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一.选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.复数 的共轭复数 等于（ ）
2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
圆柱 圆锥 四面体 三棱柱
3.等差数列 的前 项和 ，若 ，则 ( )
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4.若函数 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 得值等于（ ）
第1页 | 共6页6.直线 与圆 相交于 两点，则 是“ 的面积为 ”的
（ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
充分必要条件 既不充分又不必要条件
7.已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为
8.在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是（ ）
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A. B .
C. D.
9.设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
10.用 代表红球， 代表蓝球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1个红球和1个篮球中取出若干
个球的所有取法可由 的展开式 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“ ”表
示取出一个红球，面“ ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示
从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的
第2页 | 共6页是
A. B.
C. D.
二、填空题
11、若变量 满足约束条件 则 的最小值为________.
12、在 中， ,则 等于_________.
13、要制作一个容器为4 ，高为 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面
造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
14.如图，在边长为 （ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为
______.
15.若集合 且下列四个关系：
① ；② ；③ ；④ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数
是_________.
三．解答题：本大题共6小题，共80分.
16.（本小题满分13分）
已知函数 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
第3页 | 共6页（2）求函数 的最小正周期及单调递增区间.
17.（本小题满分12分）
在平行四边形 中， ， .将 沿 折起，使得
平面 平面 ，如图.
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（1）求证： ；
（2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾
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客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和
50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励
总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球
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的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
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19.（本小题满分13分）
已知双曲线 的两条渐近线分别为 .
（1）求双曲线 的离心率；
第4页 | 共6页（2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一，
四象限），且 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公
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共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在，说明理由。
20. （本小题满分14分）
已知函数 （ 为常数）的图像与 轴交于点 ，曲线 在点 处
的切线斜率为-1.
（I）求 的值及函数 的极值；
（II）证明：当 时， ；
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（III）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 .
21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.
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如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题
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号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 的逆矩阵 .
（I）求矩阵 ；
（II）求矩阵 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
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