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一.选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.复数 的共轭复数 等于（ ）
2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）
圆柱 圆锥 四面体 三棱柱
3.等差数列 的前 项和 ，若 ，则 ( )
4.若函数 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
第1页 | 共20页5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 得值等于（ ）
第2页 | 共20页6.直线 与圆 相交于 两点，则 是“ 的面积为 ”的
（ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件
充分必要条件 既不充分又不必要条件
第3页 | 共20页7.已知函数 则下列结论正确的是（ ）
A. 是偶函数 B. 是增函数 C. 是周期函数 D. 的值域为
8.在下列向量组中，可以把向量 表示出来的是（ ）
A. B .
C. D.
9.设 分别为 和椭圆 上的点，则 两点间的最大距离是（ ）
A. B. C. D.
第4页 | 共20页10.用 代表红球， 代表蓝球， 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1个红球和1个篮球中取出若干
个球的所有取法可由 的展开式 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“ ”
表示取出一个红球，面“ ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表
示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都
不取出的所有取法的是
A. B.
C. D.
二.填空题
11.若变量 满足约束条件 则 的最小值为________.
第5页 | 共20页12.在 中， ,则 的面积等于_________.
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13.要制作一个容器为4 ，高为 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面
造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）
14.如图，在边长为 （ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为
______.
第6页 | 共20页15.若集合 且下列四个关系：
① ；② ；③ ；④ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是
_________.
三.解答题：本大题共6小题，共80分.
16.（本小题满分13分）
已知函数 .
（1）若 ，且 ，求 的值；
第7页 | 共20页（2）求函数 的最小正周期及单调递增区间.
试题解析： (1)因为 所以 .所以
17.（本小题满分12分）
在平行四边形 中， ， .将 沿 折起，使得
平面 平面 ，如图.
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（1）求证： ；
（2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
第8页 | 共20页试题解析：(1)因为 平面 ,平面 平面 平面 所以
平面 又 平面 所以 .
第9页 | 共20页18.（本小题满分13分）
为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾
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客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求
①顾客所获的奖励额为60元的概率
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和
50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励
总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球
的面值给出一个合适的设计，并说明理由.
【答案】(1) ,参考解析;(2)参考解析
【解析】
试题分析：(1)由袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元,又规定每位顾客从
一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励
额..由获得60元的事件数 除以总的事件数 即可. 顾客获得奖励有两种情况20元,60元.分别计算
出他们的概率,再利用数学期望的公式即可得结论.
第10页 | 共20页第11页 | 共20页.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方
案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.
考点：1.概率.2.统计.3.数学期望,方差.
19.（本小题满分13分）已知双曲线 的两条渐近线分别为
.
（1）求双曲线 的离心率；
（2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一，
四象限），且 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公
共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不存在，说明理由.
第12页 | 共20页第13页 | 共20页第14页 | 共20页20. （本小题满分14分）
已知函数 （ 为常数）的图象与 轴交于点 ，曲线 在点 处
的切线斜率为-1.
（I）求 的值及函数 的极值；
（II）证明：当 时， ；
（III）证明：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 ，恒有 .
第15页 | 共20页第16页 | 共20页②若 ,令 ,要使不等式 成立，只要 成立.而要使 成立，则只要
本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.
如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题
号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.
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（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 的逆矩阵 .
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（I）求矩阵 ；
（II）求矩阵 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
第17页 | 共20页（2）（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程
已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数），圆 的参数方程为
，（ 为常数）.
（I）求直线 和圆 的普通方程；
（II）若直线 与圆 有公共点，求实数 的取值范围.
第18页 | 共20页试题解析：（I）直线 的普通方程为 .圆C的普通方程为 .
（II）因为直线 与圆有公共点,故圆C的圆心到直线 的距离 ,解得 .
考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.
（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将
已知定义在R上的函数 的最小值为 .
（I）求 的值；
（II）若 为正实数，且 ，求证： .
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