数量关系讲义答案_三桶油_中海油_最新中海油招聘考试《通用能力》视频课件_2021ZG职测_讲义_职测

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第一章 计算问题
第一讲 等差数列
二、能力训练
例1.【答案】15，5+2×（n-1）。解析：根据等差数列通项公式可知a =5+2×（6-1）
6
=15，a =5+2×（n-1）。
n
例2.【答案】3，1，1+3×（n-1），a =7，a =7，a =10。解析：根据等差数列通
3 3 4
项公式可知d=（16-7）÷（6-3）=3，a =7-3×（3-1）=1，a =1+3×（n-1），前5项的
1 n
中间项是a =7，前6项的中间两项是a =7，a =7+3=10。
3 3 4
例3.【答案】240。解析：根据等差数列求和公式可知S =（2+58）×8÷2=240。
8
10（10-1)5
例4【. 答案】245。解析：根据等差数列求和公式可知S =2×10+ =245。
10
2
例5.【答案】15。解析：前9项的中项为a ，根据中项公式a =135÷9=15。
5 5
例6.【答案】592。解析：根据等差数列性质：若m+n=p+q，则a +a =a +a 可
m n p q
(a a )×16 (a a )×16 (1163)×16
知，S = 1 16 = 2 15 = =592。
16
2 2 2
三、效果检验
1.【答案】B。解析：序列每项的第一个和第二个乘数分别是公差为1和4的等差
数列，所以第一个乘数的通项公式为5+（n-1）=n+4，第二个乘数的通项公式为3+4×
（n-1）=4n-1。根据题意可列方程（n+4）×（4n-1）=546，解得n =10，n =-13.75（舍
1 2
去）故选B。也可代入选项排除，根据尾数法确定B项。
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2.【答案】B。解析：由图形可知，拼一层白色的三角形有1个，拼二层有（1+2）
nn1
个，拼三层有（1+2+3）个，则拼n层有（1+2+3+……+n）= 个，拼10层有
2
10×11÷2=55个。故本题选B。
3.【答案】D。解析：连续日期是公差为1的等差数列，根据等差数列基本性质可
a a a a
得 1 10 ×10= 5 6 ×10=155，则a a =31，则这休假的10天中第5天为15日，
5 6
2 2
第6天为16日，第10天为16+4=20日，所以今天是21日。故本题选D。
4.【答案】B。解析：方法一，题中的关键词在于“等差数列”和“平均数”。等
差数列的平均数与其等差中项有关系。9人的得分构成等差数列且平均分是86分，则
该数列的中项，即第5名工人得分为86分。同理，前5名工人得分之和为460，则其
等差数列的中项即第3名得分为460÷5=92分。可知第4名得分为（92+86）÷2=89分，
前7名得分之和为89×7=623分，选B。
方法二，根据等差数列中项公式可知，前7名工人的得分之和应为7的倍数，排除
C、D选项，代入A项可知，前7项的中项即第4名为602÷7=86分，根据题意9人的
得分构成等差数列且平均分是86分，则该数列的中项即第5名工人得分为86分，与第
4名得分为86分矛盾，所以选择B选项。
5.【答案】C。解析：观察题干，由等差数列性质可知a -a a -a ，所以题干
10 3 11 4
的两个式子相加得，a -(a -a )(a -a )=12，即a =12，由等差数列中项求和公
7 10 3 11 4 7
式得S =a ×13=156。故本题选C。
13 7
第二讲 简单计算
二、能力训练
例1.①【答案】920。解析：不超过10万元的部分按销售额的0.8%提成；超过10
万，不超过 20 万元的部分按销售额的 0.6%提成，则王某本月的销售提成为
100000×0.8%+20000×0.6%=920元；
②【答案】3200。解析：不超过10万元的部分按销售额的0.8%提成；超过10万，
不超过20万元的部分按销售额的0.6%提成；超过20万元的部分按销售额的1.2%提成，
则孙某本月的销售提成为100000×0.8%+100000×0.6%+150000×1.2%=3200元；
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③【答案】23.75。解析：当销售额为10万元时，提成为100000×0.8%=800元；当
销售额为20万元时，提成为800+100000×0.6%=1400元。赵某本月的销售提成为1850
元，综上可知其销售额在 20 万以上。赵某销售额超过 20 万元的部分提成是
1850-1400=450元，则超过20万元部分销售额为450÷1.2%=37500元，则赵某本月销售
额为200000+37500=237500元=23.75万元。
3
 
例2.【答案】5。解析： = ，小数点后面以6个数为一个周期循环，
0.428571
7
2008÷6=334……4，故小数点后面的第2008位和小数点后面的第4位相同，即是数字5。
