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。
(2)称重2克，有 3种方案：
①增加一个1克的砝码;
②用一个2克的砝码;
③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把
3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。
(3)称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。
(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。
总之，用1克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。
(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5 克时可以利用
9-(3+1)=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在
称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。
而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为14+13=27(克)，
可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。
总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是
本题的答案。
三十二，文示图
典型例题：甲,乙,丙三个人共解出20道数学题,每人都解出了其中的12道
题,每道题都有人解出.只有一人解出的题叫做难题, 只有两人解出的题叫做中
等题,三人解出的题叫做容易题,难题比容易题多( )题?
A、6 B、5 C、4 D、3
解析：第三题需要结合文氏图来理解了，画图会很清楚的
我们设a表示简单题目， b表示中档题目 c表示难题
a+b+c=20
c+2b+3a=12×3 这个式子式文氏图中必须要记住和理解的
将a+b+c=20变成 2a+2b+2c=40 减去 上面的第2个式子
得到： c-a=4 答案出来了
可能很多人都说这个方法太耗时了，的确。在开始使用这样方法的时候费时
不少。当当完全了解熟练运用a+2b+3c这个公式时，你会发现再难的题目也不会
超过1分钟。
三十三，九宫图问题
此公式只限于奇数行列
步骤1：按照斜线的顺序把数字按照从小到大的顺序，依次斜线填写!
步骤2： 然后将3×3格以外格子的数字折翻过来，
最左边的放到最右边，最右边的放到最左边
最上边的放到最下边，最下边的放到最上边
这样你再看中间3×3格子的数字是否已经满足题目的要求了
三十四，用比例法解行程问题
了解如下几个关系：
路程为S。速度为V 时间为T
S=VT V=S/T T=S/V
S相同的情况下： V跟 T成反比
V相同的情况下： S跟 T成正比
T相同的情况下： S跟 V成正比
注：比例点数差也是实际差值对应的比例! 理解基本概念后，具体题目来分
析
典型例题:甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在
长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲
车减速1/3 ，而乙车则增速1/3 。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共
行驶了多少千米?
A. 1250 B. 940 C. 760 D. 1310
解析：我们先来看 需要多少次相遇才能速度相等
160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方 N代表了次数 解得N=3 说明第三次相遇即达到速度相等.
第一次相遇前： 开始时速度是160：20=8：1 用时都一样，则路程之比=速
度之比我们设乙行驶了a千米 则 (a+210 ) ： a = 8：1 解得 a=30
第二次相遇前： 速度比是 甲：乙=4：1 用时都一样， 则路程之比=速度之
比我们设乙从第1次相遇到第 2次相遇行驶了 b千米 则 (b+210 ) ： b = 4：1
解得 a=70
第三次相遇前：速度比是 甲：乙=2：1 用时都一样， 则路程之比=速度之
比我们设乙从第2次相遇到第 3次相遇行驶了 c千米 则 (c+210 ) ： c = 2：1
解得 c=210
则三次乙行驶了 210+70+30=310千米
而甲比乙多出3圈 则甲是 210×3+310=940
则 两人总和是 940+310=1250
三十五，计算错对题的独特技巧
典型例题：某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，不做的不得分，
做错一道题倒扣2分 小明得分是96分，并且小明有题目没做，则小明答对了几
道试题( )
A. 28 B. 27 C. 26 D.25
解析：我们把一个答错的和一个不答的题目看成一组，则一组题目被扣
分是6+4=10
解释一下6跟 4的来源
6是做错了不但得不到4分还被扣除2分 这样里外就差4+2=6分
4是不答题 只被扣4分，不倒扣分。
这两种扣分的情况看着一组
目前被扣了30×4-96=24分
则说明 24÷10=2组 余数是4
余数是4 表明2组还多出1个没有答的题目
则表明 不答的题目是2+1=3题，答错的是2题
三十六，票价与票值的区别
票价是P( 2，M) 是排列 票值是C(2，M)
三十七，两数之间个位和十位相同的个数
1217到2792之间有多少个位数和十位数相同的数?
