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一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.设命题 ，则 为（ ）
2.已知集合 ，则 （ ）
3.对一个容量为 的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法
抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 ，则（ ）
4.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
5.在区间 上随机选取一个数 ，则 的概率为（ ）
6.若圆 与圆 ，则 （ ）
7.执行如图1所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 属于（ ）
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A. B. C. D.
第1页 | 共5页[来源:Z§xx§k.Com]
8.一块石材表示的几何体的三视图如图 2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径
等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
9.若 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10.在平面直角坐标系中， 为原点， ， , ，动点 满足 ,
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则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
第2页 | 共5页11.复数 （ 为虚数单位）的实部等于_________.
12.在平面直角坐标系中，曲线 （ 为参数）的普通方程为___________.
13.若变量 满足约束条件 ，则 的最大值为_________.
14.平面上以机器人在行进中始终保持与点 的距离和到直线 的距离相等.若机器人接触不到
过点 且斜率为 的直线，则 的取值范围是___________.
15.若 是偶函数，则 ____________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.
16.（本小题满分12分）已知数列 的前 项和 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和.
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17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小
组往年研发新产品的结果如下：
其中 分别表示甲组研发成功和失败； 分别表示乙组研发成功和失败.
(1)若某组成功研发一种新产品，则给改组记1分，否记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均
数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；
(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估算恰有一组研发成功的概率.
18.（本小题满分12分）如图3，已知二面角 的大小为 ，菱形 在面 内，
第3页 | 共5页两点在棱 上， ， 是 的中点， 面 ，垂足为 .
(1)证明： 平面 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
19.（本小题满分13分）如图4，在平面四边形 中，
,
(1)求 的值；
(2)求 的长
20. （本小题满分 13 分）如图 5， 为坐标原点，双曲线 和椭圆
均过点 ，且以 的两个顶点和 的两个焦点为顶点的四边
形是面积为2的正方形.
(1)求 的方程；
(2)是否存在直线 ，使得 与 交于 两点，与 只有一个公共点，且 ？证明你
第4页 | 共5页的结论.
21.（本小题满分13分）已知函数 .
（1）求 的单调区间；
（2）记 为 的从小到大的第 个零点，证明：对一切 ，有 .
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. .
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