例3.【答案】3。解析：当n=1、2、3、4、5……时，3n的尾数依次为3、9、7、1、
3……，即周期循环数为4，2017÷4=504……1，则32017的尾数与31的尾数相同，故32017
的尾数为3。
例4.【答案】25%。解析：方法一，设溶液总量为100，溶质为50，操作三次后溶
1 1 1 3 4 5 25
质为50×（1- ）×（1- ）×（1- ）=50× × × =25，所以浓度变为 100%=25%。
4 5 6 4 5 6 100
3 4 5
方法二，三次操作后酒精浓度变为50%× × × =25%。
4 5 6
例 5. 【 答 案 】 23.2% 。 解 析 ： 方 法 一 ， 溶 液 的 浓 度
溶质质量 40019%60026%
= ×100%= ×100%=23.2%。
溶液质量 400600
方法二，设混合后溶液浓度是x，利用十字交叉法：
19% 26%-x
x
26% x-19%
26%-x 400
= ，解得x=23.2%。
x-19% 600
三、效果检验
1.【答案】B。解析：根据题意可列方程160X+（190-160）×（X+0.15）=90，解得
X=0.45，则X+0.15=0.6，用电160千瓦时花费160×0.45=72元。该居民电费区间在75
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元~84元，即超过160千瓦时后花费了3元~12元，超过160千瓦时所用电量在3÷0.6=5
千瓦时与12÷0.6=20千瓦时之间，则该居民六月份的用电量范围是165~180千瓦时，答
案选B。
2.【答案】C。解析：依次写出数列的前几项：2，2，4，8，2，6，2，2，……；
发现该数列是按照2，2，4，8，2，6循环排列的，循环周期为6，2008÷6=334……4，
则第2008个数是8。故本题选C。
3.【答案】D。解析：方法一，设最早倒入甲管中的盐水浓度为x，则最初倒入溶
10
质为10x克。甲管混合后取出10克倒入乙管，即取出 ×10x=5x克的溶质给乙
1010
10 5
管；再混合后取出10克倒入丙管，即取出 ×5x= x克溶质给丙管；此时丙管
1020 3
5
溶质为（30+10）×0.5%=0.2克，则有 x=0.2，解得x=12%。
3
10
方法二，从甲管倒入乙管，含有此盐水 ×10=5克，从乙管倒入丙管，含有此盐
20
10 5 5
水 ×5= 克，则此盐水浓度为（30+10）×0.5%÷ =12%。
30 3 3
4.【答案】D。解析：方法一，两桶盐水相互交换一定质量后，每桶盐水的质量不
9040%6020%
变；浓度相等，等于两桶盐水混合后的浓度 =32%。设两桶盐水
9060
相互交换x千克，对于甲桶来说是（90-x）千克的原溶液和x千克的乙桶原溶液混合后
（90-x）40%x20%
变为浓度32%的新溶液；有 =32%，解得x=36千克。选择D
90
项。
方法二，两桶盐水相互交换一定质量后，每桶盐水的质量不变，浓度变为两桶盐水
混合后的混合浓度。也就是相互交换后的甲、乙两桶溶液的构成均与原甲乙两桶盐水混
合后的溶液构成一样，那么原甲乙两桶盐水混合后的溶液中含有甲桶溶液与乙桶溶液比
例为90∶60=3∶2，则甲桶中剩余盐水质量∶交换盐水质量之比也为3∶2，即相互交
2
换的盐水质量为90 =36千克。故本题选D。
32
方法三，两桶盐水相互交换一定质量后，每桶盐水的质量不变，浓度相等，等于两
桶盐水混合后的浓度x。利用十字交叉法有：
40% （x-20%） 90千克
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（x）
20% （40%-x） 60千克
x-20% 90
= ，解得x=32%。
40%-x 60
考虑甲桶，甲桶由交换后剩余的溶液与交换过来的乙桶原溶液混合成90千克浓度
32%的溶液，利用十字交叉法：
甲剩余的溶液 40% （12%） （3）
32%
交换来的乙溶液 20% （8） （2）
2
交换来的乙溶液有90 =36千克，即两桶盐水相互交换36千克。选择D项。
32
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第二章 行程问题
第一讲 普通行程
二、能力训练
例1.【答案】1.5小时，75公里，37.5公里/小时。解析：汽车从A地行驶到B地
需要2个小时，返回时比去时节约了30分钟=0.5小时，故返回时用了2-0.5=1.5小时；
AB两地距离为返回速度×返回时间=50×1.5=75公里，去时速度为75÷2=37.5公里/小时。
例2.①【答案】34。解析：在火车头上找一个质点M，从火车头驶入桥头A到火
车尾离开桥尾B实际走过的距离为车长与桥长的和，所求为（280+400）÷20=34秒。
②【答案】11.8。解析：根据题意可画出下图：
如图所示，在上午10点时，甲和乙分别在B、A两点，且相隔距离为x千米，他
们继续前进，由题意乙从A点前进到B点，同时甲从B点前进到C点，因为两人以相
同的速度匀速前进，所以B、C两点之间的距离也为x千米（时间和速度均相等），则