从第一个满足条件的数开始每个满足条件的数之间都是相差11
方法一：看整数部分1217～2792
先看1220～2790 相差1570 则有这样规律的数是1570÷10=157个
由于这样的关系 我总结了一个方法 给大家提供一个全新的思路
方法二：我们先求两数差值 2792-1217=1575
1575中有多少11呢 1575÷11=143 余数是2
大家不要以为到这里就结束了 其实还没有结束
我们还得对结果再次除以11 直到所得的商小于11为止
商+余数再除以11
(143+2)÷11=13 余数是2
(13+2)÷11=1 因为商已经小于11，所以余数不管则我们就可以得到个数应该是143+13+1=157
不过这样的方法不是绝对精确的，考虑到起始数字和末尾数字的关系。 误
差应该会在1之间!不过对于考生来说 误差为 1 已经可以找到答案了!
三十八，搁两人握手问题
典型例题：某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能
跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152 次， 请问这个班的同学有( )人
A、16 B、17 C、18 D、19
解析：此题看上去是一个排列组合题，但是却是使用的对角线的原理在解决
此题。按照排列组合假设总数为X人 则Cx取 3=152 但是在计算X时却是相当
的麻烦。 我们仔细来分析该题目。以某个人为研究对象。则这个人需要握 x-3
次手。每个人都是这样。则总共握了x×(x-3)次手。但是没2个人之间的握手
都重复计算了1次。则实际握手次数是x×(x-3)÷2=152 计算的x=19人
三十九，溶液交换浓度相等问题
设两个溶液的浓度分别为A%，B%并且 A>B 设需要交换溶液为X
则有：(B-X)：X=X：(A-X)
A：B=(A-X)：X
典型例题：两瓶浓度不同得盐水混合液。60%的溶液是40克，40%的溶液是
60克。要使得两个瓶子的溶液浓度相同，则需要相互交换( )克的溶液?
A、36 B、32 C、28 D、24
解析:我们从两个角度分析一下，假设需要交换的溶液为a克。则我们来一
个一个研究，先看60%的溶液 相对于交换过来的a克40%的溶液 可以采用十字
交叉法来得出一个等式 即(再设混和后的标准浓度是p)
40-a ：a=(P-40% ) ：(60%-P)
同理我们对40%的溶液进行研究 采用上述方法 也能得到一个等式：
60-a ：a=(60%-P) ：(P-40%)
一目了然，两者实际上是反比，即40-a ：a=a ：60-a 解得 a=24 即选D
如果你对十字交叉法的原理理解的话 那么这个题目中间的过程完全可以省
去。所以说任何捷径都是建立在你对基础知识的把握上。
解法二： 干脆把2个溶液倒在一起混和，然后再分开装到2个瓶子里 这样
浓度也是相等的。我们根据十字交叉法 ，60 跟40的溶液混合比例 其实跟交换
的x克60%溶液与剩下60-x 克40%的溶液比例成反比，则60：40=60-x：x解 X=24
克
四十，木桶原理
典型例题：一项工作由编号为1～6的工作组来单独完成，各自完成所需的
时间是：5天，7天，8天，9天，10.5天，18天。现在将这项工作平均分配给
这些工作组来共同完成。则需要( )天?
A、2.5 B、3 C、4.5 D、6
解析：这个题目就是我们常说的“木桶效应”类型的题目。 “木桶效应”
概念来自于经济学中的称呼。意思是一个木桶是由若干个木板拼凑起来的。其存
水量取决于最短的那块木板。 这个题目我们看 该项工作平均分配给了每个小
组，则每个小组完成1/6的工作量。他们的效率不同 整体的时间是取决于最慢的那个人。当最慢的那个人做完了，其它小组早就完成了。18天的那个小组是
最慢的。所以完成1/6需要 3小时，选B
四十一，坏钟表行走时间判定问题
典型例题：一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是
正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间 发现钟表的时刻
为晚上9：00 请问钟表在何时被调整为标准时间?
