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内部资料 免费交流 第一章 计算问题 第一讲 等差数列 二、能力训练 例1.【答案】15，5+2×（n-1）。解析：根据等差数列通项公式可知a =5+2×（6-1） 6 =15，a =5+2×（n-1）。 n 例2.【答案】3，1，1+3×（n-1），a =7，a =7，a =10。解析：根据等差数列通 3 3 4 项公式可知d=（16-7）÷（6-3）=3，a =7-3×（3-1）=1，a =1+3×（n-1），前5项的 1 n 中间项是a =7，前6项的中间两项是a =7，a =7+3=10。 3 3 4 例3.【答案】240。解析：根据等差数列求和公式可知S =（2+58）×8÷2=240。 8 10（10-1)5 例4【. 答案】245。解析：根据等差数列求和公式可知S =2×10+ =245。 10 2 例5.【答案】15。解析：前9项的中项为a ，根据中项公式a =135÷9=15。 5 5 例6.【答案】592。解析：根据等差数列性质：若m+n=p+q，则a +a =a +a 可 m n p q (a a )×16 (a a )×16 (1163)×16 知，S = 1 16 = 2 15 = =592。 16 2 2 2 三、效果检验 1.【答案】B。解析：序列每项的第一个和第二个乘数分别是公差为1和4的等差 数列，所以第一个乘数的通项公式为5+（n-1）=n+4，第二个乘数的通项公式为3+4× （n-1）=4n-1。根据题意可列方程（n+4）×（4n-1）=546，解得n =10，n =-13.75（舍 1 2 去）故选B。也可代入选项排除，根据尾数法确定B项。 1内部资料 免费交流 2.【答案】B。解析：由图形可知，拼一层白色的三角形有1个，拼二层有（1+2） nn1 个，拼三层有（1+2+3）个，则拼n层有（1+2+3+……+n）= 个，拼10层有 2 10×11÷2=55个。故本题选B。 3.【答案】D。解析：连续日期是公差为1的等差数列，根据等差数列基本性质可 a a a a 得 1 10 ×10= 5 6 ×10=155，则a a =31，则这休假的10天中第5天为15日， 5 6 2 2 第6天为16日，第10天为16+4=20日，所以今天是21日。故本题选D。 4.【答案】B。解析：方法一，题中的关键词在于“等差数列”和“平均数”。等 差数列的平均数与其等差中项有关系。9人的得分构成等差数列且平均分是86分，则 该数列的中项，即第5名工人得分为86分。同理，前5名工人得分之和为460，则其 等差数列的中项即第3名得分为460÷5=92分。可知第4名得分为（92+86）÷2=89分， 前7名得分之和为89×7=623分，选B。 方法二，根据等差数列中项公式可知，前7名工人的得分之和应为7的倍数，排除 C、D选项，代入A项可知，前7项的中项即第4名为602÷7=86分，根据题意9人的 得分构成等差数列且平均分是86分，则该数列的中项即第5名工人得分为86分，与第 4名得分为86分矛盾，所以选择B选项。 5.【答案】C。解析：观察题干，由等差数列性质可知a -a a -a ，所以题干 10 3 11 4 的两个式子相加得，a -(a -a )(a -a )=12，即a =12，由等差数列中项求和公 7 10 3 11 4 7 式得S =a ×13=156。故本题选C。 13 7 第二讲 简单计算 二、能力训练 例1.①【答案】920。解析：不超过10万元的部分按销售额的0.8%提成；超过10 万，不超过 20 万元的部分按销售额的 0.6%提成，则王某本月的销售提成为 100000×0.8%+20000×0.6%=920元； ②【答案】3200。解析：不超过10万元的部分按销售额的0.8%提成；超过10万， 不超过20万元的部分按销售额的0.6%提成；超过20万元的部分按销售额的1.2%提成， 则孙某本月的销售提成为100000×0.8%+100000×0.6%+150000×1.2%=3200元； 2内部资料 免费交流 ③【答案】23.75。