x=（19.6-4）÷2=7.8千米，故此时乙离起点4+7.8=11.8千米。
③【答案】2.5。解析：根据题意可画出下图：
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方法一，设汽车计划速度为v千米/小时，加快20%后的速度为1.2v千米/小时。汽
车若按计划行驶CB路程需20-5=15小时，则CB距离为速度×时间=15v千米，现加速
15v
行驶需 =12.5小时，提前15-12.5=2.5小时。
1.2v
方法二，汽车计划速度与加快后速度比为5∶6，CB路程一定，速度与时间成反比，
时间之比为6∶5，时间相差1份，汽车若按计划行驶CB路程需20-5=15小时，所以提
1
前15× =2.5小时。
6
三、效果检验
1.【答案】C。解析：由题意可得，（x+40）n=x×1.5n，解得x=80千米/时。所求
时间为560÷（80+60）=4小时。故本题选C。
2.【答案】C。解析：根据题意，小王和小李相遇时，小王走了2.5小时，走了6
千米；小李走了2小时，走了6千米；则小王和小李的速度分别为6÷2.5=2.4千米/时、
6÷2=3千米/时。再过半小时，两人相距（2.4+3）×0.5=2.7千米。故本题选C。
3.【答案】C。解析：方法一，设甲车速度为8v千米/时，乙车速度为9v千米/时。
因乙车晚出发5分钟却早到5分钟，可知甲、乙两车从A地前往120千米以外的B地
1 120 1 120
所需时间相差10分钟= 小时，则有 - = ，解得v=10千米/时，则两车的速
6 8v 6 9v
度相差9v-8v=10千米/时。
方法二，路程相等，则甲、乙两车的时间之比为速度的反比9∶8，甲比乙多花费
3 4
了5+5=10分钟，对应1份，则甲总用时为90分钟= 小时，乙总用时为80分钟= 小
2 3
4 3
时。AB两地之间的距离为120千米，则两车的速度相差120÷ -120÷ =90-80=10千
3 2
米/时。故本题选C。
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4.【答案】D。解析：方法一，设老张出发时离上班还有t分钟，根据从家到单位
路程一定，有50（t+12）=150（t-8），解得t=18分钟，选择D项。
方法二，步行与骑自行车上班，路程相同，所以所用时间与速度成反比，步行与骑
自行车上班的速度之比为50∶150=1∶3，所以用时之比为3∶1，步行与骑自行车用时
3
相差12+8=20分钟，所以步行上班用时为20× =30分钟，迟12分钟，所以出发时
3-1
离上班还有18分钟。
第二讲 相遇追及
二、能力训练
例1.①【答案】1500，3300。解析：BD即乙行驶30分钟的路程，50×30=1500米；
BC为乙和丙相遇走的路程和，为（50+60）×30=3300米。
②【答案】3300、55，70、6300，9600。解析：丙行驶的路程即CB=3300米，用
3300
时 =55分钟；甲先行驶了15 分钟后又行驶了55分钟与丙相遇，因此共行驶了
60
15+55=70 分 钟 ， 行 驶 的 路 程 为 90×70=6300 米 ， 即 AB=6300 米 ；
AC=AB+BC=6300+3300=9600米。
③【答案】追及，BM，AM，AB，6300，157.5。解析：甲和乙同时同向不同地点
出发，经过一段时间到达同一地点，即甲追上乙，此过程属于追及问题，由图可得，乙
行驶的距离为BM，甲行驶的距离为AM，甲比乙多走的距离为AM-BM=AB，即6300
6300
米，两车到达M点用的时间为 =157.5分钟。
90-50
例2.①【答案】
两人路程和 甲的路程 乙的路程
时间（分钟）
（米） （米） （米）
从出发到第1次相遇 400 0.5 210 190
从第1次相遇到第2次相遇 400 0.5 210 190
从第2次相遇到第3次相遇 400 0.5 210 190
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…… …… …… …… ……
从第N-1次相遇到第N次相遇 400 0.5 210 190
从出发到第N次相遇 400×N 0.5×N 210×N 190×N
②【答案】
两人路程差 甲的路程 乙的路程
时间（分钟）
（米） （米） （米）
从出发到第1次相遇 400 10 4200 3800
从第1次相遇到第2次相遇 400 10 4200 3800
从第2次相遇到第3次相遇 400 10 4200 3800
…… …… …… …… ……
从第N-1次相遇到第N次相遇 400 10 4200 3800
从出发到第N次相遇 400×N 10×N 4200×N 3800×N
三、效果检验
1.【答案】C。解析：由题意可知，甲的速度为200÷8=25千米/小时，乙的速度为
200÷10=20千米/小时。乙从8:00走到9:00走了20千米，所以从九点开始甲、乙一起
200-20
出发，相遇时间为  4小时，所以13:00甲乙相遇。
2520
2.【答案】D。解析：画出示意图如下：
方法一，设货车与轿车速度分别为3v千米/时和5v千米/时，A、B两地相距S千