A、10：30 B、11：00 C、12：00 D、1：30
解析:此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则 1个小时快60
×6=360秒即6分钟。当9：00的时候 说明分针指在12点上。看选项。其时针
正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即 分针快了10.5×6=63
分钟。则分针应该在33分上。错误! 同理看B 选项 相差10个小时 即10×6=60
分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12 上选B，其它雷同分析。
四十二，双线头法则问题
设做题的数量为S 做对一道得X分 做错一道扣Y分 不答不得分
竞赛的成绩可能值为N 令T=(X+Y)/Y
则N={[1+(1+S)]*(1+S)}/2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}/2
典型例题：某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是每一题答对得4分，
答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则 N应等于
多少?
A、28 B、30 C、32 D、36
解析:该题是双线段法则问题【(1+11)×11÷2 】-【(1+8)×8÷2】=30
所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个
线段一共可以行成多少线段。计算方法就是(N-1)×N÷2，我看这个题目。我们
按照错误题目罗列大家就会很清楚了
答对题目数 可能得分
10 40
9 36，34
8 32，30，28
7 28，26，24，22
6 24，22，20，18，16
5 20，18，16，14，12，10
4 16，14，12，10， 8， 6，4
3 12，10， 8， 6， 4， 2，0， -2
2 8， 6， 4， 2， 0，-2，-4，-6，-8
1 4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，
0 0，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，-16，-18，-20
这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错
题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第 7开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的
线段法则。所以称之为双线段法则应用。
回归倒我一看的题目 大家可能要问，后面【 】里面的8从什么地方来的? 这
就是确定重复位置在哪里的问题。 (得分分值+扣分分值)÷扣分分值=3 即当错
3题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。10-3=7 就是说 从0～
8之间有多少个间隔就有多少个重复组合。
四十三，两人同向一人逆相遇问题
典型例题：在一条长12米的电线上,红,蓝甲虫在8:20从左端分别以每分钟
13厘米和11厘米的速度向右端爬行去,黄虫以每分钟15厘米的速度从右端向左
爬去,红虫在什么时刻恰好在蓝虫和黄虫的中间?
A 8:55 B 9:00 C 9:05 D 9:10
解析：公式总结;设同向的速度分别为A B 逆向的为C 时间为T
则T=A+[(A-B)/2+C]*T=S
四十四，往返行程问题的整体求解法
首先两运动物体除第一次相遇行S外，每次相遇都行使了2S。
我们可以假设停留的时间没有停留，把他计入两者的总路程中
化静为动巧求答
典型例题：1快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离
乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停
留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小
时?
解析：根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两
车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不
在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为 600×2+60
×0.5+40×1=1270(千米)，故此期间所经时间为1270÷(60+40)=12.7(小时)
四十五，行船问题快解
典型例题：一只游轮从甲港顺流而下到乙港，马上又逆水返回甲港，共用8
小时，顺水每小时比逆水每小时多行12千米，前4小时比后 4小时多行30千米。
甲、乙两港相距多少千米?
A.72 B.60 C.55 D.48
解析：30/12=5/2，8-5/2=11/2
(12/2)*1/[(2/5-2/11)/2]=55
四十六，N 条线组成三角形的个数
n条线最多能画成几个不重叠的三角形 F(n)=F(n-1)+ F(n-2) 如 f(11)=19四十七，边长为 ABC 的小立方体个数
边长为ABC的长方体由边长为 1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，
露在外面的小立方体共有 abc-(a-2)(b-2)(c-2)
四十八，测井深问题
典型例题：用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，
绳子超过井台9米;把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。那么，绳子
长多少米?
解析：(2*9-3*2)/(3-2)=12
(折数*余数-折数*余数)/折数差=高度
绳长=(高度+余数)*折数=(12+9)*2=42
四十九，分配对象问题
(盈+亏)/分配差 =分配对象数
典型例题：有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母;
若1个螺丝配 3个螺母，则少 6个螺母。共有多少个螺丝?( )
A.16 B.22 C.42 D.48
解析：A，(10+6)/(3-2)=16
五十，鸡兔同笼问题
熟练掌握鸡兔同笼的基本方法；
方法一：设鸡求兔：（总足数-2×总头数）÷（4-2）=兔头数；总头数-
兔头数=鸡头数；
方法二：设兔求鸡：（4×总头数-总足数）÷（4-2）=鸡头数；总头数-
鸡头数=兔头数；