解析：当销售额为10万元时，提成为100000×0.8%=800元；当 销售额为20万元时，提成为800+100000×0.6%=1400元。赵某本月的销售提成为1850 元，综上可知其销售额在 20 万以上。赵某销售额超过 20 万元的部分提成是 1850-1400=450元，则超过20万元部分销售额为450÷1.2%=37500元，则赵某本月销售 额为200000+37500=237500元=23.75万元。 3   例2.【答案】5。解析： = ，小数点后面以6个数为一个周期循环， 0.428571 7 2008÷6=334……4，故小数点后面的第2008位和小数点后面的第4位相同，即是数字5。 例3.【答案】3。解析：当n=1、2、3、4、5……时，3n的尾数依次为3、9、7、1、 3……，即周期循环数为4，2017÷4=504……1，则32017的尾数与31的尾数相同，故32017 的尾数为3。 例4.【答案】25%。解析：方法一，设溶液总量为100，溶质为50，操作三次后溶 1 1 1 3 4 5 25 质为50×（1- ）×（1- ）×（1- ）=50× × × =25，所以浓度变为 100%=25%。 4 5 6 4 5 6 100 3 4 5 方法二，三次操作后酒精浓度变为50%× × × =25%。 4 5 6 例 5. 【 答 案 】 23.2% 。 解 析 ： 方 法 一 ， 溶 液 的 浓 度 溶质质量 40019%60026% = ×100%= ×100%=23.2%。 溶液质量 400600 方法二，设混合后溶液浓度是x，利用十字交叉法： 19% 26%-x x 26% x-19% 26%-x 400 = ，解得x=23.2%。 x-19% 600 三、效果检验 1.【答案】B。解析：根据题意可列方程160X+（190-160）×（X+0.15）=90，解得 X=0.45，则X+0.15=0.6，用电160千瓦时花费160×0.45=72元。该居民电费区间在75 3内部资料 免费交流 元~84元，即超过160千瓦时后花费了3元~12元，超过160千瓦时所用电量在3÷0.6=5 千瓦时与12÷0.6=20千瓦时之间，则该居民六月份的用电量范围是165~180千瓦时，答 案选B。 2.【答案】C。解析：依次写出数列的前几项：2，2，4，8，2，6，2，2，……； 发现该数列是按照2，2，4，8，2，6循环排列的，循环周期为6，2008÷6=334……4， 则第2008个数是8。故本题选C。 3.【答案】D。解析：方法一，设最早倒入甲管中的盐水浓度为x，则最初倒入溶 10 质为10x克。甲管混合后取出10克倒入乙管，即取出 ×10x=5x克的溶质给乙 1010 10 5 管；再混合后取出10克倒入丙管，即取出 ×5x= x克溶质给丙管；此时丙管 1020 3 5 溶质为（30+10）×0.5%=0.2克，则有 x=0.2，解得x=12%。 3 10 方法二，从甲管倒入乙管，含有此盐水 ×10=5克，从乙管倒入丙管，含有此盐 20 10 5 5 水 ×5= 克，则此盐水浓度为（30+10）×0.5%÷ =12%。 30 3 3 4.【答案】D。解析：方法一，两桶盐水相互交换一定质量后，每桶盐水的质量不 9040%6020% 变；浓度相等，等于两桶盐水混合后的浓度 =32%。设两桶盐水 9060 相互交换x千克，对于甲桶来说是（90-x）千克的原溶液和x千克的乙桶原溶液混合后 （90-x）40%x20% 变为浓度32%的新溶液；有 =32%，解得x=36千克。选择D 90 项。 方法二，两桶盐水相互交换一定质量后，每桶盐水的质量不变，浓度变为两桶盐水 混合后的混合浓度。也就是相互交换后的甲、乙两桶溶液的构成均与原甲乙两桶盐水混 合后的溶液构成一样，那么原甲乙两桶盐水混合后的溶液中含有甲桶溶液与乙桶溶液比 例为90∶60=3∶2，则甲桶中剩余盐水质量∶交换盐水质量之比也为3∶2，即相互交 2 换的盐水质量为90 =36千克。