S20 S-20
米，根据时间相等，有 = ，解得S=80千米，选择D项。
5v 3v
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方法二，设A、B两地相距S千米，从出发到相遇，货车和轿车行驶时间相等，则
S-20 3
行驶路程与速度呈正比，有 = ，解得S=80千米，选择D项。
S20 5
方法三，相同时间内，速度之比等于路程之比。从出发到相遇，货车与轿车的路程
之比为3∶5，相差2份。由示意图可知，轿车比货车多走了20×2=40千米，则每份为
20千米；且货车与轿车的路程和为A、B两地距离的两倍，所以A、B两地相距（3+5）
×20÷2=80千米，选择D项。
3.【答案】B。解析：根据题意，里面的飞机转速为360°÷30=12°/秒，外面的飞机
转速为360°÷60=6°/秒，则所求时间为360°÷（12°+6°）=20秒，选B。
4.【答案】B。解析：爷爷追上奶奶花了80÷（60-40）=4分钟，那么孙子在爷爷追
上奶奶时共跑了4分钟，跑了150×4=600米，选择B项。
5.【答案】B。解析：设中车的速度为x米/分，骑车人的速度为v米/分，由追及路
程相同列方程：7×(800-v) 14×(600-v) 8(x-v)，解得v=400米/分，x=750
米/分，选择B项。
6.【答案】B。解析：甲从出发到离开轨道用了10000÷10=1000（秒），又因两车
共相遇了7次，且每相遇一次，甲比乙多走一圈，则有7×300≤1000×（10-a）<8×300，
即7.6<a≤7.9。故本题选B。
7.【答案】A。解析：设 A 车速度为 x 米/秒，B 车速度为 y 米/秒，则有
 420300
x+y= =24

 30
 ，解得x=15米/秒=54公里/小时。
420300

x-y= =6

 120
第三章 排列组合问题
第一讲 基础知识
二、能力训练
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例1.【答案】5。解析：若要凑成36元整，则每种组合中至少有一张10元，因此
根据现金中10元面值纸币的数量进行分类：
①若用3张10元，剩余6元用1张5元+1张1元或者用6张1元，共2种；
②若用2张10元，剩余16元用3张5元+1张1元或者用2张5元+6张1元，共
2种；
③若用1张10元，剩余26元用4张5元+6张1元，共1种。综合考虑，共有5
种不同的支付方式。
例2.【答案】①能；分类；3；4；相加；7；②不能；分步；3；4；相乘；12。
15  14
例3.【答案】①有；排列；A2 =15×14=210；②无；组合；C2 = =105。
15 15 2  1
A2 54
例4.①【答案】20；10。解析：A2 =5×4=20；C2 = 5 = =10。
5 5 A2 21
2
A3 6  5  4
②【答案】120；20。解析：A3=6×5×4=120；C3= 6 = =20。
6 6 A3 3  2  1
3
A8
③【答案】40320；1。解析：A8=8×7×6×5×4×3×2×1=40320；C8= 8 =1。
8 8 A8
8
12 1110
④【答案】220；220。解析：C3 = =220；C9 =C3 =220。
12 3  2 1 12 12
三、效果检验
1.【答案】C。解析：满足刚好发出9升油的方式有：①选1桶5升装。5+2×2；
5+2+1×2；5+1×4。共3种。②不选5升装，选2升装和1升装。2×3+1×3；2×2+1×5；
2×1+1×7。共3种。故共有3+3=6种方式，答案选C。
2.【答案】A。解析：蚂蚁从A点到C点总共可以分四类，第一类是中间经过一个
点，有4种不同的方法；第二类是中间经过两个点，有4×2=8（种）不同的方法；第三
类是中间经过三个点，有4×2×1=8（种）不同的方法；第四类是中间经过四个点，有
4×2×1×1=8（种）不同的方法。总共有4+8+8+8=28（种）不同的方法。故本题选A。
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3.【答案】D。解析：由1、2、3、4不重复使用数字组成的四位数共有A4=24（个），
4
数字4在千位上的共有A3=6（个），3421是数字3在千位上的最大的四位数，这些四
3
位数从小到大依次排列，3421排在24-6=18（位）。故本题选D。
4.【答案】B。解析：方法一，要求甲、乙两地派去的医生人数相等，那么各派去
10÷2=5人。有要求甲地至少有两名男医生，那么甲地的派遣分三种。①2名男医生，3
名女医生，有C2C3=120种；②3名男医生，2名女医生，有C3C2=60种；③4名男医
4 6 4 6
生，1名女医生，有C4C1 =6种。总共有120+60+6=186种，故本题选B。
4 6
方法二，甲乙两地各派5名医生，共有C5 种，要求甲地至少有两名男医生，那么
10
不符合甲地的派遣方法数有①0名男医生即全为女医生C5种；②1名男医生,4名女医生，
6
有C1 C4种；则符合题意要求的共有C5 -C5 -C1 C4 =252-6-60=186种，故本题选B。
