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2014 年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项）
1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y= B．y=（x﹣1）2
C．y=2﹣x D．y=log （x+1）
0.5
3．（5分）曲线 （θ为参数）的对称中心（ ）
A．在直线y=2x上 B．在直线y=﹣2x上
C．在直线y=x﹣1上 D．在直线y=x+1上
4．（5 分）当 m=7，n=3 时，执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（
）
A．7 B．42 C．210 D．840
5．（5分）设{a }是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a }为递增数列”的（
n n
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第1页 | 共6页6．（5分）若x，y满足 ，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（
）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C
（0，2，0），D（1，1， ），若 S ，S ，S 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在
1 2 3
xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）
A．S =S =S B．S =S 且S ≠S C．S =S 且S ≠S D．S =S 且S ≠S
1 2 3 2 1 2 3 3 1 3 2 3 2 3 1
8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”
“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门
成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生
比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学
生，则这一组学生最多有（ ）
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．（5分）复数（ ）2= ．
10．（5分）已知向量 ， 满足| |=1， =（2，1），且 + = （λ R），
则|λ|= ． ∈
11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与 ﹣x2=1具有相同渐近线，则
C的方程为 ；渐近线方程为 ．
12．（5分）若等差数列{a }满足a +a +a ＞0，a +a ＜0，则当n= 时，
n 7 8 9 7 10
{a }的前n项和最大．
n
13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产
品C不相邻，则不同的摆法有 种．
14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若
第2页 | 共6页f（x）在区间[ ， ]上具有单调性，且f（ ）=f（ ）=﹣f（ ），
则f（x）的最小正周期为 ．
三、解答题（共 6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程）
15．（13分）如图，在△ABC中，∠B= ，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，
cos∠ADC= ．
（1）求sin∠BAD；
（2）求BD，AC的长．
16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相
互独立）；
场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数
主场1 22 12 客场1 18 8
主场2 15 12 客场2 13 12
主场3 12 8 客场3 21 7
主场4 23 8 客场4 18 15
主场5 24 20 客场5 25 12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6的
概率；
第3页 | 共6页（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超
过0.6，一场不超过0.6的概率；
（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为
李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与 的大小（只需写出结论）．
17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，
在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点
G，H．
（1）求证：AB∥FG；
（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并
求线段PH的长．
18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x [0， ]
∈
（1）求证：f（x）≤0；
第4页 | 共6页（2）若a＜ ＜b对x （0， ）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．
∈
19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，
（1）求椭圆C的离心率
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直
线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．
第5页 | 共6页20．（13分）对于数对序列P：（a ，b ），（a ，b ），…，（a ，b ），记
1 1 2 2 n n
T （P）=a +b ，T （P）=b +max{T （P），a +a +…+a }（2≤k≤n），其中
1 1 1 k k k﹣1 1 2 k
max{T （P），a +a +…+a }表示T （P）和a +a +…+a 两个数中最大的数，
k﹣1 1 2 k k﹣1 1 2 k
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T （P），T （P）的值；
1 2
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，
d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试
分别对m=a和m=d两种情况比较T （P）和T （P′）的大小；
2 2
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，
6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P使T （P）最小，并写出T
5 5
（P）的值（只需写出结论）．
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