故本题选D。 32 方法三，两桶盐水相互交换一定质量后，每桶盐水的质量不变，浓度相等，等于两 桶盐水混合后的浓度x。利用十字交叉法有： 40% （x-20%） 90千克 4内部资料 免费交流 （x） 20% （40%-x） 60千克 x-20% 90 = ，解得x=32%。 40%-x 60 考虑甲桶，甲桶由交换后剩余的溶液与交换过来的乙桶原溶液混合成90千克浓度 32%的溶液，利用十字交叉法： 甲剩余的溶液 40% （12%） （3） 32% 交换来的乙溶液 20% （8） （2） 2 交换来的乙溶液有90 =36千克，即两桶盐水相互交换36千克。选择D项。 32 5内部资料 免费交流 第二章 行程问题 第一讲 普通行程 二、能力训练 例1.【答案】1.5小时，75公里，37.5公里/小时。解析：汽车从A地行驶到B地 需要2个小时，返回时比去时节约了30分钟=0.5小时，故返回时用了2-0.5=1.5小时； AB两地距离为返回速度×返回时间=50×1.5=75公里，去时速度为75÷2=37.5公里/小时。 例2.①【答案】34。解析：在火车头上找一个质点M，从火车头驶入桥头A到火 车尾离开桥尾B实际走过的距离为车长与桥长的和，所求为（280+400）÷20=34秒。 ②【答案】11.8。解析：根据题意可画出下图： 如图所示，在上午10点时，甲和乙分别在B、A两点，且相隔距离为x千米，他 们继续前进，由题意乙从A点前进到B点，同时甲从B点前进到C点，因为两人以相 同的速度匀速前进，所以B、C两点之间的距离也为x千米（时间和速度均相等），则 x=（19.6-4）÷2=7.8千米，故此时乙离起点4+7.8=11.8千米。 ③【答案】2.5。解析：根据题意可画出下图： 6内部资料 免费交流 方法一，设汽车计划速度为v千米/小时，加快20%后的速度为1.2v千米/小时。汽 车若按计划行驶CB路程需20-5=15小时，则CB距离为速度×时间=15v千米，现加速 15v 行驶需 =12.5小时，提前15-12.5=2.5小时。 1.2v 方法二，汽车计划速度与加快后速度比为5∶6，CB路程一定，速度与时间成反比， 时间之比为6∶5，时间相差1份，汽车若按计划行驶CB路程需20-5=15小时，所以提 1 前15× =2.5小时。 6 三、效果检验 1.【答案】C。解析：由题意可得，（x+40）n=x×1.5n，解得x=80千米/时。所求 时间为560÷（80+60）=4小时。故本题选C。 2.【答案】C。解析：根据题意，小王和小李相遇时，小王走了2.5小时，走了6 千米；小李走了2小时，走了6千米；则小王和小李的速度分别为6÷2.5=2.4千米/时、 6÷2=3千米/时。再过半小时，两人相距（2.4+3）×0.5=2.7千米。故本题选C。 3.【答案】C。解析：方法一，设甲车速度为8v千米/时，乙车速度为9v千米/时。 因乙车晚出发5分钟却早到5分钟，可知甲、乙两车从A地前往120千米以外的B地 1 120 1 120 所需时间相差10分钟= 小时，则有 - = ，解得v=10千米/时，则两车的速 6 8v 6 9v 度相差9v-8v=10千米/时。 方法二，路程相等，则甲、乙两车的时间之比为速度的反比9∶8，甲比乙多花费 3 4 了5+5=10分钟，对应1份，则甲总用时为90分钟= 小时，乙总用时为80分钟= 小 2 3 4 3 时。AB两地之间的距离为120千米，则两车的速度相差120÷ -120÷ =90-80=10千 3 2 米/时。故本题选C。 7内部资料 免费交流 4.【答案】D。解析：方法一，设老张出发时离上班还有t分钟，根据从家到单位 路程一定，有50（t+12）=150（t-8），解得t=18分钟，选择D项。 方法二，步行与骑自行车上班，路程相同，所以所用时间与速度成反比，步行与骑 自行车上班的速度之比为50∶150=1∶3，所以用时之比为3∶1，步行与骑自行车用时 3 相差12+8=20分钟，所以步行上班用时为20× =30分钟，迟12分钟，所以出发时 3-1 离上班还有18分钟。 