4 6 10 6 4 6
第二讲 常用方法
二、能力训练
例.①【答案】A2 A9。解析：从2个杂技和5个歌舞节目中选2个放到开始和
7 9
结尾有A2种，剩下的排序有A9种，故共有A2 A9种方法。
7 9 7 9
②【答案】A10 A2。解析：把小品《吃面》和歌舞节目《哪吒》捆绑共A2种方
10 2 2
式，捆绑之后和剩下的9个节目排列有A10种，故共有A10 A2种方法。
10 10 2
③【答案】A9 A2 。解析：4个小品节目和5个歌舞节目排列共A9种，形成了
9 10 9
10个空隙，把2个杂技节目插入这10个空位就保证不能连续演出，有A2 种方式，故
10
共有A9A2 种方法。
9 10
④【答案】A11 -A3 A8。解析：方法一，晚会前三个节目中至少有一个是歌舞
11 6 8
节目的对立面就是晚会前三个节目都不是歌舞节目，晚会前三个节目都不是歌舞节目有
A3A8种方法，所有节目全排列有A11种方法，所以所求是A11-A3×A8种方法。
6 8 11 11 6 8
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方法二，正面求解：前三个节目中只有一个是歌舞节目有C1C2A3A8种方式，前
5 6 3 8
三个节目中只有两个是歌舞节目有C2C1A3A8种方式，前三个节目都是歌舞节目有
5 6 3 8
A3A8种方法，则所求为C1C2A3A8 +C2C1A3A8 +A3A8种方法。
5 8 5 6 3 8 5 6 3 8 5 8
三、效果检验
1.【答案】A。解析：甲乙两人不站在两边，先安排甲乙站在中间三个位置有A2种，
3
剩余3人有A3种，站队的种类共有A2 ×A3 =36种。
3 3 3
2.【答案】A。解析：同类型的节目要连续出现，将小品、演唱和舞蹈分别看成3
个整体，有A3种排列方式。3个整体内部全排列，共有A3 A4 A3 A3 =5184种出场顺
3 3 4 3 3
序。
3.【答案】B。解析：4名观众就座后，剩下了4个空位，要求空位不连续，可将4
个空位插入到4名观众就座位置形成的5个空中，有C4=5种方式，因为观众就座方式
5
有A4=24种，则恰好没有连续空位的就座方式有24×5=120种。故本题选B。
4
4.【答案】D。解析：考虑男女至少各1名的对立面，即全为男或全为女。所求为
C4 -C4 -C4 =310，选D。
11 6 5
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第四章 极值问题
第一讲 和定最值
二、能力训练
例1.①【答案】否。解析：求的是三数乘积的最大值，不满足求某个量的最值。
②【答案】是。解析：8个部门分40台电脑（和一定），求的是分得最多的部门
最多分几台（求最大量的最大值）。
③【答案】否。解析：不满足多数加和一定，求某个量的最值。
④【答案】是。解析：8名职员平均年龄38（可求出年龄总和，和一定），求的是
年龄最大职员岁数的最小值（求最大量的最小值）。
例2.①【答案】16。解析：共有37枚邮票，要使分得邮票最多的集邮爱好者分得
的邮票数最多，应让其他爱好者分得的邮票尽量少，又由于每个爱好者分得邮票的数量
各不相同，故其他六个爱好者分得的邮票数量从小到大依次是1、2、3、4、5、6，则
分得邮票数量最多的集邮爱好者最多分37-6-5-4-3-2-1=16（枚）。
②【答案】9。解析：方法一，要使分得邮票最多的爱好者分得的邮票数最少，应
让其他爱好者分得的邮票尽量多。设分得邮票数量最多的爱好者最少分x枚，由于每个
爱好者分得邮票的数量各不相同，分得的邮票数从多到少排序，最多依次是（x-1）、
（x-2）、（x-3）、（x-4）、（x-5）、（x-6），则x+（x-1）+（x-2）+（x-3）+（x-4）
+（x-5）+（x-6）=37，解得x=8.X，取整为9枚。
方法二，要使分得邮票最多的爱好者分得的邮票数最少，应让其他爱好者分得的邮
票尽量多，由于每个爱好者分得邮票的数量各不相同，则应让每个集邮爱好者分得的邮
票数尽量接近，则从大到小依次减1，由于37÷7=5……2，所以按照大到小构造等差数
列依次是8、7、6、5、4、3、2，剩余的2枚只能分给最多的两个爱好者各自1枚，则
分得邮票最多的集邮爱好者最少分得8+1=9（枚）。
③【答案】8。解析：方法一，要使分得邮票第三多的爱好者分得的邮票数量最多，
应让其他爱好者分得的邮票尽量少。设分得邮票第三多的爱好者最多分x枚，由于每个
爱好者分得邮票的数量各不相同，则剩余六个爱好分得的邮票数从多到少排序，最少依
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次是（x+2）、（x+1）、4、3、2、1，根据题意：（x+2）+（x+1）+x+4+3+2+1=37，
解得x=8，即第三多的集邮爱好者最多可以分8枚。
方法二，要使分得邮票第三多的爱好者分得的邮票数量最多，应让其他爱好者分得
的邮票尽量少，又由于每个爱好者分得邮票的数量各不相同，则从小到大前四位最少依
次是1、2、3、4，此时还剩下37-1-2-3-4=27枚，均分是27÷3=9，构造公差为1的等差
数列依次为8、9、10，则分得邮票第三多的爱好者最多可以分到8枚。
三、效果检验
1.【答案】C。解析：根据题意五个相异正整数的和为15×5=75，要让最大的数最
大则其他数应尽可能小，其他四个数最小分别为 1、2、18、19，则最大数为
75-1-2-18-19=35。选择C项。
2.【答案】D。解析：方法一，5个笔筒里共放26支铅笔，要想让分得铅笔最多的
笔筒放的铅笔最少，则其他的笔筒中铅笔支数应尽可能多。铅笔支数从多到少排序，设
排名第一的放x，由于每个笔筒里面的铅笔数量各不相同，则排名二、三、四、五最多
分别为（x-1）、（x-2）、（x-3）、（x-4），根据题意得到：x+（x-1）+（x-2）+（x-3）
+（x-4）=26，解得x=7.2，取整为8支，故选D项。
方法二，要使分得铅笔最多的笔筒放的铅笔最少，则5个笔筒中铅笔数量要尽可能
接近，26÷5=5……1，由于铅笔数量各不相同，所以5个笔筒中铅笔的数量依次为3、4、
5、6、（7+1=8），选择D项。
3.【答案】B。解析：方法一，21朵鲜花分给5人，要想让分得鲜花第二多的人分
得的鲜花数量最少，则其他人分得的鲜花数量要尽可能的多，最多的人分7朵，设第二
多人的分x，由于每个人分得的鲜花数各不相同，那么排名第三、第四、第五的人最多
分别得（x-1）、（x-2）、（x-3），根据题意：7+x+（x-1）+（x-2）+（x-3）=21，解
得x=5，故选B项。
方法二，要使分得鲜花第二多的人分得的鲜花数量最少，则其他人分得的鲜花数量
要尽可能的多，最多的人分7朵，还余下14朵。14朵花分给4个人想让最多的人最少，
需让4个人分得鲜花的数量尽可能的接近，依次为2、3、4、5，正好14朵，因此第二
多的人最少分得5朵鲜花，选择B项。
方法三，21朵鲜花分给5人，每个人分得的鲜花数各不相同，则构造数列分别是2、
3、4、5、7，现在分得鲜花第二多的人想分的数量最少，则第一多的人分得的鲜花数量
最多，根据题目要求，最多就是7朵，因此第二多的人最少分得5朵鲜花，选择B项。
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4.【答案】B。解析：49名扶贫干部共走访530户贫困农户，要求走访数量最多的
干部走访的户数，应使其余48人走访的数量尽可能少。由“不可能有4人走访数量相
同”可知，当48人中每3人走访数量相同，即依次为3、3、3、4、4、4、5、5、5……
时，可以保证走访的数量最少。48个人每3人为一组可分成16组，每组走访的数量依
次为 9、12、15……构成以 9 为首项，3 为公差，项数为 16 的等差数列。由
n(n-1) 16(16-1)
S =na + ×d可知，这16项和为16×9+ ×3=504，即48名干部走
n 1 2 2
访的总户数最少为504。所求为530-504=26（户）。故本题选B项。
第二讲 最不利原则
二、能力训练
例.①【答案】7。解析：考虑最不利的情况，即先取出不满足题意的大小王两张，
其余四种花色每一种都取1张牌，此时再抽一张牌，这一张一定是四种花色中的某一种，
就构成了2张牌花色相同，即抽2+4+1=7（张）。
②【答案】23。解析：考虑最不利的情况，即先取出不满足题意的大小王两张，其
余四种花色每一种都先抽出5张牌，此时再抽一张牌，这一张一定是四种花色中的某一
种，就构成了6张牌花色相同，即抽2+5×4+1=23（张）。
③【答案】29。解析：考虑最不利的情况，即先取出不满足题意的大小王两张，再
将每种点数（共13种）各取2张，此时再抽一张牌，这一张一定是13种点数中的某一
种，就构成了3张牌点数相同，即抽2+2×13+1=29（张）。
④【答案】53。解析：考虑最不利的情况，先把除K（4张）之外的50张牌取出
来，再取3张K，就保证一定有3张K出现。即抽50+3=53（张）。
⑤【答案】8。解析：在13张红桃牌中，点数之和为14的可以分为六组：（1，13）、
（2，12）、（3，11）、（4，10）、（5，9）、（6，8）。考虑最不利的情况，即先
取出不满足题意的1张红桃7，再从前六组的每组中各取1张，共6张，此时再抽一张
牌，一定能保证有2张牌点数之和为14，即抽1+6+1=8（张）。
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三、效果检验
1.【答案】D。解析：工、理科找到工作的分别是39人、39人，文科找到工作的
30人，那么至少有39+39+30+1=109人找到工作就能保证有40人的专业相同，选择D
项。
2.【答案】B。解析：一方有16个棋子，可以分为7类兵种，两方共有2×7=14类
兵种。每种先各取2个，然后再任取1个即符合题目要求，即至少取14×2+1=29（个），
选B项。
3.【答案】A。解析：周一至周日任选两天有C2 =21种选择，考虑最差的情况，要
7
保证至少8位员工选了相同的两天，则至少要有21×7+1=148位员工，选择A项。
4【. 答案】A。解析：当投票人数达到265时，三个方案所得票数满足甲+乙+丙=265，