第二讲 相遇追及 二、能力训练 例1.①【答案】1500，3300。解析：BD即乙行驶30分钟的路程，50×30=1500米； BC为乙和丙相遇走的路程和，为（50+60）×30=3300米。 ②【答案】3300、55，70、6300，9600。解析：丙行驶的路程即CB=3300米，用 3300 时 =55分钟；甲先行驶了15 分钟后又行驶了55分钟与丙相遇，因此共行驶了 60 15+55=70 分 钟 ， 行 驶 的 路 程 为 90×70=6300 米 ， 即 AB=6300 米 ； AC=AB+BC=6300+3300=9600米。 ③【答案】追及，BM，AM，AB，6300，157.5。解析：甲和乙同时同向不同地点 出发，经过一段时间到达同一地点，即甲追上乙，此过程属于追及问题，由图可得，乙 行驶的距离为BM，甲行驶的距离为AM，甲比乙多走的距离为AM-BM=AB，即6300 6300 米，两车到达M点用的时间为 =157.5分钟。 90-50 例2.①【答案】 两人路程和 甲的路程 乙的路程 时间（分钟） （米） （米） （米） 从出发到第1次相遇 400 0.5 210 190 从第1次相遇到第2次相遇 400 0.5 210 190 从第2次相遇到第3次相遇 400 0.5 210 190 8内部资料 免费交流 …… …… …… …… …… 从第N-1次相遇到第N次相遇 400 0.5 210 190 从出发到第N次相遇 400×N 0.5×N 210×N 190×N ②【答案】 两人路程差 甲的路程 乙的路程 时间（分钟） （米） （米） （米） 从出发到第1次相遇 400 10 4200 3800 从第1次相遇到第2次相遇 400 10 4200 3800 从第2次相遇到第3次相遇 400 10 4200 3800 …… …… …… …… …… 从第N-1次相遇到第N次相遇 400 10 4200 3800 从出发到第N次相遇 400×N 10×N 4200×N 3800×N 三、效果检验 1.【答案】C。解析：由题意可知，甲的速度为200÷8=25千米/小时，乙的速度为 200÷10=20千米/小时。乙从8:00走到9:00走了20千米，所以从九点开始甲、乙一起 200-20 出发，相遇时间为  4小时，所以13:00甲乙相遇。 2520 2.【答案】D。解析：画出示意图如下： 方法一，设货车与轿车速度分别为3v千米/时和5v千米/时，A、B两地相距S千 S20 S-20 米，根据时间相等，有 = ，解得S=80千米，选择D项。 5v 3v 9内部资料 免费交流 方法二，设A、B两地相距S千米，从出发到相遇，货车和轿车行驶时间相等，则 S-20 3 行驶路程与速度呈正比，有 = ，解得S=80千米，选择D项。 S20 5 方法三，相同时间内，速度之比等于路程之比。从出发到相遇，货车与轿车的路程 之比为3∶5，相差2份。由示意图可知，轿车比货车多走了20×2=40千米，则每份为 20千米；且货车与轿车的路程和为A、B两地距离的两倍，所以A、B两地相距（3+5） ×20÷2=80千米，选择D项。 3.【答案】B。解析：根据题意，里面的飞机转速为360°÷30=12°/秒，外面的飞机 转速为360°÷60=6°/秒，则所求时间为360°÷（12°+6°）=20秒，选B。 4.【答案】B。解析：爷爷追上奶奶花了80÷（60-40）=4分钟，那么孙子在爷爷追 上奶奶时共跑了4分钟，跑了150×4=600米，选择B项。 5.【答案】B。解析：设中车的速度为x米/分，骑车人的速度为v米/分，由追及路 程相同列方程：7×(800-v) 14×(600-v) 8(x-v)，解得v=400米/分，x=750 米/分，选择B项。 6.【答案】B。解析：甲从出发到离开轨道用了10000÷10=1000（秒），又因两车 共相遇了7次，且每相遇一次，甲比乙多走一圈，则有7×300≤1000×（10-a）<8×300， 即7.6