甲=3丙，乙-丙=10，解得甲=153，乙=61，丙=51。考虑最差的情况，剩下的票都投给
甲和丙，则甲、丙两方案共得到380-61=319（票），要使丙方案胜出，丙需要得到（319+1）
÷2=160（票），丙还需得到160-51=109票，剩下的380-265=115票中没有选择丙方案
的不超过115-109=6（票）。故本题选A项。
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第五章 容斥问题
第一讲 二者容斥
二、能力训练
例.【答案】解析：A指标合格的产品，40。B指标合格的产品，30。两项指标都
合格的产品，25。两项指标都不合格的产品，1。只有A指标合格的产品，40-25=15。
只有B指标合格的产品，30-25=5。只有一项指标合格的产品，15+5=20。至少有一项
指标合格的产品，40+30-25=45。抽样抽查的产品总数，40+30-25+1=46。
两者容斥的公式I=①+②+③+④=（①+②）+（②+③）-②+④=AB-AB④。
三、效果检验
1.【答案】A。解析：这个班共有20+25-10+4=39人，选A。
2.【答案】B。解析：设笔芯和笔杆都合格的笔有x支，所求为7+8-x+1=10，解得
x=6，即笔芯和笔杆都合格的笔有6支，选择B。
3.【答案】D。解析：根据容斥原理可知，既不是7的倍数又不是9的倍数的数=
全部自然数-7 的倍数的数-9 的倍数的数+既是 7 的倍数又是 9 的倍数的数。
400÷7=57……1，则1到400中7的倍数的数有57个；400÷9=44……4，则1到400中
9的倍数的数有44个；7和9的最小公倍数是63，400÷63=6……22，则1到400中63
的倍数的数有6个。则所求为400-57-44+6=305个，故本题选D。
4.【答案】A。解析：设两种唱法都报名参加的人数为x，则只报名参加通俗唱法
的人数为5x，报名参加通俗唱法的人数为x+5x=6x，由于报名参加通俗唱法的人数与
报名参加民族唱法的人数比为2∶1，则报名参加民族唱法的人数为3x，报名参加比赛
的人数为6x+3x-x=8x，未报名参加的人数为8x÷40%×60%=12x，则只报名参加民族唱
法的人数为3x-x=2x，则本题所求为12x÷2x=6倍，选择A。
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第二讲 三者容斥
二、能力训练
例.【答案】解析：使用A平台的人，54。使用B平台的人，46。使用C平台的人，
48。既使用A又使用B平台的人，28。既使用A又使用C平台的人，29。既使用B又
使用C平台的人，23。三种平台都使用的人，8。三种平台都不使用的人，3。只使用A
与B平台的人，28-8=20。只使用A与C平台的人，29-8=21。只使用B与C平台的人，
23-8=15。只使用两种平台的人，20+21+15=56。至少使用两种平台的人，20+21+15+8=64。
只使用A平台的人，54-28-21=5。只使用B平台的人，46-28-15=3。只使用C平台的人，
48-29-15=4 。 只 使 用 一 种 平 台 的 人 ， 5+3+4=12 。 公 司 调 研 的 总 人 数 ，
5+3+4+20+21+15+8+3=79。
三者容斥的公式一：I=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦+⑧=（①+④+⑤+⑦）+（②+④+⑥
+⑦）+（③+⑤+⑥+⑦）-（④+⑦）-（⑤+⑦）-（⑥+⑦）+⑦+⑧=A+B+C-A∩B-A∩
C-B∩C+A∩B∩C+⑧；
公式二：I=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦+⑧=（①+④+⑤+⑦）+（②+④+⑥+⑦）+（③
+⑤+⑥+⑦）-（④+⑤+⑥+⑦）-⑦+⑧=A+B+C-（④+⑤+⑥+⑦）-A∩B∩C+⑧；
公式三：I=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦+⑧=（①+④+⑤+⑦）+（②+④+⑥+⑦）+（③
+⑤+⑥+⑦）-（④+⑤+⑥）-2×⑦+⑧=A+B+C-（④+⑤+⑥）-2×⑦+⑧。
三、效果检验
1.【答案】B。解析：X∪Y∪Z=X+Y+Z-X∩Y-X∩Z-Y∩Z+X∩Y∩Z，根据题意知道
X∪Y∪Z=290，X∩Y=24，Y∩Z=70，X∩Z=36，则阴影部分的面积为X∩Y∩Z=X∪Y∪
Z+X∩Y+X∩Z+Y∩Z-（X+Y+Z）=290+24+70+36-（64+180+160）=16。
2.【答案】B。解析：购买至少两种商品的顾客有12+8+13-2×3=27人，则仅购买一
种商品的顾客有48-27=21位。故本题选B。
3.【答案】C。解析：根据容斥原理，该班级的总人数为52+49+58-21-15×2+4=112
人。
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4.【答案】C。解析：如图所示，设只能教数学的有x人，则x+8+6+4+5+3-2×2=27，
解得x=5。
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第六章 日期年龄问题
第一讲 日期问题
二、能力训练
例1.①【答案】平年；非100的整数倍的年份：不能被4整除；平年；是100的整
数倍的年份：不能被400整除；365；52；28。
②【答案】闰年；非100的整数倍的年份：能被4整除；闰年；是100的整数倍的
年份：能被400整除（特例：3200年不是闰年）；366；52；29。
③【答案】1、3、5、7、8、10、12月；31；4；3。
④【答案】4、6、9、11月；30；4；2。
⑤【答案】7；n除以7的余数。加1；加2；加3；加2。
例2.【答案】周四；周六。解析：今天就是周四，每过7天又到周四，280天中有
40个7天，故再过280天还是周四；282天中有40个7天还剩2天，即周四之后再过
2天，是周六。
例3.【答案】2020；11；30。解析：5月为大月，有31天，因而再过31-14=17天
过完5月，此时还需再过200-17=183天，再往后6、7、8、9、10月依次有30、31、
31、30、31天，共计153天，因而11月再过183-153=30天即可，故再过200天为2020
年11月30日。
三、效果检验
1.【答案】D。解析：“每隔9天进一次城”就是“每10天进一次城”，则甲每
10天进一次城，乙每12天进一次城，丙每8天进一次城，那么下一次相遇需要过10、
12和8的最小公倍数天，求解10、12、8的最小公倍数是120，120÷7=17……1，即过
17周又1天他们再次相遇，这一天是星期三，选择D项。
2.【答案】B。解析：2017年6月16日至2017年8月1日共经过了14+31+1＝46
天，46÷7＝6……4，即过6周又4天，星期五经过4天后是星期二，故本题选B项。
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3.【答案】C。解析：每天的收益率=7.3%÷365，设小王兑付时获得了n天的收益，
7.3%
则有150000× ×n=11190，解得n=373。小王2016年6月30日购买此产品，根据
365
兑付规则，在当年的7月2日，小王可获得1天的收益，至2017年7月1日，一共获
得了365天收益。此时离373天还差8天，7月1日再过8天为7月9日。故本题选C
项。
4.【答案】A。解析：方法一，总天数为30天的月份的1日、2日的星期数出现5
次；总天数为31天的月份的1日、2日、3日的星期数出现5次。因为该月星期五、星
期六和星期日各有5天，那么这个月的1日为星期五。故本题选A项。
方法二，根据题意，星期五、星期六和星期日同时出现在5周中，则后4周是完整
的星期，后4周共有4×7=28（天），再加上第一周的3天，共有31天，一个月最多有
31天，则第一周的星期五一定是本月的1号，故选择A项。
第二讲 年龄问题
二、能力训练
例1.【答案】5。解析：两人年龄差为5，由于年龄差始终不变，则10年后哥哥依
旧比弟弟大5岁。
例2.【答案】50。解析：根据年龄差不变，祖父90岁时，长孙的年龄为90-40=50
岁。
例3.【答案】70；1。解析：父亲儿子的年龄差为47-24=23（岁），根据年龄差不
变，当儿子长到47岁时，父亲为47+23=70（岁）；同理，当父亲24岁时，儿子24-23=1
（岁）。
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三、效果检验
1.【答案】B。解析：方法一，设x年前甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍，
根据题意有16-x+12-x=2×（11-x+9-x），解得x=6，选择B项。
方法二，甲、乙与丙、丁的年龄差为16+12-11-9=8，当甲、乙的年龄和是丙、丁
年龄和的2倍时，（甲+乙）-（丙+丁）=丙+丁=8，即此时丙、丁的年龄和为8岁，此
时应该是（11+9-8）÷2=6年前，选择B项。
2.【答案】A。解析：四个人经过4年年龄和应该增加4×4=16（岁），但是73-58=15
（岁），说明四年前儿子还没出生，现在儿子是3岁，选择A项。
3.【答案】C。解析：设2008年丙的年龄为x岁，则2017年丙的年龄为（x+9）岁。
则有3x+9=2.4×（x+9），解得x=21（岁），2008年甲的年龄为21×3=63（岁）。则2003
年乙的年龄为（63+21-2×5）÷2=37（岁）。2015年时甲、乙的年龄分别为63+7=70（岁）、
7
37+12=49（岁），乙的年龄是甲年龄的49÷70= 。故本题选C项。
10
4.【答案】B。解析：方法一，1980年李红出生时，他爷爷的年龄是他自己出生年
1
份的 ，从选项看，爷爷出生的年份应在1900年附近，29×66=1914，29×65=1885，
29
说明爷爷应该是1914年出生的，1988年爷爷的年龄是1988-1914=74（岁），选择B
项。
1
方法二，代入排除法，爷爷的年龄是他自己出生年份的 ，用1988减去选项是
29
他的出生年份，应该是29的倍数，只有B项符合。
23